1、考研数学（数学一）模拟试卷 420 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某去心邻域内有定义，且当 x0 时，f(x)与 g(x)都与 x 为同阶无穷小，则当 x0 时( )（A）f(x)一 g(x)必是 x 的同阶无穷小（B） f(x)一 g(x)必是 x 的高阶无穷小（C） f(g(x)必是 x 的同阶无穷小（D）f(g(x) 必是 x 的高阶无穷小2 设 f(x)可导，且 f(x)0，并设 F(x)=0x2uf(u)dux0xf(u)du，则( )（A）F(0)是 F(x)的极大值（B） F(0)是 F(x)的
2、极小值（C）曲线 y=F(x)在点(0 ， 0)的左侧是凸的，右侧是凹的（D）曲线 y=F(x)在点(0， 0)的左侧是凹的，右侧是凸的3 设 D=(x， y)|x2+y2R2，R0)，常数 0，则二重积分 的值( )（A）为零（B）为正（C）为负（D）当 0 时为正，当 0 时为负4 设 在 x=2 处条件收敛，则 在 x=一 1 处( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与a n有关5 已知 则 A 与 B( )（A）等价、不相似、合同（B）不等价、不相似、不合同（C）等价、相似、不合同（D）等价、相似、合同6 设 1， 2， 3 是三维向量空间 R3 中的一组基，则由基
3、2， 1 一 2， 1+3 到基1+2， 3， 2 一 1 的过渡矩阵为( )7 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，且都在区间(一 1，1)上服从均匀分布，则8 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X 服从二项分布 ，y 服从参数为 1 的指数分布，则概率 PX+Y1)等于( )（A）1+e 一 1（B） 1 一 e 一 1（C）（D）二、填空题9 若 0xf(t)dt=xe 一 x，则 1+ =_10 设 f(x，y)满足 f“yy(x，y)=2，且 f(x，0)=1 ，f y(x，0)=x ，则 f(x，y)=_11 设 y1=ex 一 e 一 xsin2x， y2=e 一 x+e
4、 一 Xcos2x 是某二阶常系数非齐次线性方程的两个解，则该方程是_12 设 L 是正方形|x|+|y|=1 的正向边界曲线，则积分 I= (x2 一 y)dx+(x+y2)dy=_13 设 A 是 n 阶矩阵，|A|=2，若矩阵 A+E 不可逆，则 A*必有特征值_14 设 XN(0，1) ，Y=X n(n 为正整数)，则 XY=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x，y)=3x+4y 一 ax2 一 2ay2 一 2bxy，试问参数 a，b 满足什么条件时，f(x，y)有唯一的极大值?(x，y)有唯一的极小值?16 设曲线 y=y(x)由参数方程 确定，()
5、讨论该曲线的凹凸性；( )求该曲线在 t=0 处的曲率圆的直角坐标方程17 设 y=f(x)在0，+)上有连续的导数，且 f(x)0，f(0)=0，f(x) 的值域也是0，+) 又设 x=(y)是 y=f(x)的反函数，常数 a0，b0证明： 0af(x)dx+0b(y)dyab，当且仅当 a=(b)时上式取等号18 将函数 f(x)=2+|x|(一 1x1)展开为以 2 为周期的傅立叶级数，并由此求级数的和19 计算曲面积分 其中为下半球面 z=的上侧20 设三维向量 已知向量组 1， 2， 3 与 1， 2， 3 是等价的()求 a，b ，c ()求向量组 1， 2， 3 的一个极大无关组
6、，并将 1 用 1， 2， 3 线性表示21 设矩阵 有一个特征值是 3()求 y 的值；()求正交矩阵 P，使(AP) TAP 为对角矩阵； ()判断矩阵 A2 是否为正定矩阵，并证明你的结论22 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 记 U=maxX，Y) ，V=minX，Y)( )求 Z=|X 一 Y|的概率密度 fZ(z)；()求 E(U)，E(V)23 设 X1，X 2，X n 是来自总体 XN( ， 2)的简单随机样本，其中 和 2 是未知参数()求参数 的最大似然估计量 参数 2 的最大似然估计量 ；()讨论 是否具有无偏性考研数学（数学一）模拟试卷 420 答案与解析一、选
7、择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 F(x)=2xf(x)一 xf(x)一 0xf(u)du=xf(x)一 0xf(u)du， F“(x)=xf(x)，F(0)=0， F“(0)=0； 当 X0 时 F“(x)0，当 X0 时 F“(x)0，故曲线 y=F(x)在点(0，0)的左侧是凸的，右侧是凹的3 【正确答案】 A【试题解析】 由极坐标化为直角坐标，及轮换对称性知：又因为被积函数是关于 x 的奇函数，积分区域 D 关于 y 轴对称，所以 (ex一 e 一 x)d=0，从而知I=0，故答案为 (A)4 【
8、正确答案】 D【试题解析】 在 x=2 处条件收敛，故它的收敛半径为 2，而可由前一级数平移求积分得到，收敛半径不变，仍为 2又因为在 x=一 2 处的敛散性未知，所以后一级数在收敛区间的端点 x=一 1 处，其敛散性要由具体的a n决定例如，若 在 x=2 处条件收敛，而 在 x=一 1 处发散又如，若 在x=2 处条件收敛，而 在 x=一 1 处绝对收敛5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 r(A)=3，r(B)=3 ，所以 A 与 B 等价A 与 B 均为实对称矩阵，若特征值相同，则 A 与 B 相似，否则 A 与 B 不相似，由于所以A 的特征值为 A=1，3，1，B 的特征值为 B
9、=2，因此 A 与 B 不相似由于 A 与B 的正负惯性指数是相同的，正惯性指数为 2，负惯性指数为 1，所以 A 与 B 合同综合得，选择(A) 6 【正确答案】 C【试题解析】 设( 1+2， 3， 2 一 1)=(2， 1 一 2， 1+3)C，则7 【正确答案】 B【试题解析】 8 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 10 【正确答案】 f(x，y)=y 2+xy+1【试题解析】 由 f“yy(z， y)=2，知 fy(x，y)=2y+(x) 因为 fy(x，0)=(x)=x ，故fy(x，y)=2y+x， 所以 f(x，y)=y 2+xy+(x)
10、 又 f(x，0)=1 ，从而 (x)=1，故f(x，y)=y 2+xy+111 【正确答案】 y“+2y+5y=8e x【试题解析】 由解的性质与解的结构知 y2 一 y1=e 一 x(cos2x+sin2x)是对应的齐次方程的解， 所以 r=一 12i 是对应的特征方程的根，故特征方程为 (r+1)2+4=0， 即r2+2r+5=0， 于是所求方程为 y“+2y+5y=f(x)， 又因为 y1 为非齐次方程的特解，代入方程得 f(x)=8ex， 故所求方程为 y“+2y+5y=8ex12 【正确答案】 4【试题解析】 由 Green 公式知其中区域 D 为|x|+|y|1 13 【正确答案
11、】 一 2【试题解析】 本题考查特征值的求法与性质，属于基础题 由矩阵 A+E 不可逆，知|A+E|=0， 于是 =一 1 是矩阵 A 的特征值又|A|=2，所以 A*必有特征值一 214 【正确答案】 【试题解析】 当 XN(0，1)时，利用分部积分法或者 r 函数公式得到下面的结论三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由极值的必要条件，得方程组当 8a2 一 4b20 时，f(x，y)有唯一驻点：当 ACB2=8a2 一 4b20，即2a2 一 b20 时， f(x，y)有极值当 A=一 2a0，即 aO 时，f(x，y) 有极小值；当 A=一 2a(0，即
12、 aO 时，f(x，y) 有极大值综上所述，当 2a2 一 b20，且 a16 【正确答案】 所以当一 1t1 时，y“ 0，曲线为凹；当 t1 时，y“ 0，曲线为凸()在 t=0 处，y=0， 于是曲率 曲率半径 R=4曲率中心坐标为(0，4)，曲率圆的方程为 x2+(y 一 4)2=1617 【正确答案】 对第二个积分做积分变量变换，并由分部积分，有 0af(x)dx+0b(y)dy=0af(x)dx+0(b)(f(x)df(x) =0af(x)dx+0(b)xdf(x) =0af18 【正确答案】 由于 f(x)=2+|x|为偶函数，则 bn=0，n=1，2，a 0=201(2+x)d
13、x=5，19 【正确答案】 20 【正确答案】 () 由于向量组 1， 2， 3 与 1， 2， 3 等价，可知向量1， 2， 3 都能由向量 组 1， 2， 3 线性表示，也即线性方程组( 1， 2， 3)x=i21 【正确答案】 ()3 是 A 的特征值，故|3E 一 A|=8(3 一 y 一 1)=0，解出 y=2=( 一1)3( 一 9)=0A 2 的特征值为 1=2=3=4=9当 =1 时，(EA 2)x=0 的基础解系为 1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0) T，22 【正确答案】 () 利用二维正态分布的性质知，X Y 服从一维正态分布E(XY)=E(X)一 E(Y)=0，D(XY)=D(X)+D(Y)一 2Cov(X，Y)设 Z=|XY|的分布函数为FZ(z)，则 FZ(z)=PZz)=P|X 一 Y|z当 z0 时， FZ(z)=0；23 【正确答案】 ()X 的概率密度为
