1、考研数学（数学一）模拟试卷 385 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 a0，b0 为两个常数，则 为( )2 设 f(x)= 且 f“(0)存在，则( )（A）a=2 ，b=2，c=1（B） a=一 2，b=一 2，c= 一 1（C） a=一 2，b=2，c=1（D）a=-2，b=2 ，c=-13 4 设 f(x)在 x0 的邻域内三阶连续可导，且 f(x0)=f“(x0)=0，f“(x 0)0，则下列结论正确的是( ) （A）x=x 0 为 f(x)的极大点（B） x=x0 为 f(x)的极小点（C） (x0，f(x 0)为曲线 y=y(x)的
2、拐点（D）(x 0，f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点5 设四阶矩阵 A=(1， 2， 3， 4)，其中 1， 2， 3 线性无关，而 4=21 一2+3，则 r(A*)为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）设 r(A)=r，则 A 有 r 个非零特征值，其余特征值皆为零（B）设 A 为非零矩阵，则 A 一定有非零特征值（C）设 A 为对称矩阵，A 2=2A，r(A)=r，则 A 有 r 个特征值为 2，其余全为零（D）设 A，B 为对称矩阵，且 A，B 等价，则 A，B 特征值相同7 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为
3、 f(x，y)= 则k 为( )（A）2（B） 4（C） 6（D）88 已知 E(X)=1，E(X 2)=3，用切比雪夫不等式估计 P一 1X4a，则 a 的最大值为( )二、填空题9 pyzdx+3zxdyxydz=_，其中 p 为曲线 从 z 轴的正向看，p 为逆时针方向10 摆线 (a0，0t2) 绕 x 轴旋转一周所得曲面的表面积为_11 设 f(x)是以 2为周期的函数，当 x-，时，f(x)=f(x)的傅里叶级数的和函数为 S(x)，则12 设 f， 分别具有二阶连续导数和二阶连续偏导数，则=_13 设 A 为三阶矩阵，其特征值为 1=一 2， 2=3=1，其对应的线性无关的特征向
4、量为 1， 2， 3，令 P=(41， 2 一 3， 2+23)，则 P-1(A*+3E)P 为_14 10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中有一件是次品，则另一件也为次品的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算二重积分 其中 D=(z，y|0x ，y1 16 设 f(x)Ca，b且 f(x)为单调增函数，若 f(a)0， abf(x)dx0， 证明：()存在(a， b)，使得 af(x)dx=0； ()存在 (a，b)，使得 af(x)dx=f()17 设 f(x，y)=(x 一 6)(y+8)，求函数 f(x，y)在点(
5、x，y)处的最大的方向导数 g(x，y)，并求 g(x，y)在区域 D=(x，y)|x 2+y225)上的最大值与最小值18 计算曲面积分 (x3+z)dydz+(y3+x)dzdx+dxdy，其中 是曲线L： (|x|1)绕 z 轴旋转一周所得到的曲面，取外侧19 当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状,若它在进入大气层开始燃烧的前 3s 内，减少了体积的 ，问此陨石完全燃尽需要多少时间 ?20 设 问 a，b，c 为何值时，矩阵
6、方程 AX=B 有解，有解时求出全部解21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=2y12y22 一 y32，又A*=，其中 =(1，1，一 1)T ()求矩阵 A； ( )求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 化为标准形22 设(X，Y)的联合密度函数为 ()求常数 k；() 求 X 的边缘密度； () 求当 X=x(0x )下 Y 的条件密度函数 fY|X(y|x)23 设随机变量 X1，X 2，X m+n(mn)独立同分布，其方差为 2，令求：()D(Y) ，D(Z)； () YZ考研数学（数学一）
7、模拟试卷 385 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 令 =m+，当 x0 +时，m+，其中 01，则 ,2 【正确答案】 C【试题解析】 f(0 一 0)=f(0)=c，f(0+0)=1，由 f(x)在 x=0 处连续得 c=1，因为 f“(0)存在，所以 a=-2，选 C3 【正确答案】 C【试题解析】 选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 由极限的保号性可知存在 0，当 0|x 一 x0| 时， 当 x(x0 一 ，x 0)时，f“(x) 0；当x(x0，x 0+)时，f“(x) 0，则(x 0,f(x0)为曲线 y
8、=f(x)的拐点，选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 由 1， 2， 3 线性无关，而 4=21 一 2+3 得向量组的秩为 3，于是 r(A)=3，故 r(A*)=1，应选(B)6 【正确答案】 C【试题解析】 显然 A 的特征值为 0，0，1，但 r(A)=2，(A)不对；设 显然 A 为非零矩阵，但 A 的特征值都是零，(B)不对；两个矩阵等价，则两个矩阵的秩相等，但特征值不一定相同，(D)不对；应选(C) 事实上，令 AX=X，由 A2=2A 得 A 的特征值为 0 或 2，因为 A 是对称矩阵，所以 A一定可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值中有，一个 2，其余全部为零7
9、 【正确答案】 C【试题解析】 得 k=6，选(C)8 【正确答案】 C【试题解析】 D(X)=2，由切比雪夫不等式得则 a 的最大值为 ，选(C) 二、填空题9 【正确答案】 8【试题解析】 设曲线 p： 所在的截口平面为，取上侧，其法向量为 n=0，一 3，1 ，法向量的方向余弦为 cos=0， 由斯托克斯公式得曲面：z=3y+1，其在 xOy 平面内的投影区域为 Dxy：x 2+y24y，10 【正确答案】 【试题解析】 对x，x+dx 0，2a，ds= 于是11 【正确答案】 【试题解析】 当 x 为 f(x)的连续点时，f(x)=S(x) ；当 x 为 f(x)的间断点时，S(x)=
10、于是12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 因为 A 的特征值为 1=一 2， 2=3=1，所以 A*的特征值为1=1， 2=3=一 2，A *+3E 的特征值为 4，1，1，又因为 41， 2-3， 2+23 也为A 的线性无关的特征向量，所以 41， 2 一 3， 2+23 也是 A*+3E 的线性无关的特征向量，所以14 【正确答案】 【试题解析】 令事件 A=所取两件产品中至少有一件次品，B=两件产品都是次品，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 D1=(x，y)|x 2+y21，x0，y0)，D 2=DD 1，16 【正
11、确答案】 () 由积分中值定理， abf(x)dx=f(c)(b 一 a)0，其中 ca，b，显然 f(c)0 且 c(a，b 因为 f(a)f(c)0，所以由零点定理，存在 x0(a，c)，使得 f(x0)=0再由 f(x)单调增加得，当 xa，x 0)时，f(x)0；当 x(x0，b时，f(x)0令 F(x)=axf(t)dt，显然 F(x0)0，F(B) 0，由零点定理，存在 (a，b)，使得 F()=0，即 af(x)dx=0 ()令 (x)=e-xaxf(t)dt， (a)=()=0，由罗尔定理，存在(a， ) (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=e-xf(x)一 axf(t)d
12、t且 e-x0，故 af(x)dx=f()17 【正确答案】 函数 f(x，y)的梯度为 gradf(x，y)=y+8 ，x 一 6，=gradf.cos，cos=gradf.e=|gradf|cos，其中 e 为射线对应的单位向量， 为梯度与射线的夹角，则 g(x，y)=|gradf|=令 H(x，y)=(x 一 6)2+(y+8)2，当 x2+y225 时，因为在 x2+y225 内无解，所以 H(x，y)的最大值与最小值在区域D 的边界上取到 当 x2+y2=25，令 F(x，y，)=(x 一 6)2+(y+8)2+(x2+y2 一 25)，因为 H(3，一 4)=25，H( 一3，4)
13、=225，所以 g(x，y)在区域 D 上的最大值和最小值分别为 15 和 518 【正确答案】 曲面：z=1 一 x2 一 y2(z0)，令 0：z=0(x 2+y21)，取下侧，由高斯公式得19 【正确答案】 设陨石体积为 V，表面积为 S，半径为 r，它们都是时间 t 的函数，20 【正确答案】 令 X=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，矩阵方程化为 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)，即当a=1，b=2，c=一 2 时，矩阵方程有解，21 【正确答案】 () 显然 A 的特征值为 1=2， 2=一 1， 2=一 1，|A|=2，伴随矩阵A*的特征值为 1=1， 2=一
14、 2， 3=一 2由 A*=得 AA*=A，即 A=2，即=(1， 1，一 1)T 是矩阵 A 的对应于特征值 1=2 的特征向量 令 =(x1，x 2，x 3)T 为矩阵 A 的对应于特征值 2=一 1， 3=一 1 的特征向量，因为 A 为实对称矩阵，所以 T=0，即 x1+x2 一 x3=0，于是 2=一 1， 3=一 1 对应的线性无关的特征向量为22 【正确答案】 ()()f x(x)=-+f(x，y)dy23 【正确答案】 () 因为 X1，X 2，X m|n 相互独立，()Cov(Y，Z)=Cov(X1+Xm)4-(Xm+1+Xn)，X m+1+Xm+n=Cov(X1+Xm，X x+1+Xm+n)+Cov(Xm+1+Xn，X m+1+Xm+n)=D(Xm+1+Xn)+Cov(Xm+1+Xn，X n+1+Xm+n)=(n 一 m)2，则
