1、考研数学（数学一）模拟试卷 402 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在( ，) 上连续，F(x) 0xf(t)dt，则下列命题中错误的是( )。（A）若 f(x)是偶函数，则 F(x)是奇函数（B）若 f(x)是奇函数，则 F(x)是偶函数（C）若 f(x)以 T 为周期且是偶函数，则 F(x)以 T 为周期且是奇函数（D）若 f(x)以 T 为周期且是奇函数，则 F(x)以 T 为周期且是偶函数2 设正项级数 收敛，则级数 ( )。（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定3 设 ，则( )。（A）F(x)0（B） F(
2、x)2（C） F(x)arctanx（D）F(x)2arctanx4 微分方程 y“y e x1 的一个特解具有的形式为( )。（A）Ae xB（B） AxexB（C） AexBx（D）Axe x Bx5 若 1， 2， 3， 1， 2 都是四维列向量，且四阶行列式 1， 2， 3， 1m， 2， 1， 2， 3n，则四阶行列式 3， 2， 1， 1 2等于( )。（A）mn（B） (mn)（C） nm（D）mn6 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关向量组是( )。（A） 1 2， 2 3， 3 1（B） 1 2， 2 3， 12 2 3（C） 12 2，2 23 3，
3、 33 1（D） 1 2 3，2 13 222 3，3 15 25 37 设 X 为随机变量，若矩阵 的特征值全为实数的概率为05，则( ) 。（A）X 服从区间0，2 上的均匀分布（B） X 服从二项分布 B(2，05)（C） X 服从参数为 1 的指数分布（D）X 服从正态分布8 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从正态分布 N(， 2)，若概率 P(aXbY)12，则( ) 。（A）a1 2，b12（B） a12，b12（C） a12，b12（D）a1 2，b12二、填空题9 向量 xi yjzk 穿过封闭圆锥曲面 z2x 2y 2，0zh 的流量等于。10 设 L 为椭圆 ，其周长为
4、，则 (2xy3x 25y 2)ds。11 曲线 ： 处的切线方程是。12 设 S 为圆锥面 被曲面 x2y 22ax(a0)所截下部分，则曲面积分。13 已知 ，A *是 A 的伴随矩阵，则( A*A2)1 。14 设 X1，X 2，X n 是取自标准正态总体的简单随机样本，已知统计量服从 t 分布，则常数 。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 x2x 10，证明 sincos (x 1 x 2)。16 求函数 f(x，y)4x4yx 2y 2 在区域 D：x 2y 218 上的最大值和最小值。17 (1)证明曲线积分 在曲线 L 不经过 x 轴的情况下，积分与路径无
5、关； (2)如果曲线 L 的两端点为 A(，1)及 B(，2)，计算积分的值。18 计算曲面积分 其中 S 是球面x2y 2z 2 a2 的上半部分与平面 z0 所围成的闭曲面外侧。19 设二阶常系数线性微分方程 y“yye 2x 的一个特解为 ye 2x(1x)e x，求此方程的通解。20 求作一个齐次线性方程使得它的解空间由下面四个向量所生成 1 1， 1，1，2，0 T， 212，12，12，6，4 T， 3 14，0 ，0，54， 1T， 41，2，2，9，4 T。21 A，B，C 均是 n 阶矩阵，且 ABO，ACC O。如秩(B)秩(C)n，证明A，并求对角阵 。22 设随机变量
6、k 在区间(5，5)内服从均匀分布，求方程 x2kx10 有实根的概率。23 设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为求常数 c 及条件概率密度 fYX (yz)。考研数学（数学一）模拟试卷 402 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 解题思路 利用 0xf(t)dt 的性质判定。 解 利用 0xf(t)dt 的性质知，(A) 、(B)均正确，而(C) 错误。例如， f(x)1 是以 T 为周期的偶函数，但 F(x) 0x1dtx不是周期函数，但(D) 是正确的。 我们知道，若 f(x)是以 T 为周期，则其原函数F(x)
7、0xf(t)dt 也是以 T 为周期的充要条件是 0Tf(x)dx0。当 f(x)以 T 为周期且是奇函数时，有 ，因而 F(x) 0xf(t)dt 以T 为周期且是偶函数，仅(C)入选。2 【正确答案】 B【试题解析】 解题思路 所给级数为正项级数，判别与此有关的另一级数的敛散性，需利用下述判别正项级数敛散性的比较判别法。 设 均为正项级数。(1)若存在一个与 n 无关的正常数 c1，从某一项起有 anc1bn，若级数 收敛，则级数 收敛；(2)若存在一个与 n 无关的常数 c2，使从某一项起有anc2bn，若级数 发散，则级数 发散。(3) 比较判别法的极限形式：若，则当 0 l时， 有相
8、同的敛散性；当 l0时， 收敛；当 l时， 发散。解 因 为正项级数，故 an0，即 为正项级数。因收敛，故 ，则所以 有相同的敛散性，因而也收敛。因 而绝对收敛，仅(B)入选。3 【正确答案】 B【试题解析】 解题思路 虽然可直接积分，但不易化成所选的结果，通过变量代换 t1 u 将后一个积分化成反常积分求之。4 【正确答案】 D【试题解析】 解题思路 视 ex1 为两个非齐次项 f1(x)e x，f 2(x)1e 0x，于是需考察 0 与 1 是否为特征方程的根，据此分别写出 y1*与 y2*的形式。 解 原方程对应的齐次方程为 y“y0，它的特征方程为 r2 r0，解得 r11，r 20
9、。 对于非齐次项 ex，因 1 是特征方程的根，故原方程的特解应为 y1*Axe x。 对于非齐次项 1e 0x， 0 也是特征方程的根，原方程特解应为 y2*Bx，故仅(D)成立。5 【正确答案】 C【试题解析】 解题思路 利用行列式性质将所给行列式分解为已知其值的行列式的代数和。 解 3， 2， 1， 1 2 1， 2， 3， 1 2 1， 2， 3， 1 1， 2， 3， 2 1， 2， 3， 1 2， 2， 3， 1 m 2， 1， 3， 2 m 2， 1， 2， 3 mnn m 。仅(C) 入选。6 【正确答案】 C【试题解析】 解题思路 用线性无关向量组线性表示的向量组的线性相关性
10、的判定常用下述矩阵表示法： 设向量组()： 1， r 能由线性无关向量组() ：1， ， s 线性表示为 或 1， r 1， sgijsr 1， sG，则向量组()线性无关的充要条件是秩(K)r( 或秩(G) r)。当 r s 时，归结为计算行列式K或G 。如它们不等于0，则向量组() 线性无关；如等于零，向量组()线性相关。(参阅考研数学一常考题型解题方法技巧归纳(第二版)P310) 解一 对于(A) ，令1 1 2， 2 2 3， 3 3 1，则 1 2， 2 3， 3 3 1 1， 2， 3 1， 2， 3G1，而故向量组 1 2， 2 3， 3 1 线性相关。 对于(B)，令 1 1
11、2， 2 2 3， 3 12 2 3，则1 2， 2 3， 12 2 3 1， 2， 3 1， 2， 3G2，而故向量组 1 2， 2 3， 12 2 3 线性相关。对于(C)，令 1 12 2， 22 23 3， 33 3 1，则12 2，2 23 3，3 3 1 1， 2， 3 1， 2， 3G3，而故向量组 12 2，2 23 3，3 3 1 线性相关。对于(D)，令 1 1 2 3， 22 13 222 3， 33 15 25 3，则1 2 3， 213 222 3，3 15 25 3 1， 2， 3 1， 2， 3G4，而G 4 0，故(D)中向量组线性相关，仅(C)入选。解二 也可
12、用定义判别，对于选项(C)，令 k 1(12 2)k 2(223 3)k 3(33 1)0，即 (k 1k 3)1(2k 12k 2)2(3k 23k 3)30。因 1， 2， 3线性无关，故 因该方程组的系数矩阵行列式不等于 0，故该方程组只有零解，即 k1k 2 k30，所以该向量组线性无关，仅(C)入选。7 【正确答案】 A【试题解析】 解题思路 先计算 A 的特征多项式，再由特征值全为实数应满足的概率条件进而确定 X 的分布。解 因EA (2)(2 2X) ，故 A 的特征值全为实数的条件为 b24ac 44X0 ，由题设有P(44X0) 05，即 P(X1)P(0X1)(10)(20
13、)05，因而 X 服从区间0， 2上的均匀分布，仅(A) 入选。8 【正确答案】 B【试题解析】 解题思路 先求出 aXbY 服从的正态分布，根据正态分布的性质：其随机变量在其数学期望的左右两侧取值的概率均为 12，找出 a 与 b 的关系并由此关系判定选项。 解 因 X，Y 相互独立，且都服从 N(， 2)，故 aXbY 服从正态分布，且 aXbYN(ab，(a 2b 2)2)， 所以 P(Xab)12。 于是 ab ，即 ab1，因而仅(B)入选。二、填空题9 【正确答案】 h 3【试题解析】 解 所求流量为10 【正确答案】 15【试题解析】 解 由 L 的椭圆方程得到 3x25y 21
14、5，代入被积函数得到又因 L 关于 x 轴与 y 轴对称，而 2xy关于 y 为奇函数，故 因 L 的周长为 ，所以11 【正确答案】 【试题解析】 解一 易写出切曲线 的参数方程： xcost， ysint ， z2costsint 。点 P 在曲线上对应于 t4，则 在 P 点的切线向量为于是 在点 P 处的切线方程为 解二 空间曲线 的方程为面交式方程 在点 P 处的切线方向向量为n 1n2grad(x 2y 21)grad(xyz2) P其中 n1(F x，F y，F z) P，n 2(G x，G y，G z) P 分别为两相交曲面的法向量，于是 在 P 点的切线方程为 解三 为求交面
15、式方程表示切线，先求 x2y 210 在 P 点的切平面方程，为此求出 x2y 210 在点P 处的法向量为 n(2x，2y，0) P 于是设该面在 P 点的切平面方程为 即 xy ，则 在 P 点的切线方程为12 【正确答案】 【试题解析】 设曲面 S 在平面 xOy 上的投影区域为 Dxy，则 D xy(x，y)x 2y 22ax，或 D(r，) 22，0r2acos。13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 解 因 XiN(0，1)(i1，2，n)且 X2，X 3，X n 相互独立，故 X 22X 32X n2 2(n1)。又 X1N(0 ，1) 且与 X22X
16、 32X n2 相互独立，故由 t 分布的典型模式得到三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 证 令 (x)sinxx，g(x)1x，对 (x)，g(x)在x 1，x 2上使用柯西中值定理，得到16 【正确答案】 解 先求出 f(x，y)在开区域 x2y 218 内的可能极值点，解方程组 得其驻点(2，2)D。 再求 f(x，y) 在边界x2y 218 上的可能极值点，下用拉格朗日乘数法求之。为此，设 F(x，y，)4x4yx 2y 2(x 2y 218)，则 由前两个方程易得 ，于是 xy2yxy2x，即 yx，将其代入第三个方程得到 x3，y 3，求得边界区域
17、 D 上的驻点(3 ，3)，(3，3)，因f(2，2)8，f(3 ，3) 6，f(3，3)42，故 f(x，y)在 D 上的最大值为 8，最小值为42。17 【正确答案】 在曲线不经过 x 轴时， 连续，由此可知该积分与路径无关。18 【正确答案】 解 因 P xz2，Qx 2y，Ry 2z，故由高斯公式得 (xz2dydzx 2ydzdxy 2zdxdy) (x2y 2z 2)dxdydz。因积分区域由球面所围成，且被积函数中含有 x2y 2z 2因子，用球坐标系计算较简，故xz2dydzx 2ydzdxy 2zdxdy 02d0/2d0a22sind 。19 【正确答案】 解 由所给方程的
18、非齐次项为 e2x 及特解中含有 e2x 项知，y *e 2x是原方程的一个特解，于是 y(1x)e x 应是对应齐次方程的特解，因而 1 为特征方程的二重特征根，于是特征方程为 r 22r10，则齐次方程应是 y“ 2yy0。故 2， 1。又 y*为非齐次方程的特解，代入其中得 4e2x22e 2x e2xe 2x， 故 1。因 y1e x，y 2xe x 都是 y“2y y0 的解，且故其线性无关，所以 Y(c 1c 2x)ex 为 y“2y y0 的通解，又 y*e 2x 是非齐次方程的一个特解，故 y(c 1c 2x)exe 2x 是非齐次方程的通解。20 【正确答案】 解 因 故 1
19、， 2 线性无关，3， 4 可由 1， 2 线性表出。令 ，求 BX0 的基础解系，由于故 BX0 的一个基础解系为 10 ，1，1，0，0 T， 25 ，7，0，1，0 T， 3 4，4，0，0，1 T，于是，所求的齐次线性方程组的系数矩阵为21 【正确答案】 证 设 B，C 的 n 个列向量分别为 B 1， 2， n， C 1， 2， n，则由 ABO 得 A1， 2， nO，即 A i00 i (i1，2，n) ，又设秩 (B)k，则 0 为 A 的特征值，且属于特征值 0 的线性无关的特征向量有 k 个， 又由 ACCO 得到 ACC，即 A 1， 2， n 1， 2， ， n，则 A i i(1) i，故1 为 A 的特征值，因 秩(C)n秩(B) nk，故属于特征值1 的线性无关的特征向量共有 nk 个，因而A 有 n 个线性无关的特征向量，故 A，且22 【正确答案】 解 随机变量 k 的概率密度为要使二次方程 x2kx10 有实根，其判别式必不小于 0，即 k 240， 亦即 k2，故 k2 或 k2 时方程有实根，其概率为 P(k2k2) P(k2)P(k2) P(5k2)P(2k5) 或 P(k2)P(k2) 2 f(x)dx 2 f(x)dx23 【正确答案】
