1、考研数学（数学一）模拟试卷 384 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但导数不连续（D）连续可导2 当 x0 时，f(lnx)= ，则 -22xf(x)dx 为( )3 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在(0，0) 处( )（A）连续但不可偏导（B）可偏导但不连续（C）连续、可偏导但不可微（D）可微4 设为由直线 绕 x 轴旋转产生的曲面，则上点 P=(一 1，1，一 2)处的法线方程为( ) 5 设 A 为 mn 矩阵，以下命题正确的是( ) （A）若 AX
2、=0 只有零解，则 AX=b 只有唯一解（B）若 AX=0 有非零解，则 AX=b 有无数个解（C）若 r(A)=n，则 AX=b 有唯一解（D）若 r(A)=m，则 Ax=b 一定有解6 设 A，B 为 n 阶方阵，令 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，则下列命题正确的是( )（A）若矩阵 A，B 等价，则向量组 1， 2， n 与向量组 1， 2， n 等价（B）若 A，B 的特征值相同，则 A，B 等价（C）若 AX=0 与 BX=0 同解，则 A，B 等价（D）若 A，B 等价，则 AX=0 与 BX=0 同解7 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则随机变量
3、Y=min(X，2)的分布函数( )（A）是阶梯函数（B）恰有一个间断点（C）至少有两个间断点（D）是连续函数8 设 X1，X 2，X 16 为正态总体 XN( ，4)的简单随机样本，设H0：=0，H 1：0 的拒绝域为 ，则犯第一类错误的概率为 ( )（A）2(1)一 1（B） 22(1)（C）（D）二、填空题9 若当 x0 时，(1+2x) x 一 cosx 一 ax2，则 a=_10 11 设直线 L： 绕 z 轴旋转一周所得的曲面为，则介于 z=0与 z=1 之间的体积为_12 设函数 y=y(x)在(0 ，+)上满足 则y(x)=_13 设矩阵 ，矩阵 A 满足 B-1=B*A+A，
4、则 A=_14 设随机变量 且 Coy(X，Y)= 则(X，Y) 的联合分布律为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 un(x)满足 un(x)=un(x)+xn-1ex(n=1，2，)，且 求级数 的和函数16 设 f(x)C一 1，1，且(一 1，1)内有 f“(x)0 且 证明：当 x(一 1，1)时，f(x)3x17 设 ，过 L 上一点作切线，求切线与抛物线所围成面积的最小值18 设 =(x，y，z)| z0(a0)，为几何体 的外侧边界，计算曲面积分19 飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行到原点时被发现，随即从 x 轴上点(x0，y 0)处发射导弹
5、向飞机击去，其中 x00若导弹的速度方向始终指向飞机，其速度大小为常数 2v ()求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件； ()求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间 T20 设 的一个特征向量()求常数 a，b 及1 所对应的特征值；()矩阵 A 可否相似对角化?若 A 可对角化，对 A 进行相似对角化；若 A 不可对角化，说明理由21 当常数 a 取何值时，方程组 无解、有无穷多个解?在有无穷多个解时，求出其通解22 设随机变量 X 在(1，4)上服从均匀分布，当 X=x(1x4)时，随机变量 Y 的联合密度函数为 fY|X(y|x)= ()求 Y 的密度函数；()求 X，Y
6、 的相关系数；() 令 Z=XY，求 Z 的密度函数23 设总体 X 的密度函数为X1， X2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，令 y= () 求 Y 的分布函数；()讨论 作为参数 的估计量是否具有无偏性考研数学（数学一）模拟试卷 384 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(0 一 0)=f(0)=f(0+0)=0，所以 f(x)在 x=0 处连续，又因为不存在，所以 f(x)在 x=0 处连续但不可导，选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 选 C3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 0|f(x，y)
7、一 0|= 所以=0=f(0，0)，故 f(x，y) 在(0，0)处连续 所以fx(0，0)=0，同理 fy(0，0)=0 ，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导所以 f(x，y)在(0，0)处不可微，选 C4 【正确答案】 D【试题解析】 设 M(x，y ，z) 为曲面上的任意一点，过 M 点且垂直于 x 轴的圆交直线于点 M0(x，y 0，z 0，圆心为 T(x，0，0)，由|MT|=|M 0T|得 y2+z2=y02+z02因为所以 y0=-x，z 0=2x，故曲面 的方程为 5x2 一 y2 一 z2=0曲面上点 P(一 1，1 ，一 2)处的法向量为 n=10x，一 2y，一 2zp
8、=一 10，一 2，4，法线为 ，选 D5 【正确答案】 D【试题解析】 因为当 r(A)=m 时，则 r(A)= =m，于是若 r(A)=m，则 AX=b一定有解，选(D) 6 【正确答案】 C【试题解析】 由 A，B 等价得 r(A)=r(B)，从而向量组 1， 2， n 与向量组1， 2， n 的秩相等，但两向量组秩相等不一定可相互线性表示，即不一定等价，不选(A) ；若 A，B 特征值相同，r(A)与 r(B)不一定相等，从而 A，B 不一定等价， 显然 A，B 的特征值相同，但 r(A)=1r(B)=2，故 A，B 不等价，不选(B)； 若方程组 AX=0 与 BX=0 同解，则 r
9、(A)=r(B)，从而 A，B 等价，反之不对，应选(C)7 【正确答案】 B【试题解析】 Fy(y)=PYy=Pmin(X，2)Y=1 一 Pmin(X，2)y=1 一PXy，2y=1 一 PXy)P2 y，当 y2时，Fy(y)=1；当 y2 时，Fy(y)=1一 PXy=PXy= 则 显然FY(y)在 y=2 处间断，选 B8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 2=4 已知，所以取检验统计量 犯第一类错误的概率为二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 因为当 x0 时，(1+2x) x 一 1=exln(1+2x)一 1xln(1+2x) 2x 2，所以(1+2x)x 一 cosx=
10、(1+2x)x 一 1+1 一 cosx2x 2+10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 任取 M(x， y，z) ，过 M(x，y，z) 垂直于 z 轴的圆交直线 L 于点M0(x0，y 0，z)，圆心为 T(0，0，z)，由|MT|=|M 0T|得 x2+y2=x02+y02则曲面的方程为 x2+y2=5z2+14z+10，于是几何体的体积为 V=12 【正确答案】 x(1 一 cosx)【试题解析】 由可微的定义，函数 y=y(x)在(0，+)内可微，且由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得13 【正确答案】 【试题解析】 =2，B -1=B*A+A 两边左乘
11、B 得 E=2A+BA，即(B+2E)A=E，则 A=(B+2E)-1=14 【正确答案】 【试题解析】 由 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=E(XY)一，得 因为 XY 的可能取值为 0，1，所以 由 Px=1=Px=1，Y=0)+Px=1，Y=1，得 Px1,Y=0= ，再 PY=0=PX=0，Y=0+Px=1 ，Y=0)= ，得 PX=0，y=0= ，则(X ，Y)的联合分布律为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 un(x)=un(x)+xn-1ex，即 un(x)一 un(x)=xn-1ex 得16 【正确答案】 由泰勒公式得 f
12、(x)=f(x0)=f(x0)(xx0)+ ，其中 介于 x0 与 x 之间由f“(x)0 得 f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)，取 x0=0 得 f(x)3x17 【正确答案】 首先求切线与坐标轴围成的面积设 M(x，y) L，过点 M 的 L 的切线方程为 +yY=118 【正确答案】 19 【正确答案】 () 设导弹在 t 时刻的坐标为 A(x(t)，y(t)，其运行轨迹方程为y=y(x)在某时刻 t0，飞机的位置为 B(0，vt) ，因为导弹的速度方向始终指向飞机，从而在 t 时刻，导弹运行轨迹曲线的切线斜率 与线段 AB 的斜率相等，于是有 两边对 x 求导数，得 因为导弹的
13、速度大小为 2v，所以y=y(x)所满足的初始条件为 y(x0)=0，y(x 0)=0( )令 ，则上式可变为20 【正确答案】 () 根据特征值、特征向量的定义，有 A1=1，即于是有 解得 a=1，b=1，=3，则()由|E 一 A|=0，得 1=2=2， 3=32E A= ，因为 r(2EA)=2，所以 A 不可对角化21 【正确答案】 原方程组的通解为 X=k(一 1，0，1) T+(2，一 1，0) T(k 为任意常数)；若 a1，则当 a=2 时，方程组无解；当 a=一 2 时 原方程组的通解为X=k(1，1，1) T+(2，2，0) T(k 为任意常数)22 【正确答案】 () 随机变量 X 的边缘密度函数为 fx(x)= 则(X， Y)的联合密度函数为 f(x，y)=f x(x)fY|X(y|x)= 则Y 的边缘密度函数为 fY(y)=-+f(x，y)dx当 y0 或 y4 时，f Y(y)=0；当 0y1时，f Y(y)= 当 1y4 时，f Y(y)= 所以()F z(z)=PZz=PXYz= 当 z0 时，F z(z)=0；当 0z1时，F z(z)= 当 1z 4 时，F z(z)=当 z4 时，F z(z)=1所以23 【正确答案】 () 总体 X 的分布函数为 F(x)=
