1、考研数学（数学一）模拟试卷 422 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但 f(x)在 x=0 处不连续（D）可导且 f(x)在 x=0 处连续2 设 y=y(x)满足方程 y“+4y+4y=0 及初始条件 y(0)=0，y(0)=一 4，则 0+y(x)dx( )（A）发散（B）等于 1（C）等于一 1（D）等于 33 设方程 x3 一 6x2+9x+k=0 在(一，+)上恰有两个实根，则常数 k=( )（A）4（B） 2（C）一 2（D）一 44 下列命题中正确的个数是(
2、) 若 u1+(u2+u3)+(u4+u5+u6)+发散，则 发散；（A）1（B） 2（C） 3（D）45 设 n 维向量 1， 2， s 的秩为 r，则下列命题正确的是( )（A） 1， 2， s 中任何 r 一 1 个向量必线性无关（B） 1， 2， s 中任何 r 个向量必线性无关（C）如果 rs，则 s 必可由 1， 2， s 一 1 线性表示（D）如果 r=s，则任何 s 维向量可由 1， 2， s 线性表示6 设三元二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的负惯性指数为 q=1，且二次型的矩阵 A 满足A2 一 A=6E，则二次型 xTAx 在正交变换下的标准形是( )（A）
3、2y 12+2y22 一 3y32（B） 3y12+3y22 一 2y32（C） y12+y22 一 y32（D）3y 12 一 2y327 设 A，B 是任意两个概率不为 0 的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 ( )（A） 互不相容（B） 相容（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)=P(A)8 将 1m 长的木棒截成两段，其中第一段的长度为 X，第二段长度为 Y，则 X+2Y与 3X+Y 的相关系数为( )（A）1（B）一 1（C）（D）二、填空题9 10 y=(x2 一 5x+6)|x2 一 3x2+2x|的不可导点的个数为_个11 设 由 0z1 一 所确定，则其形
4、心坐标是 _12 已知 是全微分表达方式，则 a=_13 ，r(A)=2，则 A*x=0 的通解为 _14 设(X，Y)服从二维正态分布，其概率密度为 一x+，一y+，概率 P(XY)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 0ab，f(x)在a，b上连续，(a ，b)内可导，证明：在(a，b)内存在三点x1，x 2，x 3 使16 17 18 设函数 y(x)在区间0，+)上有连续导数，并且满足 y(x)=一 1+x+20x(x 一 t)y(t)y(t)dt求 y(x)19 讨论级数 (， 为常数)的敛散性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛，并说明理由20 设 1，
5、2， 3， 4， 为四维列向量组，A=( 1， 2， 3， 4)，已知方程组 Ax=的通解是 (一 1，1，0，2) T+k(1，一 1，2，0) T () 能否由 1， 2， 3 线性表示?()求 1， 2， 3， 4， 的一个极大线性无关组21 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32 一 4x1x2 一 4x1x3+2ax2x3 通过正交变换x=Qy 化为标准形 f(x1，x 2，x 3)=3y12+3y22+by32，求参数 a，b 及所用的正交变换22 设随机变量 X，Y 相互独立且均服从正态分布 N(0， 2)，求( )Z= 的概率密度 fZ(z)； ()E(
6、Z)和 D(Z)23 设总体 X 服从0， 上的均匀分布， 未知( 0)，X 1，X 2，X 3 是取自 X 的一个样本， ()上述两个估计中哪个更有效考研数学（数学一）模拟试卷 422 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 方程 y“+4y+4y=0 的通解为 y=(C 1x+C2)e 一 2x， 由 y(0)=0，y(0)=一4 知 y=一 4xe 一 2x， 而 0+y(x)dx=一 40+xe 一 2xdx=一 1 故选(C)3 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=x2 一 6
7、x2+9x+k，则 f(x)一 3x2 一 12x+9=3(x 一 1)(x 一 3)，显然 f(x)在( 一，1)上单调递增，在(1，3) 上单调递减，在 (3，+) 上单调递增，若k=一 4，则 f(1)=0，f(3)=一 40，此时方程 x3 一 6x2+9x+k=0 在(一 ，+) 上恰有两个实根4 【正确答案】 B【试题解析】 加括号发散，则原级数一定发散，所以 正确；取发散，不正确；收敛，则发散，正确故选 (B)5 【正确答案】 D【试题解析】 n 个线性无关的 n 维向量必定可以表示任何一个 n 维向量，选(D)6 【正确答案】 B【试题解析】 设 A=(0)，则 2 一 =6，
8、解得 =一 2 或者 =3因为负惯性指数为 q=1，所以 A 只有一个负特征值，知 A 的特征值为 3，3，一 27 【正确答案】 D【试题解析】 AB= ，则 P(AB)=0P(AB)=P(A)一 P(AB)=P(A)8 【正确答案】 B【试题解析】 由题目可知，X+Y=1，得到 X+3Y=X+3(1 一 X)=一2X+3， 3X+Y=3X+(1 一 X)=2X+1，所以 X+3Y=一(3X+Y)+4，则 X+2Y 与 3X+Y的相关系数 =一 1二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 2【试题解析】 本题考查 y=(x 一 a)|x 一 a|在 x=a 点可导 y=(
9、x2 一 5x+6)|x3 一3x2+2x|=(x 一 2)(x 一 3)|x(x 一 1)(x 一 2)|，从而本函数有两个不可导点11 【正确答案】 【试题解析】 由对称性知形心在 z 轴上，只要求 ， 是高与底面半径皆为 1 的圆锥体，故体积为 ，故只要算积分12 【正确答案】 a=2【试题解析】 13 【正确答案】 k 1(1，0，一 1)T+k2(5，3，4) T 【试题解析】 r(A)=23 r(A*)=1，所以 A*x=0 的基础解系中有两个线性无关的解向量，A *A=|A|E=0， 即 A 的每一列均为 A*x=0的解，两个线性无关解为14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答
10、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 对 f(x)在a ，b上使用拉格朗日中值定理可得，存在 x1(a，b)使得 对 f(x)，g(x)=x 2 在a ，b上使用柯西中值定理可得，存在 x2(a，b)使得对 f(x)，h(x)=x 3 在a ，b上使用柯西中值定理可得，存在 x3(a，b)使得由(1)，(2)，(3)可得，在(a， b)内存在三点 x1，x 2，x 316 【正确答案】 17 【正确答案】 设区域 D 在第一象限的部分为 由对称性可得记 D1 为 x+y=1 与 x 轴 y 轴所围部分，D 2 为 挖掉 D1 剩余部分，则18 【正确答案】 对所给方程变
11、形 y(x)=一 1+x+2x0xy(t)y(t)dt 一 20xty(t)y(t)dt，方程两端对 X 求导，得 y(x)=1+20xy(t)y(t)dt，继续求导，得 y“(x)=2y(x)y(x)，且y(0)=一 1，y(0)=1微分方程不显含自变量 x，令 p=y，方程可化为 这是自变量可分离的微分方程，求得通解为 p=y219 【正确答案】 由于当 n 充分大时， 保持定号，所以级数从某项起以后为交错级数当 不是整数时，不论 取何值，总有 故级数发散；当 是整数时，有所以利用比较判别法的极限形式得：当 0 时，级数 非增地趋于零，故由交错级数的莱布尼兹判别法知，级数 收敛，且为条件收
12、敛；当 =0 时，级数显然收敛，且绝对收敛20 【正确答案】 () 设 =k11+k22+k33，则 Ax= 有解(k 1，k 2，k 3，0) T 与 (一1，1，0，2) T，又(1 ，一 1，2，0) T 为 Ax=0 的基础解系，因此 (k1+1，k 21，k 321 【正确答案】 本题主要考查特征值的性质及二次型通过正交变换化为标准形，是一道有一定难度的综合题二次型的矩阵为 由题设知矩阵A 的特征值为 1=3， 2=3， 3=b由特征值的性质，得解得 a=一 2，b=一 3，从而矩阵 A 的特征值是3，3，一 3当 =3 时，对(3EA)x=0 的系数矩阵作初等行变换，其基础解系为 1=(一 1，1，0) T， 2=(一 1，0，1)22 【正确答案】 () 先求 Z 的分布函数 FZ(z)=P(Zz)= 当 z0 时，FZ(z)=0；当 z0 时，23 【正确答案】 () 设 X 的分布函数为 F(x)，则
