1、考研数学（数学一）模拟试卷 411 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 y=f(x)在点 x0 的以下结论正确的是( )（A）若 f(x)=0，则 f(x0)必是一极值（B）若 f“(x)=0，则点(x 0，f(x 0)必是曲线 y=f(x)的拐点（C）若极限 存在(n 为正整数)，则 f(x)在 x0 点可导，且有（D）若 f(x)在 x0 处可微，则 f(x)在 x0 的某邻域内有界2 设函数 f(x)在(一，+)上连续，则( )（A）函数 0xt2f(t)+f(一 t)dt 必是奇函数（B）函数 0xt2f(t)-f(一 t)dt 必是奇函
2、数（C）函数 0xf(t)3dt 必是奇函数（D）函数 0xf(t3)dt 必是奇函数3 设 a 为常数，则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 a 的取值有关4 在曲线 x=t，y= 一 t2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线( )（A）只有 1 条（B）只有 2 条（C）至少有 3 条（D）不存在5 设 A 是 54 矩阵，A=( 1， 2， 3， 4)，若 1=(1，1，一 2，1)T， 2=(0，1， 0，1) T 是 Ax=0 的基础解系，则 A 的列向量的极大线性无关组是( )（A） 1， 3（B） 2， 4（C） 2， 3（D）
3、1， 2， 46 设 那么(P -1)2008A(Q2009)-1=( )7 设 A，B，C 是三个随机事件， P(ABC)=0，且 0P(C) 1，则一定有( )（A）P(ABC)=P(4)P(B)P(C)（B） P(A+B)|C=P(A|C)+P(B|C)（C） P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)（D）8 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，X 1，X 2，X 3， ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本， S2 分别是该样本的均值和方差，若统计量 FF(1，n 一 1)，则( )二、填空题9 10 设 f(u，)为二元可微函数，z=f(x 2y，3y x)，则11 若
4、幂级数 的收敛半径为 R，则级数 的收敛半径为_。12 设 =(x，y，z)|x 2+y2+z21，13 已知 =(a，1，1) T 是矩阵 的逆矩阵的特征向量，那么a=_。14 从正态总体 N(， 2)中抽取一容量为 16 的样本，S 2 为样本方差，则_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 将函数 展开成 x 一 2 的幂级数，并求出其收敛域。17 设函数 u(x，y) 具有连续的一阶导数，1 为自点 O(0，0)沿曲线 =sinx 至点A(，0) 的有向弧段，求下面曲线积分： l=(yu(x，y)+xyu(x，y)+y+xsinx)dx+(xu(x，y)+xyu
5、 y(x，y)+e y2 一 x)dy。18 设 f(u，)具有连续偏导数，且 fu(u，)+f u(u，)=sin(u+)e u+，求 y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。19 设 f(x)和 g(x)在区间(a，b)可导，并设在(a ，b)内 f(x)g(x)一 f(x)0，证明在(a， b)内至多存在一点 ，使得 f()=0。20 设 A=(ij)mn，y=(y 1，y 2，y n)T，b=(b 1，b 2， ，b m)T，x=(x 1，x 2，x n)T，证明方程组 Ay=b 有解的充分必要条件是方程组无解 (其中 0 是 n1 矩阵)。21 设二次型 f(
6、x 1，x 2，x 3)=xTAx=3x 1 2+ax 2 2+3x 3 2 一 4x 1 x 28x 1 x 34x 2 x 3，其中一 2 是二次型 A 的一个特征值。 ()试用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用正交变换； ()求 f 在条件 x 1 2+x 2 2+x 3 2=1 下的最小值，并求最小值点(x 1，x 2，x 3)； ()如果 A*+kE 是正定矩阵，求 K 的值。22 设二维随机变量(x，Y)在区域 D 上均匀分布，其中 D=(x，y)|x|+|y|1。又设U=X+Y，V=X 一 Y，试求： ()U 和 V 的概率密度 fU(u)与 fV()； ()U 和 V
7、 的协方差 Cov(U，V)和相关系数 UV。23 设总体 X 的概率密度为 其中 0， 为未知参数，X 1，X 2，X n 为取自总体 X 的样本。()试求 ， 的最大似然估计量( )判断 是否为 的无偏估计量，并证明。考研数学（数学一）模拟试卷 411 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 不一定正确，反例：f(x)=x 3，x=0 时 f(0)=0，此点非极值点。选项 B 不一定正确，需加条件：f“(x) 在 x0 点两侧异号。选项 C 所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，这是不够的。同时 n 趋近于无穷一般
8、专指正无穷，所以式中的 只是趋近于 0+的。选项 D 可微的函数必连续，从而函数在该点的某邻域内必然有界。故选 D。2 【正确答案】 A【试题解析】 令 F(x)=x2f(x)+f(一 x)，由题设知 F(x)是(一，+)上的连续函数，且 F(一 x)=(一 x)2f(一 x)+f(x)=x2f(x)+f(一 x)=F(x)，即 F(x)是偶函数，于是对任意的 x(一，+)，G(x)=ft 2f(t)+f(一 t)dt=0xF(t)dt，满足即 G(x)是奇函数，故选项 A 正确。注意：也可举例说明选项 B，C，D 都不正确。为此设 f(x)=x，于是 x2f(x)一 f(一x)=x2x 一(
9、一 x)=2x3， 它们都是(一， +)上的偶函数，这表明选项 B，C，D 都不正确。故选 A。3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 对应于 t0 处曲线切线的方向向量为 =1，一 2t0，3t 02，该切线(平面)与平面 x+2y+z=4 平行 与该平面的法向量 n=1，2，1垂直因此只有两条切线与平面平行。故选B。5 【正确答案】 C【试题解析】 由 A1=0 知 1+2 一 23+4=0。 由 A2=0 知 2+4=0。 因为nr(A)=2，所以 r(A)=2，所以可排除选项 D； 由知 2， 4 线性相关，故应排除选项 B； 把 代入得 1，一 23=0，
10、即 1， 3 线性相关，排除选项 A； 如果2， 3 线性相关，则 r(1， 2， 3， 4)=r(23， 2， 3，一 2)=r(2， 3)=1 与 r(A)=2 相矛盾，因此 2， 3 线性无关。故选 C。6 【正确答案】 B【试题解析】 P，Q 均为初等矩阵，因为 P-1=P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A的 1，3 两行，那么 P2008A 表示把 A 的 1，3 两行互换 2008 次，从而(P -1)22008A=P2008A=A。又(Q 2009)-1=(Q-1)2009，且 而 Q-1 右乘 A 相当于把矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，那么 A(Q2009)-1=A
11、(Q-1)2009 表示把矩阵 A 的第 2 列的2009 倍加至第 1 列。故选 B。7 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A：由于不知道 P(A)或 P(B)是否为零，因此选项 A 不一定成立。选项 B：P(A+B)C=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)一 P(ABC)=P(AC)+P(BC)，可见选项 B 正确。选项 C：P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) 一 P(AB)一 P(AC)一 P(BC)+P(ABC)，由于不能确定 P(AB)，P(AC)，P(BC)的概率是否全为零，因此选项 C不一定成立。8 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试
12、题解析】 10 【正确答案】 2yx 2y-1f+3yxlnyf2【试题解析】 由多元复合函数求导法则，有11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 一 1【试题解析】 设 是矩阵 A-1 属于特征值 0 的特征向量，由定义 A-1=0，知=0A.，即14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 将第二个方程对 t 求导并注意 y=y(t)得16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 由 y(x)=e-2xf(x，x)，有 y(x)=一 2e-2xf(x，x)+e -2xf1(
13、x，x)+f 2(x，x)，在条件 fu(u，)+f (u，)=sin(u+)e u+，即 f1(u，)+f 2(u，)：sin(u+)e u+中令u=x，=x 得 f1(x，x)+f 2(x，x)=sin(2x)e 2x，于是 y(x)满足一阶线性微分 y(x)+2y(x)=sin2x。通解为 y(x)=e-2xsin2xe 2xdx+C，19 【正确答案】 (反证法)：假设在(a ，b)内存在两个不同的点 1， 2，使得 f(1)=f(2)=0，令 (x)=f(x)e -g(x)，则 (x)=e -g(x)f(x)一 f(x)g(x)。 因为 (1)=(2)=0，由罗尔定理知，至少存在一点
14、 介于 1， 2 之间，使 ()=0， 即 e-g()f()-f()g()=0，于是有 f()一 f()g()=0，这与题设矛盾，所以假设不成立。 故在(a，b)内至多存在一点 ，使得 f()=0。20 【正确答案】 必要性：设方程组 Ay=b 有解，则对满足 ATx=0 的向量 x0， bTx0=yTATx0=yT0=0，21 【正确答案】 得到矩阵 A的特征值是 1= 2=7， 3=一 2。对 1= 2=7，解齐次方程组(7E A)x=0 得基础解系 1=(1，一 2，0) T， 2=(1，0，一 1)T。对 =一 2，解齐次方程组(一 2EA)x=0得基础解系 3=(2，1，2) T。22 【正确答案】 23 【正确答案】
