1、考研数学（数学一）模拟试卷 395 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 f(x)在点 x=0 处（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但 f(x)在 x=0 不连续（D）可导且 f(x)在 x=0 处连续2 设 y=f(x)的导函数 f (x)在区间0 ，4上的图形如下图，则 f(x)（A）在(0 ，2) 单调上升且为凸的，在 (2，4) 单调下降且为凹的（B）在 (0，1)，(3 ，4)单调下降，在(1 ，3)单调上升，在 (0，2) 是凹的，而在(2，4)是凸的（C）在 (0，2)单调上升且是凹的，在(2，4)单调下降且是凸的（D）在
2、(0 ，1) ，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凸的，而在(2，4)是凹的3 设 f（ x)是周期为 2 的周期函数，且 f(x)的傅里叶级数为 (ancosnx+bnsinnx)，则 n1时，a n=_4 设 L 为从 O(0，0)沿曲线 y=sin x 到点 A(1，1)的曲线，则曲线积分 I=L(ey+x)dx+(xey2y)dy=（A）e+（B） e1（C） e（D）e+15 设 A= ，B 是 2 阶矩阵，且满足 AB=B，k 1，k 2 是任意常数，则 B=6 设 1= ， 2= ， 3= ， 4= ，则三个平面 a 1x+b1y+c1z+d1=0， a2x
3、+b2y+c2z+d2=0， a 3x+b3y+c3z+d3=0 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是（A）秩 r(1， 2， 3)=1，秩 r(1， 2， 3， 4)=2（B）秩 r(1， 2， 3)=2，秩 r(1， 2， 3， 4)=3（C） 1， 2， 3 中任两个向量均线性无关，且 4 不能由 1， 2， 3 线性表出（D） 1， 2， 3 中任两个向量均线性无关，且 4 可由 1， 2， 3 线性表出7 将一枚均匀的骰子投掷三次，记事件 A 表示“第一次出现偶数点”，事件 B 表示“第二次出现奇数点 ”，事件 C 表示“ 偶数点最多出现一次” ，则（A）A，B，C 两两独立（B）
4、 A 与 BC 独立（C） B 与 AC 独立（D）C 与 AB 独立8 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)，已知 y=，对给定的 (0满足 PYy=，则有（A）y y1 =1（B） =1（C） =1（D） =1二、填空题9 设 f(x，y)可微，f(x ，x 2)=1， ，则 x0时，f 1 (x，x 2)=_10 设 y(x)是 y“+y =0 的解且 x0 时 y(x)是 x2 的等价无穷小，则 y(x)=_11 设 是由曲面 y2+x2=1，x+y=1，xy=1 围成，则 的体积V=_12 设积分区域 D=(x，y)1x1，1y1，则二
5、重积分= _13 已知 ，那么矩阵 A=_14 设 X，Y 分别服从参数为 与 的 0-1 分布，且它们的相关系数 PXY= ，则X 与 Y 的联合概率分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)= () 求证： ，f(x)为常数； ()求f(x)16 已知 (x)=xex +e2x ， (x)=xex +xe2x ， (x)=xex +e2x +xe2x 是某二阶线性常系数微分方程 +py+qy=f(x)的三个特解 ()求这个方程和它的通解； ()设 y=y(x)是该方程满足)，(0)=0，y (0)=0 的特解，求17 设 z=z(x，y)有二阶连续的偏导数
6、且满足 ()作自变量与因变量变换 u=x+y，v=x y，w=xyz， 变换 z 的方程为 w 关于 u，v 的偏导数满足的方程； () 求 z=z(x，y)18 求曲面 x2+(y1) 2=1 介于 xOy 平面与曲面 z= (x2+y2)之间的部分的面积19 设正项级数 an，S n= ak 是它的部分和 ()证明 收敛并求和； ( )证明级数 绝对收敛20 已知 A 是 3 阶矩阵， i(i=1，2，3)是 3 维非零列向量，若 Ai=ii(i=1，2，3)，令 = 1+2+3 ()证明：，A，A 2线性无关； ()设 P=(，A，A 2)，求P1 AP21 设二次型 xTAx= + +
7、 +2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵 A 满足 AB=0，其中B= ()用正交变换化二次型 xTAx 为标准形，并写出所用正交变换； ()求(A3E) 622 设某地区在一年内发生一般性交通事故的次数 X 和发生重大交通事故的次数 Y相互独立，且分别服从参数为 1 和 2 的泊松分布，试求在一年内共发生了 n(n0)次交通事故的条件下，重大交通事故 Y 的条件概率分布23 设总体 X 的概率密度为 其中 a，b(b0)都是未知参数，又 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，试求 a 与 b 的最大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 395 答案与解析一、选择题下
8、列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 显然，函数 在点 x=0 处可导，又但不相等，即 g(0)不 ，但 g(x)在点 x=0 处连续 f(0)不 (f(x)=(x)+g(x)，但f(x)在点 x=0 处连续因此，选 (B)2 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)的升降性取决于 f(x)的正负号，f(x)的凹凸性取决于 f(x)的升降性如上图，当 x(0，1)或 x(3，4)时 f(x) f(x)在(0，1)，(3，4)单调下降；当x(1，3)时 f(x)0 f(x)在(1，3) 单调上升又 f(x)在(0，2)单调上升 f(x)在(0，2)是凹
9、的； f(x)在(2 ，4)单调下降 f(x)在(2 ， 4)是凸的因此，应选(B)3 【正确答案】 C【试题解析】 这是求傅里叶系数的问题若 f(x)以 2l 为周期，按公式取 l=1，得故选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 先求原函数，再求积分值。故应选(C)5 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB=B 有(AE)B=0 ，因而 B 的列向量是齐次方程组 (AE)x=0的解又 AE= 那么齐次方程组(A E)x=0 的基础解系是(1， 1)T，所以应选(D) 6 【正确答案】 C【试题解析】 三个平面两两相交，说明方程组 必无解因此 r(1， 2， 3)r(1， 2， 3， 4)，可
10、排除(D) 而 r(1， 2， 3)=1，说明三个平面的法向量共线，因此这三个平面必平行或重合，可排除(A) 当三个平面两两相交成三条平行直线时，这三个平面的法向量是共面且互不平行的即(a1，b 1，c 1)， (a2，b 2，c 2)，(a 3，b 3，c 3)共面且互不平行因此 =0 且任两行不成比例从而秩 r(1， 2， 3)=2但当 r(1， 2， 3)=2 时，不能保证任意两个平面不平行，故(B)是必要条件 由排除法可知，应选(C)7 【正确答案】 D【试题解析】 应用条件概率是否与无条件概率相等来判断独立性所以 P(ABC)= P(A)故 A 与 BC 不独立，(B)不正确由于P(
11、BAC)=1P(B) ，故 B 与 AC 不独立，(C) 不正确由于 P(CAB)=12=P(C)，故 C 与 AB 独立，所以应选(D)8 【正确答案】 A【试题解析】 依题意可知， 相互独立且都服从自由度为 2 的2 分布，因此 Y= 因为 PYy=，即y=F(2，2) ，又 1=1PYy =PYy=PY= 而 F(2，2)，所以 1= 由 =PYy可知 y1 = ，即 yy1 =1故应选(A)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 f(x，x 2)是二元函数 f(x，y)与一元函数 x=x，y=x 2 复合而成的一元函数，由 f(x， x2)=1 及复合函数求导法得于是 f y(x，x
12、 2)=10 【正确答案】 2(1cosx)【试题解析】 令 P=y，则得 P“+P=0，它的特征方程是 2+1=0，于是通解为y=P=C1cosx+C2sinx，再积分一次，即得原方程的通解是 y=C 1sinxC 2cosx+C3 下面要定出常数 C1，C 2，C 3 由泰勒公式 y(x)=y(0)+y(0)x+ y“(0)x2+o(x2) (x0)及 y(x)x 2 (x0) y(0)=0，y(0)=0，y“(0)=2y(x)=2(1cosx)11 【正确答案】 2【试题解析】 在 xOy 平面上的投影区域 Dxy 是由 xOy 平面上的曲线x+y=1与xy=1 围成，见图于是 表示为D
13、xy 在第一象限部分记为 D1，由对称性得 其中 D1：0y1，0x1y于是12 【正确答案】 83【试题解析】 被积函数分块表示，要分块积分用 x+y=0 将 D 分成 D1 与 D2，如图所示因此填 8313 【正确答案】 【试题解析】 由于 A(A2)2=A5，故 A=(A2)21 A5=(A2)1 2A514 【正确答案】 【试题解析】 依题意，EX=34，DX=316， EY=12，DY=1 4，cov(X，Y)=XY E(XY)=cov(X，Y)+EXEY=设(X，Y)的联合分布与边缘分布如下表：由于 X，Y 只取 0，1 两个值，所以 E(XY)=p 221=1 2 ，即 p22
14、=12再由(X，Y) 的联合分布与边缘分布的关系，可得 p 12=0，p 11=P21=14三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 由变限积分求导法得 f(x)=arcsinsinx 2sinxcosx arccoscosx2sinxcosx =2sinxcosx(arcsinsinxarccoscosx)记 =arcsinsinx=arccoscosx，下证 =显然， ， 只须证 sin=sin；因sin=sinx ，cos= cosx sin2+cos2=1， sin2=sin2 =因此 f(x)=0 (x)，即 f(x)为常数( x) ()16 【正确
15、答案】 () 由线性方程解的叠加原理 y1(x)=y3*(x)y 2*(x)=e2x ，y 2(x)=y3*(x)y 1*(x)=xe2x 均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的于是该齐次方程的特征根是重特征根 =2，相应的特征方程为 (+2) 2=0，即 2+4+4=0，原方程为 y“+4y+4y=f(x) (*)又 y*(x)=xex 是它的特解，求导得 y *(x)=ex (1x)， y*“(x)=ex (x 2)代入方程(*)得 e x (x2)+4e x (1x)+4xe x =f(x) f(x)=(x+2)ex所求方程为 y“+4y+4y=(x+2)ex ，其通解为 y=C 1e
16、2x +C2xe2x +xex ，其中C1，C 2 为 常数 () C1，C 2，方程的任意解 y(x)均有不必由初值来定 C1，C 2，直接将方程两边积分得17 【正确答案】 ()x=xy w，由复合函数微分法则，得()解方程(*)，对 u 积分得 再对 u 积分其中 (v)，(v)是任意的有二阶连续导数的函数则 x=xy (x+y)2+(xy)(x+y)+(x y)18 【正确答案】 如下图 记这部分曲面为，它关于 yz 平面对称，第一卦限部分曲面方程 x= (y，z)Dyz于是的面积 S 为 先求曲面微元表达式：再求投影区域 Dyz由消去 x 得 z=y，这是 Dyz 的一条边界，另外的
17、边界线是柱面x2+(y1) 2=1 与 yz 平面的交线，即 y=2 以及 y 轴，于是 D yz：0zy ，0y2最后可求19 【正确答案】 () 级数 的部分和 Tn 易求出()考察级数 由 Sn 与 an 的关系：Sn=a1+a2+an1 +an，an=S nS n1 ，将一般项 改写成只与 Sn 有关，即因正项级数的部分和数列 Sn 单调上升，上式可放大成由题() 收敛，再由比较原理知， 收敛因此，原级数绝对收敛20 【正确答案】 () 由 A1=1，A 2=22，A 3=33，且 1， 2， 3 非零可知，1， 2， 3 是 A 的不同特征值的特征向量，故 1， 2， 3 线性无关
18、又A=1+22+33，A= 1+42+93，若 k1+k2A+k3A=0，即 k 1(1+2+3)+k2(1+22+33)+k3(1+42+93) =0， 则 (k 1+k2+k3)1+(k1+2k2+4k3)2+(k1+3k2+9k3)3=0 由 1， 2， 3 线性无关，得齐次线性方程组 因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为 0，所以必有 k1=k2=k3=0，即 ，A，A 2线性无关 () 因为 A3=1+82+27a3=611A+6A 2，所以 AP=A(，A，A 2) =(A，A 2，611A+6A 2)=(，A，A 2) 故 P1 AP=21 【正确答案】 () 由 AB= =0
19、 知，矩阵 B 的列向量是齐次方程组Ax=0 的解向量记 1= ， 2= ，则 A1=0=01，A 2=0=02 由此可知 =0是矩阵 A 的特征值(至少是二重)， 1， 2 是 =0的线性无关的特征向量根据i=aii 有 0+0+3=1+4+1，故知矩阵 A 有特征值 =6因此，矩阵 A 的特征值是0，0，6 设 =6的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有 解出 3=(1，2，1) T 对 1， 2正交化，令 1=(1，0，1) T，则 2=2 =(2，1，0) T (1，0，1)T=(1，1，1) T 再对 1， 2， 3 单位化，得
20、 1= (1，0，1)T， 2= (1， 1，1) T， 3= (1，2，1) T 那么经坐标变换 X=Qy，即二次型化为标准形 xTAx= ()因为A ，有 A3E 3E，进而(A3E) 6( 3E) 6又 3E=，所以由 Q1 AQ= 得 Q1 (A3E) 6Q=( 3E) 6=36E于是(A 3E)6=Q( 3E) 6Q1 =Q(36E)Q1 =36E22 【正确答案】 由条件知，n 的取值为 0，1，2，在一年内发生 X+Y=n 次交通事故的概率为 PX+Y=n= P=i，Y=n i= PX=iPY=ni对任意整数k(0kn)，有由上面计算可知，在一年内发生 n 次交通事故的条件下，重大交通事故 Y 的发生次数服从二项分布23 【正确答案】 设 x1，x 2，x n 为样本 X1，X 2，X n 的观测值，则似然函数L(x1，x 2， ，x n；a ，b) L(a，b)为由于 nb0，故lnL(a，b) 与 L(a，b) 关于 a 是增函数，但是又因只有 a1，x 2，x n)时，L=(a ，b)才不等于零，故 a 可取的最大值为 min(x1，x 2，x n)再根据方程于是 a，b 的最大似然估计量分别为
