1、考研数学（数学一）模拟试卷 423 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x=a 处可导，则2 设 f(x)=x2，0x 1，而 S(x)= 一x+ ，其中 bn=201f(x)sinxdx(n=1， 2)则 等于( )3 设 则 f(x，y)在点(0，0)处( )（A） 不存在（B） 不存在（C）可微（D）不连续4 以下命题正确的个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个5 设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，满足 AB=A+B，则下面命题中正确的个数是 ( ) |A+B|=|A|B| (AB)一 1=B 一 1A
2、 一 1 (AE)x=0 只有零解 BE 不可逆（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 ，B 是三阶非零矩阵，且 AB=0，则( )（A）当 k=1 时，r(B)=1（B）当 k=一 3 时，r(B)=1（C）当 k=1 时，r(B)=2（D）当 k=一 2 时，r(B)=27 设随机变量 X，Y 相互独立，且概率密度都为 f(t)，则随机变量 Z=X 一 2Y 的概率密度 fZ(z)为 ( )（A）（B）（C） fZ(z)=2一 +f(x)f(2(z 一 x)dx；（D）f Z(z)=2一 +f(x)f(2(x 一 z)dx8 设 X1，X 2，X n 是来自总体 XN(0， 2)的一个
3、简单随机样本，则统计量 Y=的数学期望与方差分别为( )二、填空题9 由方程 所确定的曲线 y=y(x)在 x=0 处的切线方程为_10 当 x0 时，微分方程(3x 2+2)y“=6zy的某个解与 ex 一 1 是等价无穷小，则该解为_11 函数 u=3x2y+x2z2 一 y3sinz 在点 P(1，1，0)处沿该方向的方向导数的最大值为_12 若曲面为 x2+y2+z2=R2，则13 设 ，则(E+A) *=_14 设总体 X 在a，b上服从均匀分布， X1，X 2， ，X n 为其样本，样本均值 ，样本方差 S2，则 a，b 的矩估计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1
4、5 设 f(x)在点 x=0 的某个领域内有二阶导数，且 求()f(0) ，f(0)和 f“(0)的值；16 令 t=tanx，把 化为 y 关于 t 的微分方程，并求原方程的通解17 设 f(x)和 g(x)在0 ，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=f(1)= 一 1，证：至少存在一点 (0，1)，使 f()+g()f()一 =118 19 设 f(t)在0，+)上连续，(t)=x 2+y2+z2t2，z0)，S(t)是 (t)的表面，D(t)是(t)在 xOy 平面的投影区域，L(t) 是 D(t)的边界曲线，当 t(0，+) 时，恒有求 f(t)20 设四维向量组 1=(1，1，4
5、，2) T， 2=(1，一 1，一 2，6) T， 3=(一 3，一 1，a，一 9)T，=(1，3，10，a+b) T问 () 当 a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3 线性表出； () 当 a，b 取何值时， 能由 1， 2， 3 线性表出，并写出此时的表达式21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=x12+ax22+3x32 一 4x1x28x1x34x2x3，其中一 2 是二次型矩阵 A 的一个特征值 ()用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用正交变换； () 如果 A*+kE 是正定矩阵，求 k 的取值范围22 设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服
6、从 N(0，1)，Y i=XiX(i=1，2，n)，求 ( )D(Y i)(i=1，2，n)； ()Cov(Y 1，Y n)； ()PY1+Yn0)23 设总体 X 的密度函数为 其中 一 1 是未知参数，X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本()求 的矩估计量；()求 的最大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 423 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 S(x)是对 f(x)在( 一 1，0)上作奇延拓后展开的傅里叶级数，则3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】
7、 B【试题解析】 比较判别法为充分条件，非必要条件故正确，错误5 【正确答案】 C【试题解析】 A，B 可逆，A+B AB|A+B|=|AB|=|A|B|；(AB) 一 1=B 一 1A 一1；A+B|=AB A=ABB=(A 一 E)B A 一 E 可逆 (AE)x=0 只有零解；A+B=AB B=AB 一 AA(BE) BE 可逆6 【正确答案】 B【试题解析】 当k=1 时，r(A)=1，r(B)2 ；当 K=一 3 时，r(A)=2，r(B)=1从而选(B)7 【正确答案】 B【试题解析】 X，Y 独立， 由卷积公式可得之8 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 y
8、=e+e(1 一 e)x【试题解析】 当 x=0 时，y=e，在方程两边对 x 求导，得因此 y|x=0=e(1 一 e)，故切线方程为 y=e+e(1 一e)x10 【正确答案】 【试题解析】 先求方程的通解由题意知 代入方程有 解得 p=C1(3x2+2)，即 y=C1(3x2+2)，因此y=C1(3x2+2)dx=C1(x3+2x)+C2，11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 由于具有轮换对称性，故13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 由均匀分布的数字特征结论三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】
9、16 【正确答案】 此微分方程为二阶常系数非齐次线性微分方程其齐次通解为 Y(t)=(c1+c2t)e 一 t，非齐次特解设为 y*(t)=at+b，代入 y“+2y+y=t 中得 a=1，b=一 2所以其非齐次特解为 y*(t)=t一 2故其非齐次通解为 y(t)=Y(t)+y*(t)一(c 1+c2t)e 一 t17 【正确答案】 F(x)一 eg(x)(f(x)一 x)，18 【正确答案】 考虑幂级数 易知此幂级数的收敛域一 1x1，19 【正确答案】 20 【正确答案】 设 =x11+x22+x33可由 1， 2， 3 唯一线性表示，=2 1 一 2+03(3)当 =一 6 时 可由 1， 2， 3 线性表示，=(221 【正确答案】 ()|A|=77(一2)=一 98所以 A*的特征值为一 14，一 14，49从而 A*+kE 的特征值为 k 一14，k 一 14k+49因此 k14 时，A *+kE 正定22 【正确答案】 23 【正确答案】 ()X 的数学期望()记X1，X 2，X n 的值为 x1，x 2，x n，则它的似然函数
