1、考研数学（数学一）模拟试卷 389 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 y=y(x)是由方程 y2+xy+x2x=0 确定的满足 y(1)=1 的连续函数，则=_（A） 2（B） 3（C） 1（D）22 定积分 的值等于（A）（B） 2（C） 3（D）43 下列等式或不等式 中正确的共有（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个4 设 z=z(x，y)由 (bzcy ，cxaz ，ay bx)=0 所确定，其中 对所有变量有连续偏导数，a， b，c 为非零常数，且 ，则 =_（A）2c（B） c（C） 3c（D）4c5 设 A 是 3 阶
2、矩阵，其特征值为 1，1，2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是（A）A+E（B） AE（C） A+2E（D）2A+E6 n 维向量组() ： 1， 2， s 和向量组() ： 1， 2， t 等价的充分必要条件是（A）秩 r( )=r()且 s=t（B） r() =r()=n（C）向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价（D）向量组() 线性无关，向量组 () 线性无关且 s=t7 已知随机变量 ，且 X1 与 X2 独立记A=X1=1，B=X 2=1，C 1=X1X2=1，C 2=X1X2=1 ，则（A）A，B，C 1 相互独立，A，B，C 2 相互独立（B） A，B ， C1 相互独
3、立， A，B ，C 2 两两独立（C） A，B ， C1 两两独立， A，B ，C 2 相互独立（D）A，B，C 1 两两独立，A，B，C 2 两两独立8 设 X1，X 2，X n 是取自正态总 N(， 2)的简单随机样本，其样本均值和方差分别为 ，S 2，则服从自由度为 n 的 2 分布的随机变量是二、填空题9 设 在 x=0 连续且满足 g(x)=1+2x+o(x)(x0)又 F(x)=fg(x)， 则 F(0)=_10 微分方程 2x3Y=y(2x2 Y2)的通解是_11 函数 u=xyz2 在条件 x2+y2+z2=4(x0，y0，zO) 下的最大值是_12 设函数 f(x)的傅氏级数
4、的和函数为其中 an=，则 S(9)=_ 13 已知 A 是 3 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，如果矩阵 A 的特征值是 1，2，3，那么矩阵(A *)*的最大特征值是_14 设随机变量 X，Y 独立同分 N(， 2)，其联合密度函数 f(x，y)在(2，2) 处有驻点，且 f(0， 0)= ，则(X，Y)服从的分布是_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e t ，y=2t+e 2t (t0) () 证明该参数方程确定连续函数 y=y(x)，x1，+) () 证明 y=y(x)在1，+)单调上升且是凸的 () 求 y=y(
5、x)的渐近线16 设 f(x)在0，2内二阶连续可导，且 f(1)=0，证明： ()()17 设 f(x，y)，(x，y) 均有连续偏导数，点 M0(x0，y 0)是函数 z=f(x，y)在条件(x，y)=0 下的极值点，又 (x0，y 0)0，求证： () ()曲面 z=f(x，y)与柱面 (x，y)=0 的交线 在点 P0(x0，y 0，z 0)(z0=x0，y 0)处的切线与 xy 平面平行18 设 f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分 Lf(x，y)dx+xcosydy 在全平面与路径无关，且 求 f(x，y)19 设函数 f(x，y)在区域 D：x 2+y21 上有二阶连续偏导
6、数，且又 Cr 是以原点为心，半径为 r 的圆周，取逆时针方向，求20 已知 A 是 24 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，3，0，2)T， 2=(1，2， 1，3) T， 又知齐次方程组 Bx=0 的基础解系是 1=(1，1，2，1)T， 2=(0，3，1，a) T， ()求矩阵 A； ()如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0有非零公共解，求 a 的值并求公共解21 已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 3 维线性无关列向量，且A1=31+322 3，A 2= 2，A 3=81+625 3 ()写出与 A 相似的矩阵 B； ()求 A 的特征值和特征向量；
7、 () 求秩 r(A+E)22 已知(X，Y)为一个二维随机变量，X 1=X+2Y，X 2=X2Y(X 1，X 2)的概率密度为 f(x1，x 2)= ()分别求出 X 和 Y 的密度函数； ()求 X和 Y 的相关系数，并由此写出(X，Y)的联合密度23 设随机变量 X 在0，2上服从均匀分布，Y 服从参数 =2 的指数分布，且X，Y 相互独立 () 求关于 a 的方程 a2+Xa+Y=0 有实根的概率(答案可用符号表示，不必计算出具体值) ()求 PX+2Y3考研数学（数学一）模拟试卷 389 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试
8、题解析】 由隐函数存在定理知，由方程 y2 十 xy+x2x=0 确定的满足 y(1)=1 的连续函数在 x=1 邻域必有连续的导数，将方程对 x 求导得 2yy+y+xy+2x1=0，解出 y(x)= 于是 y(1)=0选(C)2 【正确答案】 D【试题解析】 故应选(D)3 【正确答案】 B【试题解析】 要逐一分析 对于：由可知正确对于：因为 arctan 在点 x=0 处无定义，不能在1，1上用牛顿一莱布尼兹公式，因此不正确事实上故不正确 综上分析，应选 (B)4 【正确答案】 B【试题解析】 两边分别对 x，y 求偏导数得由a+b，可得5 【正确答案】 D【试题解析】 由于A= i，故
9、 A 可逆 A 的特征值不为 0由 A 的特征值为1，1，2，可知 2A+E 的特征值为 3，1，3所以 2A+E 可逆故选(D) 6 【正确答案】 C【试题解析】 向量组等价的必要条件是秩相等，等价与向量的个数无关例如：向量组(1 ，0，0) ，(2，0，0) 与向量组(0，1，0) ，(0 ，2，0)的秩相等，但它们不等价；向量组(1 ，0，0) ，(2，0，0) 与向量组(3，0，0) 等价，但向量个数不同，故(A)不正确r()=r( )=n 是向量组()与向量组()等价的充分条件，不必要例如，向量组(1， 0，0) ， (0，1，0)与向量组 (2，0，0)，(0，2，0)等价，但秩不
10、为 n故(B)不正确向量组()与向量组() 的极大无关组等价，向量组()与向量组( )的极大无关组等价如果向量组() 的极大无关组与向量组() 的极大无关组等价，由等价的传递性自然有向量组() 与向量组 ()等价，反之亦对故 (C)正确应选(C)注意，等价与向量组的相关、无关没有必然的联系，故(D)不正确7 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件计算得 P(A)=P(B)=P(C 1)=P(C2)=05， P(A)P(B)P(C 1)=0 125=P(A)P(B)P(C2)， P(AB)=P(AC 1)=P(BC1)=P(AC2)=P(BC2)=025， P(ABC1)=025， P(ABC
11、 2)=0， 由此验证知(D) 正确应选(D) 8 【正确答案】 D【试题解析】 因 XN(， 2)，所以 2(n1)，又因 与 S2 独立，根据 2 分布的可加性，只需 4 个选项中的第 1 个加项服从 2(1)分布即可依题意，有 应选(D)二、填空题9 【正确答案】 4e【试题解析】 由 g(x)在点 x=0 处连续及 g(x)=1+2x+0(x)(x0) g(0)= =1由复合函数求导法及变限积分求导法10 【正确答案】 =Cx，其中 C0 为 常数【试题解析】 这是齐次方程原方程变形为分离变量得积分得 =lnx+C 1，即 =ln x+C1因此，通解为 =Cx，其中 C0为 常数11
12、【正确答案】 2【试题解析】 用拉格朗日乘子法求解令 F(x，y，z)=xyz 2+(x2+y2+z24)，解方程组 =yz2+2x= (xyz2+2x2)=0， =xz2+2y= (xyz2+2y2)=0， =2xyz+2z= (2xyz2+2z2)=0， =x2+y2+z24=0 ， 由，得 y=x，z= ，代入得 x=1，y=1，z= 因存在最大值，又驻点唯一，所以最大值为 u=xyz2 =2填 212 【正确答案】 12(1+e)【试题解析】 f(x)应为偶函数，周期 T=4(l=2)，且(*)将题设中的 an 表达式改写，即于是 S(9)=S(9+8)=S(1)=S(1)= f(10
13、)+f(1+0)=12(1+e)13 【正确答案】 18【试题解析】 因为(A *)*=A n2 A，又A= i=6，所以(A *)*=6A，从而(A *)*的特征值为 6，12，18，显然其最大特征值为 1814 【正确答案】 N(2，2；2，2；0)【试题解析】 由于 X，Y 独立同分布，故 f(x，y)=f X (x)f Y (y)=而 f(x，y)在(2 ，2)处有驻点，可知 =2又即=2e2得 2=2 所以 (X，Y)服从正态分布 N(2，2；2，2；0)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 因为 xt=1e t 0(t0)，x t(0)=0 x
14、=t+et 在0，+)单调上升，值域为1 ，+) x=t+et 在0，+) 存在反函数，记为 t=t(x)，它在1，+)连续(单调连续函数的反函数连续)再由连续的复合函数的连续性 y=2t(x)+e2t(x)y(x)在1，+)连续 ()由参数式求导法于是 y=y(x)在1，+)单调上升又 因此y=y(x)在1 ，+)是凸的 ()x+ t+又因 y=y(x)在1，+)连续，所以 y=y(x)只有渐近线 y=2x16 【正确答案】 () 这里用二阶导数来表示定积分值，一个自然的想法是用分部积分法按要证的结论(也为了利用条件 f(1)=0)，先将0，2上的积分表成0，1上的积分与1 ，2 上的积分之
15、和()用题()的结论，有17 【正确答案】 () 由题设条件 方程 (x，y)=0 在点 M0 邻域确定隐函数 y=y(x)，且满足 y(x0)=y0 M 0 点是 z=f(x，y) 在条件 (x，y)=0 下的极值点 z=fx，y(x)以 x=x0 为极值点它的必要条件是 由 x，y(x)=0 及隐函数求导法得 x+yy(x)=0，即 y(x)= 代入(*)得 ()空间曲线 ：在 P0(x0，y 0，z 0)处的切线的方向向量(切向量)为18 【正确答案】 () Lf(x，y)dx+xcosydy 在全平面与路径无关积分得 f(x，y)=siny+C(x) ()求 f(x，y)转化为求 C(
16、x)取特殊路径如图所示，由于因此 f(x，y)=siny+2xsinx 22x 2cosx219 【正确答案】 记 Cr 围成的圆域为 Dr，从线积分 的形式看，可在 Dr 上用格林公式，将此线积分化为二重积分，即20 【正确答案】 () 记 C=(1， 2)，由 AC=A(1， 2)=0 知 CTAT=0，则矩阵 AT 的列向量(即矩阵 A 的行向量)是齐次线性方程组 CTx=0 的解对 CT 作初等行变换，有 得到 CTx=0 的基础解系为1=(3， 1， 1，0) T， 2=(5，1，0，1) T所以矩阵 A= ()设齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 的非零公共解为 ，则 既可由
17、1， 2 线性表出，也可由 1， 2 线性表出，故可设 =x11+x22=x 31x 42，于是 x11+x22+x31+x2=0对( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，有 (1， 2， 1， 2)=0 x1，x 2，x 3，x 4 不全为 0*秩r(1， 2， 1， 2) a=0当 a=0 时，解出 x4=t，x 3=t ，x 2=t，x 1=2t因此Ax=0 与 Bx=0 的公共解为 =2t1t 2=t(1，4，1， 1)T，其中 t 为任意常数21 【正确答案】 () 由于 A(1， 2， 3)=(31+322 3， 2，8 1+625 3)=(1， 2， 3) 令 P=(1， 2，
18、3)，因 1， 2， 3 线性无关，故 P可逆 ，则有 P1 AP=B，即 A 与 B 相似 ()可知矩阵 B 的特征值为1，1，1，故矩阵 A 的特征值为1，1， 1 对于矩阵 B，由EB=，得特征向量(0，1，0) T，(2，0，1) T，那么由 B= 即(P1 AP)=，得 A(P)=A(P)所以 =(1， 2， 3)=2， =(1， 2， 3) =2 1+3 是 A 的特征向量，于是 A 属于特征值1 的所有特征向量是 k 12+k2(2 1+3)，其中 k1，k 2 不全为 0 ()由AB 有 A+EB+E ，故 r(A+E)=r(B+E)=122 【正确答案】 () 由(X 1，X 2)的联合密度可知 X1 与 X2 相互独立，且 X1N(4 ，3)， X 2N(2， 1) 由正态分布的性质可知，X 1，X 2 的线性组合仍服从正态分布，而由 X 1=X+2Y， X2=X2Y 根据期望和方差的性质有 ()由X1=X+2Y 可知， DX1=DX+4DY+4cov(X，Y)由二维正态分布密度函数23 【正确答案】 且 X，Y 相互独立，故方程 a2+Xa+Y=0 有实根，则需要X24Y0，即 Y 故方程有实根的概率为
