1、考研数学（数学一）模拟试卷 421 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 的渐近线的条数为( )（A）4（B） 3（C） 2（D）12 设 f(x)在点 x=0 处可导，则 f(|x|)在点 x=0 处可导的充分必要条件是 ( )（A）f(0)=0（B） f(0)=0（C） f(0)=0 且 f(0)=0（D）f(0)=0 或 f(0)一 03 设函数 f(x)连续，则下列函数中必为偶函数的是( )（A） 0xtf(t)一 f(一 t)dt（B） 0xtf(t)+f(一 t)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0xf(t)2dt4 设曲线积分 L
2、f(x)一 exsinydx 一 f(x)cosydy 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)=( )5 已知 4 维列向量 1， 2， 3 线性无关，若 i(i=1，2，3，4)非零且与 1， 2， 3均正交，则 r(4， 2， 3， 4)=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 下列矩阵中与其他矩阵不合同的是( )7 已知随机变量 X 的概率密度为 fx(x)，则 YaX+b(a0)的概率密度 fY(y)等于( )8 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，E(X)=,D(X)= 2(0)，X与 S2 分别是样本均值与样本方差，则
3、( )（A）S 2 一定是 2 的矩估计（B） S2 一定是 2 的最大似然估计（C） E(S2)=2（D）E(S)=二、填空题9 设 y=y(x)由方程 2xtan(xy)=0x 一 ysec2tdt 所确定，则10 11 已知点 P(1，1，0)，则由方程 ez+u 一 xyyzzu=0 确定出的函数 u=u(x，y，z)在点 P 处的全微分 du|P=_12 曲面 z=x2+y2 平行于平面 2z+2yz=0 的切平面方程为 213 设 ， 均为 n 维非零列向量，且 to设矩阵 A=T 一 E，且满足方程 A2一 3A=4E，则 T2=_14 二维随机变量(X，Y) 的概率密度为 则概
4、率三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求方程 x3y“+x2y“一 4xy=3x2 的通解16 已知 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且 12f(x)dx=f(2)证： (0，2)，使 f()+f“()=017 设 F(x，Y，z)=x 2+y2+z2 一 2x+2y 一 4z 一 10 (1)求方程 F(x，y，z)=0 在哪些点的邻域内可唯一确定单值且有连续编导数的隐函数 z=f(x，y)； (2)求 F(x，y，z)=0所确定的隐函数 z=f(x，y)的数值18 19 (y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz，其中 L 是上半球面
5、x2+y2+z2=2bx(z0)与柱面x2+y2=2ax(0a b)的交线，L 的方向规定为从 z 轴正向看是逆时针。20 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx(其中 x=(x1，x 2，x 3)T，A 是三阶实对称矩阵)经正交变换 x=Qy(其中 y=(y1，y 2，y 3)T，Q 是三阶正交矩阵 )化为标准形2y12，y 22，y 32，又设 A*=(其中 A*是 A 的伴随矩阵，=(1，1，一 1)T)求 ()Q及 A； () 可逆线性变换 x=Cz(其中 z=(z1，z 2，z 3)T，C 是三阶可逆矩阵)，它将f(x1，x 2，x 3)化为规范形21 设 1， 2， 1，
6、2 为三维列向量组，且 1， 2 与 1， 2 都线性无关()证明：至少存在一个非零向量可同时由 1， 2 和 1， 2 线性表示；()设，求出可由两组向量同时表示的向量22 设二维随机变量(U，V)的概率密度为 又设 x 与y 都是离散型随机变量，其中 X 只取一 1，0，1 三个值， Y 只取一 1，1 两个值，且 E(x)=02，E(Y)=0 4 ，P(X=一 1，Y=1)=P(X=1，Y=一 1)=P(X=0，Y=1)=()(X，Y) 的概率分布；()Cov(X，Y)23 设总体 X 的分布函数为 X1，X 2，X 10 为来自总体 X 的简单随机样本，其观察值为 1，1，3，1，0，
7、0，3，1，0，1()求总体 X 的分布律；() 求参数 的矩估计值； ()求参数 的极大似然估计值考研数学（数学一）模拟试卷 421 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 该函数的定义域为一 3x5 且 x1，因此此曲线无水平渐近线和斜渐近线， 所以此曲线有两条铅直渐近线 x=5 及x=一 3，故选(C)2 【正确答案】 B【试题解析】 所以 f(|x|)在 x=0 处可导的充分必要条件为 f(0)=一 f(0)，即 f(0)=0，故选(B)3 【正确答案】 B【试题解析】 令 t=一 u， 0 一 xtf(t)+f(一 t
8、)dt=0x(一 u)f(一 u)+f(u)(一 du) =0xtf(t)+f(一 t)dt4 【正确答案】 B【试题解析】 得 f(x)+f(x)=ex 且 f(0)=0，解此微分方程得故选(B)5 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查向量组正交及齐次线性方程组基础解系定理，是一道有一定难度的综合题由题设知 iTi=0(i=1，2，3；j=1，2，3，4)令则矩阵 A 是秩为 3 的 34 阶矩阵，且即 1， 2， 3， 4 均为齐次线性方程组 Ax=0的解，从而 r(1， 2， 3， 4)n 一 r(a)=4 一一 3=1又 r(1， 2， 3， 4)1所以 r(1， 2， 3， 4
9、)=1故应选(A) 6 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查矩阵合同的判定，属于基础题(特征值法)对于矩阵，其特征多项式为 =( 一 1)2 一 1( 一 3)=( 一 2)( 一 3)，解得特征值 0，2，3，所以其惯性指数为 2，负惯性指数为 0同理可得矩阵 的正惯性指数均为 2，负惯性指数均为 0对于矩阵 ，其特征多项式为解得特征值1，3，3，所以其正惯性指数为 3，负惯性指数为 0由于矩阵合同的充要条件为有相同的正、负惯性指数，所以(A)、(B)、(D) 合同，故应选(C)7 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查一维离散型随机变量函数的概率密度，属于基础题Y=aX+b 的分布函数为
10、故应选(D)8 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查总体方差的矩估计量与最大似然估计量以及样本方差的期望，是一道有一定难度的综合题由于总体方差 2 的矩估计量与最大似然估计都是 所以(A)、 (B)错误由于故应选(C)进一步分析，由 E(S2)=D(S)+E(S)2，得E(S) 2=E(S2)一 D(S) 2从而 E(S)，所以 (D)错误二、填空题9 【正确答案】 2sin(x 一 y)cos3(xy)【试题解析】 方程 2xtan(xy)=0x 一 ysec2tdt 两端同时对 x 求导得， 2 一 sec2(x一 y).(1 一 y)=sec2(x 一 y).(1 一 y) 则 y
11、=sin2(xy)，y“=2sin(x 一 y)cos3(xy)10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 dx+dy【试题解析】 当 x=1，y=1，z=0 时，由 ez+u 一 xy 一 yz 一 zu=0 得 u=0再对上述方程两边求微分，得 e z+u(dz+du)一 xdyydzydzzdy 一 udzzdu=0， 将x=1，y=1，z=0，u=0 代入并解出 du|P=dx+dy12 【正确答案】 2x+2yz 一 2=0【试题解析】 曲面 z=X2+y2 在(x，y，z) 点处的法向量 n=(2x，2y，一 1)，则x=y=1，所求切平面为 2(x 一 1)+2(y 一
12、 1)一(z 一 2)=0，即 2x+2y 一z 一 2=013 【正确答案】 5【试题解析】 T 的特征值为 0，0，0， T，则 A=T 一 E 的特征值为 一1，一 1，一 1， T 一 1设 A=(0)，则 2 一 3=4，解得 =一 1 或者=4 又因为 ， 均为 n 维非零列向量，且 T0，所以 T 一 1=4，即 T=514 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 本题求解的方程为欧拉方程，求此方程是令 x=et16 【正确答案】 17 【正确答案】 (1)根据隐函数存在定理知，在 Fz=2z 一 40，即 z2 时的任何
13、一点(x， y，z) 某邻域内方程 F(x，y，z)=0，确定唯一一个有连续偏导数的函数，它是 得 x0=1，y 0=一1，其对应 z1=一 2，z 2=6，即点 P1(1，一 1，一 2)与 P2(1，一 1，6)使 F(1，一 1，一 2)=0，F(1，一 1，6)=0以下根据二元函数取得极值的充分条件18 【正确答案】 (2)根据幂级数展开式的唯一性，得 u(x)在 x0=1 处高阶导数的19 【正确答案】 由斯托克斯公式知其中，为上半球面的一部分：x2+y2+z2=2bx，z0，x 2+y22ax20 【正确答案】 ()A 的特征值为 2，一 1，一 1，|A|=2 当 =2 时，A
14、*的特征正值为 1， 故 =2 所对应的特征向量为(1，11) T设一 1 对应的特征向量为(a， b，c) ， 即 a+b 一 c=0， 其解为 1=(一 1，1，0) T， 2=(1，0，1) T， 对其正交化得 1=(一 1，1，0) T， 2=(1，1，2)21 【正确答案】 () 因为 1， 2， 1， 2 线性相关，故存在不全为零的数k1，k 2，l 1，l 2，使 k11+ k22+l11+l22=0，即 k 122 【正确答案】 () 如图所示，()E(XY)=一03，Cov(X，Y)=E(XY)E(X).E(Y)所以 Cov(X，Y)=一 03823 【正确答案】 () 总体 X 的分布律为()似然函数 L()=(2)5.(13)2.2，lnL()=3ln+5ln(20)+2ln(1 30)
