1、考研数学（数学一）模拟试卷 391 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在( ，+)内二阶可导且 0，则 0，h 10，h 20，有2 下列二元函数在点(0，0)处可微的是3 已知累次积分 ，其中 a0 为常数，则，可写成4 下列命题 若 1，则 an 发散 若 (a2n1 +a2n)收敛，则 an 收敛 若 an0， an 收敛 设 an0(n=1，2 ，)，并存在极限 nan 若an 收敛，则 an= 中正确的是（A），（B） ，（C） ，（D），5 设 A 是 mn 矩阵，则下列 4 个命题若 r(A)=m，则非齐次线性方程组 Ax=
2、b 必有解；若 r(A)=m，则齐次方程组 Ax=0 只有零解；若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解；若 r(A)=n，则齐次方程组 Ax=0 只有零解中正确的是（A）（B） （C） （D）6 下列矩阵中两两相似的是（A）A 3，A 4（B） A1，A 2（C） A1，A 3（D）A 2，A 37 设随机变量 X1，X 2 独立同分布，其分布函数为 F(x)，则随机变量X=minX1，X 2的分布函数为（A）F 2(x)（B） 2F(x)F 2(x)（C） F(x)F 2(x)（D）1F(x)+F 2(x)8 设 X1，X 2，X n+1 是取自正态总体 N(0， 2)的简
3、单随机样本，记，则 =（A）（B）（C） k2（D） 2二、填空题9 若 f(cosx+2)=tan2x+3sin2x，且 f(0)=8，则 f(x)=_10 设 u=u(x，Y)满足 +2xu(x，Y)=x，则 u(x，Y)=_11 函数 在点 M0(1，1，1)处沿曲面 2z=x2+Y2 在点 M0 处外法线方向 n 的方向导数 =_12 设有曲面 S：x 2+Y2=a2(0za)，则 =_13 设 ，B 是 3 阶非零矩阵，满足 BA=0，则矩阵 B=_14 设随机变量 ，且满足条件 PX1+X2=0=1，则PX1=X2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 5
4、为常数，m 为何值时极限 存在并求此极限值16 求函数 在0，1区间上的最大值17 设函数 z=z(x，y)由方程 确定，其中 ()求dz () 求曲面 z=z(x，y)上任意点(x，y，z)处的切平面方程及该切平面在 Oz 轴上的截距18 ()将积分 表成定积分，其中 0 给定 xa，b，yz 平面上区域 D(x)为 zyx，azx ()求三重累次积分19 ()设 f(x)在(0 ，+)可导，f(x0(x (0，+)，求证 f(x)在(0，+)单调上升 ()求证： 在(0，+)单调上升，其中 n 为正数 ()设数列xn= ，求20 已知 1=(1，3，5，1) T， 2=(2，7，a，4)
5、T， 3=(5，17，1，7) T， ()若1， 2， 3 线性相关，求 a 的值； ()当 a=3 时，求与 1， 2， 3 都正交的非零向量 4； ()当 a=3 时，证明 1， 2， 3， 4 可表示任一个 4 维列向量21 已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量，满足A1= 13 23 3，A 2=41+42+3，A 3=2 1+33 ()求矩阵 A 的特征值；()求矩阵 A 的特征向量； () 求矩阵 A *6E 的秩22 有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有 1 个红球，2 个白球，2 个黑球；乙袋装有 2 个红球，1 个白球，2 个黑球；丙袋装有 2
6、 个红球，3 个白球现任取一袋，从中任取 2 个球，用 X 表示取到的红球数，Y 表示取到的白球数，Z 表示取到的黑球数，试求：()(X，y)的联合分布；()cov(X ， Y)+cov(Y， Z)23 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为其中 0，a0 为已知参数，记 Y= ()求 的矩估计量 和最大似然估计量 ()求 Y 的数学期望 EY 的最大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 391 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 这是比较三个数的大小问题已知 f“(x)0 f(x)单调上
7、升，于是设法转化为比较导数值这是可以办到的，只要对上述两个改变量之比用拉格朗日中值定理：由 f(x)在(，+)单调上升f()f(x)f() 因此选(B)2 【正确答案】 B【试题解析】 本题中的这 4 个函数均有 f(0，0)=0按可微定义，若 f(0，0)=0 ，则f(x，y)在点(0，0)处可微，且 =0 f(x， y)=o() (0)=o(1)，即无穷小量 (0)，其中 = (B)中的 f(x，y)满足：因此，(B)中的 f(x，y)在点(0，0)处可微故应选(B) 3 【正确答案】 C【试题解析】 这是把极坐标系下的累次积分转换成 Oxy 直角坐标系下的累次积分的问题先将 I 表成 I
8、= 由 D 的极坐标表示 ，0rarcos 即 r 2=x2+y2arcos=ax，若是先 y 后 x 的积分顺序，则 D：0xa， 于是故应选 C4 【正确答案】 D【试题解析】 这 4 个命题中有两个正确，两个错误，因此只需断定其中的两个是正确的或错误的即可 易知命题是错误的，即添加了括号后的级数(a2n1 +a2n)=(a1+a2)+(a3+a4)+(a2n1 +a2n)+收敛，推不出原级数收敛例如an= ( 1)n=1+1 1+1发散，但 (a2n1 +a2n)= (1) 2n1 +(1) 2n= 0 收敛命题 也是错误的对于正项级数 an，=1，此时比值判别法失效如 an=发散因此，
9、 正确故应选(D)5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 是 mn 矩阵，若 r(A)=m，说明 A 的行向量组线性无关，那么它的延伸组必线性无关所以必有 =m从而 r(A)= ，故线性方程组Ax=b 必有解，正确下面只需判断或 正确即可 若 r(A)=n，说明 A 的列向量组线性无关，亦即 Ax=0 只有零解，所以正确，故应选(B) 当 r(A)=m 时，必有 nm如果 m=n，则 Ax=0 只有零解，而 m 有可能是 n+1，方程组Ax=b 可以无解所以不正确6 【正确答案】 C【试题解析】 判断相似应当用相似的必要条件作第一轮判别相似的必要条件是：特征值一样，秩相等， A 3，A 4
10、 虽特征值一样，但秩不相等，所以不相似A 1 与A1 或 A2 与 A3 虽秩相等但特征值不一样，因此不相似用排除法知应选(C) 实际上，A 1，A 3 的特征值都是 3，0，0，且 r(0EA 1)=1，r(0E A 3)=1，则 nr(0EA 1)=31=2， nr(0EA 3)=31=2， 说明齐次方程组(0EA 1)x=0 与(0EA 3)x=0 都有两个线性无关的解，即对应于 =0，矩阵 A1 和 A3 都有 2 个线性无关的特征向量，所以矩阵 A1 和 A3 都与对角矩阵 相似，从而 A1与 A3 相似7 【正确答案】 B【试题解析】 本题可用分布函数的性质排除(C)、 (D)因为
11、 F(x)F 2(x)=01， 1F(x)+F 2(x)=10但对于(A) 与(B) ，则无法用分布函数的性质来判定，因为它们都可以作为某个随机变量的分布函数，故需通过计算来判定 F(x)=PXx=Pmin(X1，X 2)x=1Pmin(X 1，X 2)x =1PX 1x，X 2x=1 PX1xPX 2x =1(1PX 1x)(1PX 2x)=11F(x) 2 =2F(x)F 2(x)，故选(B)8 【正确答案】 B【试题解析】 由于X1，X 2，X n+1 相互独立，当 ij 时，cov(X i，X j)=0；当 i=j 时，cov(X i，X i)=2，所以 故选(B)二、填空题9 【正确
12、答案】 【试题解析】 令 t=cosx+2 cosx=t2， cos 2x=(t2) 2， sin 2x=1(t2)2，tan 2x=(t2) 2 1 f(t)=(t2) 2 1+33(t2) 2=2+(t2) 2 3(t2) 2 f(t)=2t(t2) 1 (t 2) 3+C f(x)=2x (x2) 3+C 由 f(0)= +8+C=8 C=因此 f(x)=2x (x2) 310 【正确答案】 ，c(y)为 y 的任意函数【试题解析】 偏导数实质上是一元函数函数的导数当 y 任意给定时就是一阶线性常微分方程 两边乘 e2xdx= 得 对 x 积分得11 【正确答案】 13【试题解析】 记
13、r= ，则12 【正确答案】 【试题解析】 根据下图 用 S 的方程简化被积表达式，并注意 S 关于 yz 平面，zx 平面均对称，被积函数对 x，y 均为偶函数，于是其中 S1=Sx0，y0，投影 yz 平面上，13 【正确答案】 ，其中 k1，k 2，k 3 不全为 0【试题解析】 由 BA=0 知 r(B)+r(A)3又由 B0 知 r(B)1显然 A 中有 2 阶子式非 0，知 r(A)2故必有 r(A)=2，r(B)=1因 ATBT=0，所以齐次线性方程组 ATx=0 的解就是 B 的行向量又由 可知ATx=0 的通解为 k(1，1 ，1) T14 【正确答案】 12【试题解析】 由
14、题设知 PX1+X20=0，而 pX1+X20=PX1=1，X 2=1+PX1=1，X 2=0+PX1=0，X 2=1+PX 1=0，X 2=1+PX1=1，X 2=1=0，所以等式中的各项概率都等于零，再根据 Xi 的分布，可以求得(X 1，X 2)的联合分布表(如下所示)， 从而算得 PX1=X2=PX1=1，X 2=1+PX1=0，X 2=0+PX1=1，X 2=1=12三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 当 m0 时 I= ，极限不存在m0 时 I 为型极限，改写成 I= xxam1 (1+8x4 +2x )m1当 m10 时 I=+，m1 此时 I=
15、x(1+84 +2x )m 1= xm(8x 4 +2x )(等价无穷小因子替换)=(8mx5 +2mx1 ) 因此，仅当 m 时极限 I 存在，且 =5，m= 时 I= 5，m= 时 I=016 【正确答案】 f(x)= (x(1x) 2)n= qn(x)，x0，1 q(x)=x(1x)2，显然该级数在 x0，1收敛，即 f(x)定义在0，1上，求 q(x)在0，1上的最大值可得 f(x)在0，1上的最大值 q(x)=(1x)22x(1 x)=(1 x)(13x)17 【正确答案】 () 将方程两边求全微分得()切平面上点的坐标为(X，Y，Z)，曲面 z=z(z，y)上 点(x，y，z)处的
16、切平面方程是其中 分别是 dz 中 dx 与 dy 的系数，代入得切平面方程令X=0，Y=0 得 因此切平面在 Z轴上的截距为 其中由曲面方程得 =+z18 【正确答案】 () 交换积分次序，最后对 z 积分 D(x) 如下图在 D(x)上先对 y 积分得再交换积分次序()这是三重积分的一个累次积分 由累次积分限知 是空间区域：z1，(x，y) Dxy，D xy：x 2+y21 由锥面 z= 与平面 z=1 围成 被积函数只与 p= 有关，如下图 作球坐标变换 的球坐标表示：02，0 ，0 ，于是19 【正确答案】 () 对 121，x 2上可用拉格朗日中值定理得， (x1，x 2)(0， +
17、)使得 ()令 g(x)=lnf(x)= ln(nx+1)(x0)，考察()用() 的结论对 xn 进行适当放大与缩小20 【正确答案】 () 1， 2， 3 线性相关 秩 r(1， 2， 3)所以a=3 ()设 4=(x1，x 2，x 3，x 4)T，则有( 1， 4)=0，( 2， 4)=0，( 3， 4)=0，即所以4=k(19，6 ，0，1) T，其中 k0 () 由于 1， 2， 3， 4=12348k0 所以 x11+x22+x33+x44= 恒有解，即任一 4 维列向量必可由 1， 2， 3， 4 线性表出 或者由()知 a=3 时，1， 2， 3 必线性无关，那么：若 k 11
18、+k22+k33+k44=0，用 左乘上式两端并利用 1= 2= 3=0，有 k4 4=0，又 40，故必有 k4=0 于是k11+k22+k33=0由 1， 2， 3 线性无关知必有 k1=0，k 2=0，k 3=0，从而1， 2， 3， 4 必线性无关而 5 个 4 维列向量必线性相关，因此任一个 4 维列向量都可由 1， 2， 3， 4 线性表出21 【正确答案】 () 据已知条件，有 A( 1， 2， 3) =( 13 23 3，4 1+42+3，2 1+33) 及P1=(1， 2， 3)，那么由 1， 2， 3 线性无关知矩阵 P1 可逆，且 AP1=B，即 A与 B 相似由矩阵 B
19、 的特征多项式得矩阵 B 的特征值是 1，2，3从而知矩阵 A 的特征值是 1，2， 3 ()由(E B)x=0 得基础解系 1=(1，1，1) T，即矩阵 B 属于特征值 =1 的特征向量，由 (2EB)x=0 得基础解系 2=(2，3，3) T，即矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，由 (3EB)x=0 得基础解系 3=(1，3，4) T，即矩阵 B 属于特征值 =3 的特征向量，那么令 P2=(1， 2， 3)，则有 于是令 P=P1P2=(1， 2， 3)=(1+2+3， 21+32+33， 1+32+43)，则有 P 1 AP=(P1P2)1 A(P1P2)=所以矩阵 A 属于特征值 1，2，3 的线性无关的特征向量依次为 k 1(1+2+3)，k 2(21+32+33)，k 3(1+32+43)，ki0(i=1，2，3)22 【正确答案】 () 用全概率公式求(X，Y) ，(Y，Z)的联合分布，即有从而(X， Y)与(Y，Z)的联合分布与边缘分布可列表如下： 于是 cov(X，Y)+cov(Y，Z)=(EXYEXEY)+(EYZ EYEZ)23 【正确答案】 由于 EY 是 的单调函数，根据最大似然估计的不变性，故 EY 的最大似然估计量为
