1、考研数学（数学一）模拟试卷 403 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，f(a) 0，f(b)0，则方程 f(x)在(a，b)内( )。（A）没有实根（B）有且仅有一个实根（C）有且仅有两个不相等的实根（D）至少有两个不相等实根2 直线 ( )。（A）垂直不相交（B）垂直相交（C）相交不垂直（D）既不垂直也不相交3 级数 ( )。（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）可能收敛4 已知曲面 S：x 22y 2 3z21，y0，z0；区域 D：x 22y1，x0，则( )。5 设 P，Q 都是
2、n 阶矩阵，且(PQ) 2E，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有( )。（A）(QP) 2E（B） P2Q2E（C） Q2P2E（D）以上均不对6 设 A 是三阶非零矩阵，满足 A2O，则线性非齐次方程 AXb 的线性无关的解向量个数是( ) 。（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个7 设随机变量 X，Y 相互独立，且分别服从参数为 和 的指数分布(，)(0，0)，则 P(XY)等于( ) 。8 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)(0)，且 P(X)（A）小于 1（B）等于 1（C）大于 1（D）不能确定二、填空题9 。10 曲面 zy lnx lnz 0 与平面 xy
3、2z 1 垂直的法线方程为。11 。12 原点 O(0，0，0) 到直线 的距离d。13 设二次型 f(x 1，x 2，x n)(nx 1)2(nx 2)2(nx n)2(x 1x 2x n)2(n1)， 则 f 的秩是。14 设 X 的概率密度函数 已知 P(X1) ，则 E(X2)。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求 。16 设 f(0)g(0) ，f(0) g(0)，f“(x) g“(x)(当 x 0 时) ，证明：当 x0 时，f(x)g(x)。17 设 证明 f(x，y)在点(0，0)处不可微。18 设幂级数 ，当 n1 时，a n2 n(n1)a n，且 a
4、04，a 11。(1)求级数的和函数 S(x)；(2)求 S(x)的极值。19 求 x2y“xyyx 的通解。19 设 n 阶方阵 A 的每行元素之和为 a，A0，则20 a0；21 A1 的每行元素之和为 a1 。22 设矩阵 A 的伴随矩阵 且矩阵 A，B 满足( A)1 *BA1 2AB12E，求矩阵 B。23 有甲、乙两袋，甲袋中装有两个白球和四个黑球，乙袋装有五个白球和三个黑球，今从甲袋随机地取出两个球放入乙袋，然后从乙袋中取出一球，问取出的为白球的概率为多少?24 设二维随机变量(X，Y)服从区域1x1，0y2 上的均匀分布，求二次曲面x122x 22Yx 322x 1x22Xx
5、1x31 为椭球面的概率。考研数学（数学一）模拟试卷 403 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 解 因 故在 a 的某邻域内存在点 x1，ax 1 ，使 f(x1)0。 同理由 f(b)0 知，必存在点 x2，x 2b ，使 f(x2)0。由连续函数性质(介值定理 )知，存在 c(x1，x 2)(a， b)，使 f(c)0。 在闭区间 a，c和c ，b上对 f(x)分别使用罗尔定理知，至少存在一点 1(a，c)，使得 f(1)0，至少存在一点 2(c，b) ，使得 f(2)0，故方程 f(x)0 在(a，b)内至少有两个不
6、相等的实根，仅(D)入选。2 【正确答案】 B【试题解析】 解 先求出 L1 的方向向量 i2jk (1,2,1)。 令 1( 1，2，1)和 L2 的方向向量 2(4， 1，2)，因 120，故L1L2，排除(C)、(D) 。再考虑它们是否相交，为此令 ，则 x64t ， yt ， z32t，代入 L1 的方程中得 t3，即得其交点为(6， 3，9)，仅(B)入选。3 【正确答案】 A【试题解析】 解 仅(A) 入选。 而 发散，由比较收敛法知其发散，故原级数不绝对收敛。由莱布尼兹定理知，原级数收敛，故其条件收敛。4 【正确答案】 C【试题解析】 解 因 S 关于平面 yOz 对称，故 ，又
7、 D 关于 x 轴对称，而y 又是关于 y 为奇函数，故 ，因而 。仅(C)入选。5 【正确答案】 A【试题解析】 解 仅(A) 入选。由 (PQ)2E 得 PQPQE，则 QPQPE(QP)(QP)(QP) 2E 。6 【正确答案】 C【试题解析】 解 先求 r(A)，因 A2AAO，故 r(A)r(A)2r(A)3 ， 即 r(a)32， 亦即 r(A)1。 又 AO， r(A)1 ， 故 r(A)1， 从而 nr13r(A)13113， 即 AXb 有 3 个线性无关的解向量，仅 (C)入选。7 【正确答案】 A【试题解析】 解 因 X，Y 的概率密度函数分别为8 【正确答案】 A【试题
8、解析】 解 因 P(X)P(X)1P(X)1，又已知 P(X )P(X)，因而 P(X)12，而 P(X)12，根据分布函数单调不减的性质应有 ，从而 的值小于 1，仅(A)入选。二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 x1y1(z1) (2)【试题解析】 解 令曲面方程为 F(x，y，z) zylnxlnz 0。设切点坐标为(x0，y 0，z 0)，在该点处曲面的法向量为由平行条件得到从而求得 x01，z 01，将(x，y，z) (1，y 0，1) 代入 F(x，y，z)0 得到 y01， 于是(x 0，y 0，z 0)(1，1，1)，故所求的法线方程为 x1y1(z1
9、)(2)。11 【正确答案】 4【试题解析】 12 【正确答案】 1【试题解析】 解一 已知 P1(x1，y 1，z 1)P 1(2，1，2)，P 0(x0，y 0，z 0)P 0(0，0，0)，则 (2 ，1，2)，s(l，m，n)(3，4，5) ，将上述数值代入上述公式，即得 d1。解二 由题设知直线的方向向量为s3， 4，5，过点 O(0， 0，0)且垂直于直线的平面方程为 3(x0)4(y 0)5(z 0)3x4y5z0。解方程组 用克菜姆法则易求得垂足 P2(x2， y2，z 2)P 2( ，0)，则。13 【正确答案】 n【试题解析】 解一 二次型 f 的矩阵为 此矩阵 A 的主对
10、角线上的元素全为 n21，非主对角线上的元素全为1，由上述结果可直接写出该矩阵的行列式的值： A(n 21)(n 1)(1)(n 21)(1)n 1 (n 2n)(n 2)n1 n(n1)(n n1 )。因 n1，故A0，所以 f 的秩为 n。 解二 矩阵 A 是行(列) 和相等的矩阵，也可用初等变换求其秩：则，故 r(A)r(A 1)n，即 f 的秩等于 n。14 【正确答案】 【试题解析】 解 由 P(X1)1P(X1) 1 1 ex dx1e 12，故ln2，于是 则 E(X 2)D(X)E(X) 2 。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答
11、案】 证 令 F(x)g(x)f(x) ，则 F(0)0， F(0)0， F“(x)0。 由拉格朗日中值定理得到 F(x)F(x)F(0)xF( 1)，0 1x， F( 1)F( 1)F(0) 1F“(2)，0 2 1， 则 F(x)xF( 1)x 1F“(2)。 因 F“(x)0，x0， 10，故 F(x)0，即 f(x)g(x)。17 【正确答案】 证 先求 fx(0，0) 与 fy(0，0)，因由 f(x，y)的对称性即知fy(0，0)存在，且 fy(0，0)0。 由可微的定义求出。18 【正确答案】 因 an2 n(n1)a n，故 即 S“(x)S(x)0。 式 的特征方程为 r21
12、0，解得 r11，r 21，其通解为 S(x)c 1exc 2ex 。因 S(x)c 1exc 2ex ，a 04，a 11，故 S(0) 4， S(0)1。代入通解式中得 则所求的和函数为19 【正确答案】 解 令 xe t，tlnx，则有将其代回原方程，化原方程为e te t 。其特征方程为 r22r10，r 1r 21，故对应齐次方程的通解为 Y(c 1c 2t)etx(c 1c 2lnx)。令待求的一个特解为 y1*At 2et 用待定系数法可求得 A12，故 令另一个待求特解为y2*Be t ，同法可求得 B14，故20 【正确答案】 如果 a 0，则 ，因已知 A 可逆，则矛盾，这
13、就证明了 a0。21 【正确答案】 设 Aa ijmn，由题设有 故即 得证。22 【正确答案】 解( A)1 *(2A 1 )*2 3(A1 )* 。易求得A *(4)(2) 8，即A 38，故A 2，于是( A)1 *4A，则原方程化为 4ABA 1 2AB12E， 即 2ABA 1 AB 6E ，左乘 A*，有 2A*ABA1 A *AB6A *，因 A*AAE2E，则 4BA 1 2B6A * 即 2BA1 B 3A*，因 A *AA 1 2A 1，故 BA *BB(A *E) 3A *，于是 B3A *(A*E) 1 这是因为23 【正确答案】 解 设事件 B 表示从乙袋中取得白球；A 1 表示从甲袋中取得一个白球和一个黑球；A 2 表示从甲袋中取得两个白球； A3 表示从甲袋中取得两个黑球，则 A1，A 2，A 3 为一个完备事件组， 下用超几何分布分别求出概率 P(Ai)及P(BA i)(i1，2，3)。24 【正确答案】 解 所给二次型的矩阵为 二次型正定就是其矩阵A 正定，而 A 正定的充要条件是 A 的所有主子式全大于零，即 AY2X 20。因而所给二次型为正定二次型，即二次曲面为椭球面的概率为 pP(Y2X 20)。 由题设知，二维随机变量(X，Y)的概率密度为
