1、考研数学（数学一）模拟试卷 426 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 a0，b0N 两个常数，则 为( )2 设 f(x)= 且 f(0)存在，则( )（A）a=2 ，b=2，c=1（B） a=2，b=2，c= 1（C） a=2，b=2，c=1（D）a= 2， b=2，c= 13 设 f(t)=4 设 f(x)满足： 且 f(x)二阶连续可导，则( )（A）x=0 为 f(x)的极小点（B） x=0 为 f(x)的极大点（C） x=0 不是 f(x)的极值点（D）(0 ，f(0) 是 y=f(x)的拐点5 设 A，B 及 A*都是 n(n3)阶非
2、零矩阵，且 AB=0，则 r(B)=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）设 r(A)=r，则 A 有 r 个非零特征值，其余特征值皆为零（B）设 A 为非零矩阵，则 A 一定有非零特征值（C）设 A 为对称矩阵，A 2=2A，r(A)=r，则 A 有 r 个特征值为 2，其余全为零（D）设 A，B 为对称矩阵，且 A，B 等价，则 A，B 特征值相同7 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= 则k 值为( )（A）2（B） 4（C） 6（D）88 已知 E(X)=1，E(X 2)=3，用切比雪夫不等式估计 P1X4
3、)a，则 a 的最大值为( )二、填空题9 曲线 在 t=0 对应点处的法线方程为_10 设 =(x，y，z)x 2+y2+(z1) 21，x0，y0)，则 _11 设 ，f 有一阶连续的偏导数，则 =_12 微分方程 y3y+2y=2e x 满足 的特解为_13 已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，3，0，则B 1 +2E=_14 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 E(X)=，D(X)= 2，令U= X i，V= X j(ij)，则 UV=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)连续，16 计
4、算17 求 x=cost(0t)将方程(1x 2)yxy+y=0 化为 y 关于 t 的微分方程，并求满足 的解18 计算曲面积分 I= 2(1 xy)dydz+(x+1)ydzdx4yz 2dxdy，其中是弧段(1x3)绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面，上任一点的法向量与 x 正向夹角大于19 设 f(x)在0，1上连续可导， f(1)=0， =2，证明：存在 0,1，使得f()=419 设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)= =rn，其中20 证明方程组 AX=b 有且仅有 nr+1 个线性无关解；21 若 有三个线性无关解，求 a，b 及方程组的通解21 设二次型 f(x1，x 2，x
5、3)=5x12+ax22+3x322x 1x2+6x1x36x 2x3 的矩阵合同于22 求常数 a；23 用正交变换法化二次型 f(x 1，x 2，x 3)为标准形24 设随机变量 XU(0，1)，YE(1) ，且 X，Y 相互独立，求 Z=X+Y 的密度函数f2(z)24 设总体 X 的密度函数为 f(x)= 其中 -1 是未知参数，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本25 求 的矩估计量；26 求 的最大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 426 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 令 =m+，当
6、x0 +时，m+，其中 01，则2 【正确答案】 C【试题解析】 f(00)=f(0)=c，f(0+0)=1，由 f(x)在 x=0 处连续得 c=1，3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 由 B 为非零矩阵得 r(A)n，从而 r(A*)=0 或 r(A*)=1， 因为 A*为非零矩阵，所以 r(A*)=1，于是 r(A)=n1， 又由 AB=0 得 r(A)+r(B)n，从而 r(B)1，再由 B 为非零矩阵得 r(B)1， 故 r(B)=1，应选 (B)6 【正确答案】 C【试题解析】 取 ，显然 A 的特征值为 0，0，1
7、，但 r(A)=2，(A)不对；设 ，显然 A 为非零矩阵，但 A 的特征值都是零，(B)不对；两个矩阵等价，则两个矩阵的秩相等，但特征值不一定相同，(D)不对；应选(C) 事实上，令 AX=X，由 A2=2A 得 A 的特征值为 0 或 2，因为 A 是对称矩阵，所以 A一定可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值中有 r 个 2，其余全部为零7 【正确答案】 C【试题解析】 得 k=6，选C8 【正确答案】 C【试题解析】 D(X)=2，由切比雪夫不等式得则 a 的最大值为 ，选 C二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 当 t=0 时，x=3，y=1，10 【正确答案】 【试题解析
8、】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 y=3e x+3e2x2xe x13 【正确答案】 -8【试题解析】 因为 A 的特征值为 3，3，0，所以 AE 的特征值为2，4，1，从而 AE 可逆，由 E+B=AB 得(AE)B=E，即 B 与 AE 互为逆阵，则 B 的特征值为 ，1，B 1 的特征值为 2，4，1，从而 B1 +2E的特征值为 4，2，1，于是B 1 +2E= 814 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 曲面：x=y 2+z2+1(1X3
9、)，补充曲面 0：x=3(y 2+z22)，19 【正确答案】 由分部积分，得由拉格朗日中值定理，得 f(x)=f(x)f(1)=f()(x 1)，其中 (x，1)，f(x)=f()(x1)两边对 x从 0 到 1 积分，得 因为 f(x)在0，1上连续，所以 f(x)在0 ， 1上取到最小值 m 和最大值 M，由 M(x1)f()(x1)m(x1)两边对 x 从 0 到 1 积分，得 ，即 m4M，由介值定理，存在 0，1，使得 f=420 【正确答案】 令 1， 2， nr 为 AX=0 的基础解系， 0 为 Ax=b 的特解，显然 0=0， 1=1+0， nr =nr +0 为 Ax=b
10、 的一组解，令 k00+ k11+ k nr nr =0，即 k 11+ k22+ k nr nr + (k0+k1+ k nr )0=0 上式左乘 A 得(k0+k1+ k nr )b=0，因为 b0时，k 0+k1+ k nr =0，于是 k11+ k22+ k nr nr =0，因为 1， 2， nr 为 AX=0 的基础解系，所以 k1=k2=knr =0，于是k0=0，故 0， 1， nr 线性无关 若 0， 1， nr+1 为 AX=b 的线性无关解，则 1=1 0， nr+1 =nr+1 0 为 AX=0 的解，令 k11+ k22+ k nr+1 nr+1 ，则 k11+ k2
11、2+ k nr+1 nr+1 l(k 1+k2+k nr+1 )0=0 因为 0， 1， nr+1 线性无关，所以 k1=k2=k nr+1 =0，即 1， 2， nr+1 为 AX=0 的线性无关解，矛盾，故方程组 AX=b 恰有 nr+1 个线性无关解21 【正确答案】 令化为AX=，因为 AX=有三个非零解，所以 AX=0 有两个非零解，故 4r(A)2，r(A)2，又因为 r(A)2，所以 r(A)= =222 【正确答案】 23 【正确答案】 24 【正确答案】 X，Y 的边缘密度分别为因为 X，Y 独立，所以(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)=f x(x) fy (y)= FZ (z)=PZz)=PX+Yz)= 当 z0 时，F Z (z)=0；当 0z1 时，F Z (z)当 z1时，F Z (z) 即25 【正确答案】 ，得参数的矩估计量为26 【正确答案】 记样本观察值为 x1，x 2，x n 依然函数为
