1、考研数学（数学一）模拟试卷 382 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ,则 x=0 是 f(x)的( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）不能判断连续性的点2 曲线 的渐近线的条数为( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条3 设 1(x)， 2(x)， 3(x)是微分方程 y“+P(x)y+Q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，则该方程的通解为( ) （A）C 11(x)+C22(x)+C33(x)（B） C11(x)一 2(x)+C21(x)一 3(x)+C32(x)一 3(x)+1(x)（
2、C） C11(x)一 2(x)+C22(x)+3(x)（D）C 11(x)一 2(x)+C21(x)一 3(x)+ 1(x)+2(x)+3(x)4 设幂级数 在 x=-4 处条件收敛，则级数 在 x=一 3 处( ) （A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不确定5 设 A 为三阶矩阵，令 将 A 的第一、二两行对调，再将 A 的第三列的 2 倍加到第二列成矩阵 B，则 B 等于( ) （A）P 1AP2（B） P1-1AP2（C） P2AP1（D）P 1-1AP216 设 A 为三阶矩阵，其对应的特征值为 1=2=一 1， 3=2，对应的线性无关的特征向量为 1， 2， 3，令 P
3、1=(1-3， 2+3，2 3)，则 P11(A*+3E)P1=( )7 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(1， 12)，Y N(1 ， 22)，则 P(|XY|1)( )（A）随 1， 2 的增加而增加（B）随 1， 2 的增加而减少（C）与 1， 2 的取值无关（D）随 1 的增加而增加，随 2 的增加而减少8 设 X，Y 为两个随机变量，其中 E(X)=2，E(Y)=一 1，D(X)=9，D(Y)=16，且X，Y 的相关系数为 ，由切比雪夫不等式得 P|X+Y 一 1|10( )二、填空题9 设 f(x)连续，且 f(0)=0，f(0)=2，则 =_10 过点 A(3，2，1) 且
4、平行于 L1 的平面方程为_11 设 f(x)二阶可导且满足 0xt2f(t)dt=x3+f(x)，则 f(x)=_12 平面 ：Ax+By+z+D=0 被柱面 x2+4y2=4 所截得的面积为_13 设 及 1， 2， 3 为三维向量空间 R3 的两组基，A=(1， 2， 3)为可逆矩阵，且 则从基 1， 2， 3到基 1， 2， 3 的过渡矩阵为_14 设 X1，X 2，X m 与 Y1，Y 2，Y n 分别为来自相互独立的标准正态总体 X与 Y 的简单随机样本，令 则 D(Z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算16 设 f(x)=1+x(0x1)() 将 f
5、(x)展开成余弦级数，并求 ()将 f(x)展开成正弦级数17 设 f“(x)Ca，b ，证明：存在 (a，b) ，使得18 设 f(x)在1，+)上有连续的二阶导数，f(1)=0， f(1)=1，且二元函数 z=(x2+y2)f(x2+y2)满足 求 f(x)在1，+) 的最大值19 计算曲面积分 I= 2x3dydz+2y3dzdx+3(x2 一 1)dxdy，其中为曲面 z=1 一 x2 一y2(z0)的上侧20 a，b 取何值时，方程组 有唯一解、无解、有无穷多个解?有无穷多个解时，求出其通解21 设 A 是 n 阶矩阵，证明： ()r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 阶非零列向量
6、，使得 A=T； ( )r(A)=1 且 tr(A)0，证明 A 可相似对角化22 有甲、乙、丙三个盒子，第一个盒子里有 4 个红球 1 个白球，第二个盒子里有3 个红球 2 个白球，第三个盒子里有 2 个红球 3 个白球，先任取一个盒子，再从中先后取出 3 个球，以 X 表示红球数()求 X 的分布律；()求所取到的红球不少于 2 个的概率23 设总体 X 的密度函数为 其中 0 为未知参数，(X 1，X 2，X n)为来自总体 X 的简单随机样本，求参数 的矩估计量和极大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 382 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1
7、 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，f(x)= 当 x=0 时，f(x)= 当 x0 时，f(x)=x因为 f(0+0)=1f(0)= ,f(00)=0，所以 x=0 为 f(x)的第一类间断点，选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 显然 C11(x)一 2(x)+C21(x)一 3(x)为 y“+P(x)y+Q(x)y=0 的通解，且 1(x)+2(x)+3(x)为 y“+P(x)y+Q(x)y=f(x)的特解，选 D4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 在 x=一 4 处条件收敛，所以收敛半径为 R=当 x=一 3 时，因为| 一 3+1|=
8、2R=3，所以当 x=一3 时，级数 绝对收敛，应选 A5 【正确答案】 D【试题解析】 即 B=P1-1AP2-1，选 D6 【正确答案】 D【试题解析】 |A|= 123=2，A *的特征值为 A*+3E的特征值为 1，1，4，A *+3E 对应的线性无关的特征向量仍为 1， 2， 3，7 【正确答案】 B【试题解析】 令 Z=XY，则 ZN(0， 12+22)选 B8 【正确答案】 B【试题解析】 令 Z=X+Y，则 E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13，则 P|X+Y 一 1|10=P|zE(Z)|10 选 B二、填空题
9、9 【正确答案】 【试题解析】 0xf(xt)dtx-t-u=x0f(u)(一 du)=0xf(u)du，10 【正确答案】 x2y-5z+6=0【试题解析】 s 1=1，一 2，1，s 2=2，1，0 ，则所求平面方程的法向量为 n=s1s2=一 1，2，5所求平面方程为 ：一(x 一 3)+2(y 一 2)+5(z 一 1)=0，即：x-2y 一 5z+6=011 【正确答案】 【试题解析】 对 0xt2f(t)dt=x3+f(x)两边求导得 x2f(x)=3x2+f(x)，整理得 f(x)一x2f(x)=一 3x2 解得 f(x)= 当x=0 时， f(x)=0，于是 C=一 3，故 f
10、(x)=12 【正确答案】 【试题解析】 平面 为 z=一 Ax 一 ByD，由于是平面 被柱面所截得的面积为13 【正确答案】 【试题解析】 设从基 1， 2， 3 到 1， 2， 3 的过渡矩阵为 Q，则( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)Q，14 【正确答案】 2(m+n 一 2)【试题解析】 因为 X 与 Y 相互独立，所以 相互独立，于是 D(Z)=2(m 一 1)+2(n1)=2(m+n 一 2)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 () 将 f(x)进行偶延拓和周期延拓，则 a0=201f(x)dx=201(1+x)dx=3
11、， an=201f(x)cosnxdx=201(1+x)cosnxdxbn=0(n=1，2，)，则()将 f(x)进行奇延拓和周期延拓，则 an=0(n=0，1，2，)，b n=201f(x)sinindx=201(1+x)sinnxdx17 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt，则 F(x)=f(x)，且 F“(x)Ca，b由泰勒公式得两式相减，得 因为f“(x)Ca，b，所以 f“(x)C1， 2，由闭区间上连续函数最值定理，f“(x)在区间1， 2上取得最小值和最大值，分别记为 m，M，则有再由闭区间上连续函数的介值定理，存在 1， 2(a，b)，使得 f“()= ，从而有18
12、【正确答案】 根据对称性得解得 f=(C1+C2t)et，于是 f(r)=(C1+C2lnr) ，由 f(1)=0，得 C1=0，f(r)=，由 f(1)=1，得 C2=1，于是 f(x)= 令 f(x)=，得 x=e，当 x(1，e)时，f(x)0，当 xe 时，f(x)0，则 x=e 为f(x)在1，+)上的最大值点，最大值为 f(e)= 19 【正确答案】 补充 0：z=0(x 2+y21)，取下侧，由格林公式得20 【正确答案】 当 a1时，r(A)= =4，所以方程组有唯一解；当 a=1，b一 1 时，r(A) ，所以方程组无解；当 a=1，b=一 1 时，方程组有无穷多个解，通解为
13、 X=k1(1，一 2，1，0)T+k2(1，一 2，0，1) T+(一 1，1，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)21 【正确答案】 () 若 r(A)=1,则 A 为非零矩阵且 A 的任意两行成比例，即 A=于是 显然， 都不是零向量且 A=T 反之，若 A=T，其中 ， 都是 n 维非零列向量，则 r(A)=r(T)r()=1又因为 ， 为非零列向量，所以 A 为非零矩阵，从而 r(A)1，于是 r(A)=1 ( )因为 r(A)=1，所以存在非零列向量 ， ，使得 A=T，显然 tr(A)=(，)，因为 tr(A)0，所以(，)=k0令 AX=X，因为 A2=kA，所以2X=kX，或( 2 一 k)X=0，注意到 x0，所以矩阵 A 的特征值为 =0或 =k因为 1+2+ n=tr(A)=k，所以 1=k， 2=3= n=0，由 r(OEA)=r(A)=1，得 A一定可以对角化22 【正确答案】 () 令 Ak=所取为第 k 个盒子(k=1，2，3)，则 P(A1)=P(A2)=P(A3)= ，随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，由全概率公式得23 【正确答案】 E(X)=0，
