1、考研数学（数学一）模拟试卷 412 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设在区间(0，+)内连续函数 f(x)的原函数为 F(x)，则 (x2-t)f(t)dt=（A） F(x)（B） F(x)（C） xF(x)（D）2xF(x)2 设函数 f(x)在(-，+) 内连续，其导数图形如图所示，则在(-，+)内（A）函数 f(x)有三个极值点，曲线 y=f(x)有两个拐点（B）函数 f(x)有四个极值点，曲线 y=f(x)有一个拐点（C）函数 f(x)有三个极值点，曲线 y=f(x)有一个拐点（D）函数 f(x)有四个极值点，曲线 y=f(x)有两个拐点3
2、 设 z=f(x2-y2，e xy)，其中 f(M，u)具有连续二阶偏导数，则 =（A）(x 2+y2)exyfv（B） 4xyfu+2xyexyfv（C） (x2+y2)exyfu（D）2xye xyfv4 设函数 f(x， y)连续，则累次积分 等于5 设向量 在向量空间 R3 的基 1， 2， 3 下的坐标为 x=(1，2，3) T，则 在基1， 2+3， 1+3 下的坐标为（A）(0 ，2，1) T（B） (1，2，1) T（C） (1，2，0) T（D）(1 ，0，1) T6 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx，其矩阵 A 满足 A3=A，且行列式A 0，矩阵A 的迹 t
3、rA0，则此二次型的规范形为7 设随机变量 X 和 Y 相互独立同分布，其分布函数和概率密度分别为 F(x)和 f(x)，则随机变量 Z=minX，Y的概率密度为（A）2F(x)f(x)（B） 21-F(x)f(x)（C） 21-f(x)F(x)（D）21-F(x)1-f(x)8 设 X1，X 2，X n 为来自指数总体 E()的简单随机样本， 和 S2 分别是样本均值和样本方差若 -S2 是总体方差的无偏估计，则 k=_（A）1（B） 2（C）（D）二、填空题9 =_10 以 y=C1cosx+C2sin x+e2x(其中 C1，C 2 为任意常数)为通解的二阶线性常系数非齐次微分方程是_1
4、1 设 z=f(xy，x 2-y2)，其中 f(u，v) 具有二阶连续偏导数，则 =_12 设 xOy 面内曲线 L 为 x=1- ，则曲线积分 L(x+y)2ds=_13 设 3 阶矩阵 A 与 B 相似， 1=1， 2=-2 是矩阵 A 的两个特征值，且矩阵 B 的行列式B =1，则行列式A *+E=_14 在区间0 ，上随机取两个数 X 与 Y，则概率 Pcos(X+Y)0=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，1上具有二阶导数，且 f(0)=f(1)=0， f(x)=-1试证明：16 求极限17 设 x(0，1)，证明：(1-x)e x18 在曲面
5、 S： 2x2+y2+z2=1 上求一点，使函数 u=x2+y2+z2 在该点沿方向 i=j-k 的方向导数最大19 求幂级数 的收敛域与和函数20 设函数 f(x)在含有 x0 的区间a ，b内具有二阶导数，证明对(a，b)内任一点 x，有 f(x)=f(x0)+f(x)(x-x0)+ (x-x0)221 设齐次线性方程组()为 又已知齐次线性方程组()的基础解系为 1=(0， 1，1，0) T， 2=(-1，2，2，1) T试问 a，b 为何值时，()与()有非零公共解?并求出所有的非零公共解21 设 A 为 3 阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ= ，又已知 A 的伴随矩阵
6、 A*有一个特征值为 =1，相应的特征向量为 =(1，1，1) T22 求正交矩阵 Q23 求二次型 xT(A*)-1x 的表达式，并确定其正负惯性指数23 设二维随机变量(X，y)服从区域 D 上的均匀分布，其中 D 是由 xy=1 与 x=0所围成的三角形区域24 求 y 的概率密度 fy(y).25 求条件概率密度 fYX (yx).26 求 PXY26 设总体 X 的分布函数为 F(x；)= 其中参数(01，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值27 求参数 的矩阵计量 .28 判断 是否为 2 的无偏估计量，为什么?考研数学（数学一）模拟试卷 412 答案与解析
7、一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查求变限积分函数的导数问题由于被积函数中隐藏着求导变量 x，故要先处理之，再求导 解：因 (x2-t)f(t)dt= tf(t)dt，故 (x2-t)f(t)dt= f(t)+x2f(x2).2x-x2f(x2).2x= f(t)dt 令 x= ，则 故应选 B2 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查函数的极值、拐点问题见到求函数的单调区间、极值，函数曲线的凹凸区间、拐点问题，就想“四步八个字”定域、找点、分段、判断，其关键是要先找出驻点和 f(x)不存在的点及 f(x)的零点和 f(x
8、)不存在的点 解：由题设所给 y=f(x)的图形可看出，f(x 1)=f(x2)=f(x3)=0，f(x) 在 x=0 处不可导，即f(x)可能有 4 个极值点，且曲线 y=f(x)在 x 轴上方时 f(x)0，在 x 轴下方时 f(x)0，可见这四个点都是极值点(x 1，x 2 为极大值点，原点与 x3 为极小值点，为什么?) 仍由 y=f(x)的图形可看出，f(x 4)=0(因 x4 是 f(x)的驻点)，f(x)在 x=0 处的二阶导数不存在，即曲线 y=f(x)可能有两个拐点因为除了x=0 外， y=f(x)处处光滑，存在不垂直于 x 轴的切线，故可推测 f(x)除 x=0 外具有二阶
9、导数，因此在 f(x)的严格单调增加区间内有 f(x)0；在 f(x)严格单调减少区间内有 f(x)0，可见(0， f(0)不是曲线 y=f(x)的拐点，(x 4，f(x 4)是曲线 y=f(x)的拐点(为什么 ?请读者结合 y=f(x)的图形思考，并找出曲线 y=f(x)的凹凸区间)3 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查求二元抽象复合函数偏导数问题，利用多元复合函数的链式法则求解即可 解：因 =fu.2x+fv.exy.y， =fu.(-2y)+fv.exy.x 故=2xyfu+y2exyfv-2xyfu+x2exyfv=(x2+y2)exyfv4 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查
10、交换二重积分的累次积分次序问题，其一般方法是“找边界、画草图、换次序”，即由所给累次积分找到积分区域的边界曲线方程，然后画出积分区域，交换积分次序即可 解：由题设所给累次积分可画出积分区域如图所示，故有 I=5 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查向量空间的基本知识向量在基下的坐标，只要建立该向量由这组基的线性表示式即可 解：由题设条件知 =1+22+33=(1， 2， 3)只要求得 =(1， 2+3， 1+3)y 即可因 ( 1， 2+3， 1+3)=(1， 2， 3)故( 1， 2， 3)=(1， 2+3， 1+3) 于是 =( 1， 2， 3)=(1， 2+3， 1+3) =(1， 2
11、+3， 1+3) 即 在基1， 2+3， 1+3 下的坐标为 y=(0，2，1) T 注：求解本题的一个关键是式见到一组向量由另一组向量线性表示，就要想到“三个东西”，此处用的是“建立出一个矩阵的等式”式中的表示式的系数矩阵 P= 也是由基1， 2， 3 到基 1， 2+3， 1+3 的过渡矩阵6 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查求抽象二次型的规范形由题设条件特点只要求得 A 的特征值即得 解：由条件 A3=A 可知 A 的特征值必满足 3=，故 =0，1又由A= 1230，trA= 1+2+30 知，矩阵 A 的特征值为 1，-1，-1，故二次型 xTAx 的规范形为 f(x1，x 2
12、，x 3)= 注：由 n 阶矩阵 A 满足 f(A)=O 可得A 的特征值 必满足方程 f()=0但由 f()=0不能推得 f(A)=O，且方程 f()=0的根不一定都是矩阵 A 的特征值7 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查随机变量的最大值、最小值分布问题利用分布函数法解之即可 解：因 FZ(x)=Pmin(X，Y)x=1-Pmin(X ，Y)x =1-PXx，yx=1-PXxPY x)=1-1-F(x) 2，故 fZ(x)= FZ(x)=21-F(x)f(x). 注：要掌握以下随机变量的最大值、最小值函数的处理方法： Pmax(X，Y)C=PXC，YC， Pmax(X，Y)C=1-Pm
13、ax(X，Y)C=1-PXC，YC =PXC+PYC-PXC，YC； Pmin(X ，Y)C=PXC，YC， Pmin(X，Y)C=1-Pmin(X，y)C=1-PXC ，yC =PXC)+PYC-PXC，yC8 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查统计量的无偏性问题，只要求其数学期望即可 解：因由 -S2 是总体方差的无偏估计，知 ，即有 二、填空题9 【正确答案】 e -2【试题解析】 本题是求 型未定式极限问题先用等价无穷小代换处理其中的无穷小因子，再用洛必达法则及重要极限即可求得 解：因 x0 时，arcsin xx，故 原极限10 【正确答案】 f+y=5e 2x【试题解析】 本题
14、考查由二阶线性常系数微分方程的解反求微分方程问题见到已知二阶常系数线性方程的通解，就要想到从中先找特征根定出齐次方程，再求导定自由项，最后可得所求方程 解：由所给通解可看出对应齐次方程的特征根为i，从而得齐次方程为 y+y=0令 y+y=f(x)，将通解中的非齐次方程的特解y=e2x 代入，可得 f(x)=5e2x，于是所求的微分方程为 y+y=5e2x11 【正确答案】 f u+xyfuu+(2x2-2y2)fuv-4xyfvv【试题解析】 本题考查求二元抽象复合函数的偏导数问题，按复合函数的链式法则求解即可解： fu.y+yn.2x =fu+yfuu.x+fuv.(-2y)+2xfuv+f
15、vv(-2y) =fu+xyfuv+(2x2-2y2)fuv-4xyfvv注：当 f(u，v)具有二阶连续偏导数时，fuv=fvv12 【正确答案】 2(-2)【试题解析】 本题考查第一类曲线积分计算问题按“基本法”及常用简化手段计算即可见到曲线、曲面积分，就要想到能否利用积分曲线方程、曲面方程简化被积函数，以及利用对称性简化计算 解： L(x+y)2ds=L(x2+y2+2xy)ds 积分曲线L 如图所示，显然 L 关于 x 轴对称，而被积函数中 2xy 是 y 的奇函数，故L2xyds=0从而 L(x+y)2=L(x2+y2)ds =2(-2) 13 【正确答案】 -1【试题解析】 本题考
16、查求抽象行列式值的问题由于题设有特征值、矩阵相似等条件，故考虑用特征值法求解，即只要求得 A*+E 的全部特征值即可 解：因 A与 B 相似，故 A 与 B 有相同的特征值，且行列式的值相等，从而有A= 123=1(-2)3=1， 3= 进而可得 A*+E 的特征值为+1：i=1，2，3，即 1=-2( )+1=2， 2=1 ， 3=-1(-2)+1=-1，因此A *+E=2 (-1)=-1。14 【正确答案】 【试题解析】 本题考查二维几何概型求概率问题，只要求得相应的面积即可 解：因二维随机变量(X，Y) 服从区域 D=(x，y)0x ，0y 上的均匀分布，如图所示 当 时(图中阴影部分)
17、，有 cos(x+y)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 要证 f(x)的二阶导数在区间0 ，1 上的最大值大于或等于 8，只要证明在0 ，1上某点处 f(x)的二阶导数值不小于 8由 =-1 及 f(0)=f(1)=0可知，f(x)在区间0，1上的最小值在开区间 (0，1)内取得，不妨设 f(x0)=-1，则f(x0)=0将 f(x)在点 x0 处用泰勒公式展开，得 f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+ (x-x【试题解析】 本题要用泰勒公式证明.16 【正确答案】 令 x= ，则原式【试题解析】 本题考查求一 型未定式极限问题根据题目特点，可作变
18、量代换x= ，再利用洛必达法则求解17 【正确答案】 因 x(0，1) ，不等式两边取对数，得 ln(1-x)+xxln(1- ) 令f(x)=xln(1- )-ln(1-x)-x，则 当x(0，1)时，f(x) 0，故 f(x)单调增加，而 f(0)=0，于是有 f(x)f(0)=0，即 f(x)在区间(0 ，1)内单调增加又 f(0)=0，因此 x(0，1)时，f(x) f(0)=0，即 xln(1- )-ln(1-x)-x0，亦即 ln(1-x)+xxln(1- )，从而有(1-x【试题解析】 本题考查函数小等式的让明见到函数不等式证明问题题，就要想到利用单调性证之，其方法步骤为简单移项
19、作函数，认认真真求导数；搞清增减找定点，比较大小得归宿注意，移项构造辅助函数前，要先将不等式恒等变形，否则繁琐18 【正确答案】 设 M(x，y，z)是曲面 S 上任意一点，则 其中 cos，cos ，cos 为方向 l 的方向余弦由题设条件可得 故 根据题意，下面求 (y-z)在约束条件 2x2+y2+z2=1 下的最大值点设 L(x，y，z，)= (y-z)+(2x2+y2+z2-1)，则由得 =0 或 x=0 +得 (y+z)=0若 =【试题解析】 本题综合考查梯度、方向导数以及多元函数的条件极值问题先由题意求出方向导数，再用拉格朗日乘数法求相应的条件极值即可19 【正确答案】 由 =
20、，得收敛半径 R=3，收敛区间为(-3，3)当 x=-3 时，原级数为 ，发散；当 x=3 时，原级数为 ，由莱布尼茨审敛法知该级数收敛，故所求收敛域为(-3，3设 S(x)= ，x(-3，3当 x0 时， 其中 故 S(x)=ln(3+x)-ln3 当 x=0 时，S(0)= ，因此 S(x)=【试题解析】 本题考查求幂级数的收敛域与和函数问题这是一个标准形式的幂级数，可先求其收敛半径，定出收敛区间，再讨论端点处的收敛性可得收敛域，然后用间接法即逐项求导、积分等分析运算性质求解20 【正确答案】 令 R(x)=f(x)-f(x0)+f(x0)(x-x0)，g(x)=(x-x 0)2，则 R(
21、x)，g(x)在以x，x 0 为端点的区间上满足柯西中值定理条件，故有其中 介于 x 与 x0 之间再在以 ，x 0 为端点的区间上，对函数 f(x)-f(x0)和 2(x-x0)应用柯西中值定理【试题解析】 本题考查微分中值的证明问题是一阶泰勒公式的证明，这要构造辅助函数用柯西定理证之21 【正确答案】 由齐次线性方程组()的基础解系可得( 1， 2)=以 x3，x 4 为自由变量，则上述基础解系可由以下等价方程组得到 去掉 x3，x 4 两个自由变量的恒等式方程，可得以 1， 2为基础解系的一个齐次线性方程组为将题设条件中的方程组(I)与上述式中的方程组联立，得 参数a，b 的值只要使得方
22、程组 有非零解，并【试题解析】 本题考查求两个齐次线性方程组的非零公共解，其一般方法有联立法和代入法下面以联立法解之，所以要先把方程组()由其基础解系“还原”出来 注：由方程组() 的基础解系“还原”方程组时，其结果形式不唯一请读者思考，若以 x2，x 4 或 x1，x 3 为自由变量，方程组()的形式如何?22 【正确答案】 由题设条件可知，A ，从而矩阵 A 的特征值为1=2=1， 3=-2，且A= 123=-2又由 A*=，知 AA*=A，即A =-2，可见 3=(1，1，1) T 是 A 的属于特征值 3=-2 的一个特征向量 设 1【试题解析】 本题考查求把实对称矩阵相似对角化的正交
23、相似变换矩阵，这只要求得 A 的特征向量即可注意，见到矩阵 A 与一对角矩阵相似，就可知 A 的特征值；见到伴随矩阵 A*，就要想到用 AA*=A*A=AE 处理，这样由 A*=可得A 的一个特征向量，再由实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交可得其他特征值的特征向量，从而可求得正交矩阵 Q 第()问由(A *)-1= 可得23 【正确答案】 因(A *)-1， ，而A=-2 ，故只要求得矩阵 A 即可，这可由 A的特征值、特征向量求得24 【正确答案】 二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= 如图，可得【试题解析】 本题考查求二维连续型随机变量的边缘概率密度、条件概率密度及求概
24、率问题见到已知联合概率密度求边缘概率密度问题，求关于“谁”的边缘概率密度就把联合概率密度的非零区域向“谁”轴上投影，先定出所求边缘概率密度的非零区间，再穿线定上下限求条件概率密度只需把联合概率密度与相应的边缘概率密度作商即可对于求概率 P(XY ，就想“基本法”与“化二维为一维法”，此处可用“基本法”“找交集、定类型、重转定”计算由于(X，Y) 服从均匀分布，故用几何概型求之较为简捷注：第() 问求概率若用 “基本法”计算，虽然要先将积分区域分块再计算也并不复杂，请读者练习25 【正确答案】 因 fx(x)=故当 0x1 时，有26 【正确答案】 PXY=27 【正确答案】 由题设条件可知总体 X 的概率密度为于是令 EX= ，解得 的矩估计量【试题解析】 本题考查参数的点估计问题，要先从题设所给的分布函数判断出 X是连续型总体，然后求导得其概率密度，再按矩估计法的方法步骤“求两矩作方程，解方程得估计”求解即可第()问只要求出数学期望 ，看结果是否为 2 即可28 【正确答案】 由方差的计算公式有 因 EX2=故 DX=EX2-(EX)2=从而 即 不是 2的无偏估计
