1、考研数学（数学一）模拟试卷 428 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，g(x)=x 3+x4，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小2 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在(0，0)处( )（A）不连续（B）连续但不可偏导（C）可偏导但不可微（D）可微3 点(2， 1，-3)到直线 的距离为( )4 设幂级数 (3x+1)n 在 x=1 处收敛，则级数 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不能确定5 下列结论正确的是( )（A）若 A，
2、B 特征值相同，则 AB（B）矩阵 A 的秩与其非零特征值个数相等（C）若 A，B 特征值相同，则 A，B 等价（D）A，B 的特征值相同且 A，B 都可对角化，则 AB6 设，n 阶矩阵 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，令向量组()： 1， 2， ， n；()： 1， 2， n；()： 1， 2， n，若向量组() 线性相关，则 ( )（A）向量组() 与向量组 () 都线性相关（B）向量组()线性相关（C）向量组()线性相关（D）向量组() 与()至少有一个线性相关7 设 P(AB)=P(BA)= ， ，则( )（A）事件 A，B 独立且 P(
3、A+B)=（B）事件 A，B 独立且 P(A+B)=（C）事件 A，B 不独立且 P(A+B)=（D）事件 A，B 不独立且 P(A+B)=8 设连续型随机变量 x 的概率密度 f(x)为偶函数，且 F(x)= ，则对任意常数 a0，P Xa为( )（A）22F(a)（B） 1F(a)（C） 2F(a)（D）2F(a) 1二、填空题9 设 f(x)连续，且 f(0)=0，f(0)=2，则 _10 过点 A(3，2，1) 且平行于 的平面方程为_11 设 f(x)二阶可导且满足 ，则 f(x)=_12 平面 ：Ax+By+z+D=0 被柱面 x2+4y2=4 所截得的面积为_13 设 及 1，
4、2， 3 为三维向量空间 R3 的两组基，A=(1， 2， 3)为可逆矩阵，且 ，则从基 1， 2， 3到基 1， 2， 3 的过渡矩阵为_14 设 X1，X 2，X m 与 Y1，Y 2，Y n 分别为来自相互独立的标准正态总体 X与 y 的简单随机样本，令 ，则 D(Z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 un(x)满足 un(x)=un(x)+xn1 ex(n=1，2，) ，且 ，求级数的却函数16 设 f(x)C1，1且(1，1)内有 f(x)0 且 ，证明：当 x(1，1)时，f(x)3x17 设 (x0，y0)，过 L 上一点作切线，求切线与抛物线所围成
5、面积的最小值18 设 u=f(x， y)满足 du=y2dx+(2xy+1)dy，且 f(0，0)=1，计算 ，其中是 被 x2+(y1) 2=1 所截的部分18 飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞行到原点时被发现，随即从 x 轴上点(x0，y 0)处发射导弹向飞机击去，其中 x00，若导弹的速度方向始终指向飞机，其速度大小为常数 2v19 求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件；20 求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间 T20 21 求常数 a， b 的值及 1 所对应的特征值；22 矩阵 A 可否相似对角化?若 A 可对角化，对 A 进行相似对角化；若 A 不可对角
6、化，说明理由23 当常数 a 取何值时，方程组 无解、有无穷多个解?在有无穷多个解时，求出其通解23 设随机变量 X 在(1，4)上服从均匀分布，当 X=x(1x4)时，随机变量 Y 的条件密度函数为24 求 Y 的密度函数；25 求 X，Y 的相关系数；26 令 Z=XY，求 Z 的密度函数26 设总体 X 的密度函数为X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，令27 求 Y 的分布函数；28 讨论 作为参数 的估计量是否具有无偏性考研数学（数学一）模拟试卷 428 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，
7、所以正确答案为(B)2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 设点 M0(1， 3，0) L，s=1；2，2L，M 1(2，1，3)，=1，4，3) ， s=2，5，6，由 得，应选(C)4 【正确答案】 A【试题解析】 令 3x+1=t，则级数 当 t=2 时收敛，故级数 的收敛半径 R2，因为 1R，所以当 t=1 时，级数 绝对收敛，即级数 绝对收敛，应选(A)5 【正确答案】 D【试题解析】 令 ，因为EA =EB= 2(1)，所以 A，B 特征值相同，但 r(A)一 2r(B)=1，故 A，B 不相似，(A)不正确；对 显然 1=2=0， 3=1，而 r(A
8、)=2，所以(B)不正确；由(A)，A，B 特征值相同，A，B 的秩不一定相等，故(C)不正确；设 A，B 的特征值相同且 A，B 都可对角化，令其特征值为1， 2， n，因为 A，B 都可对角化，所以存在可逆阵 P1，P 2，使得，从而有巧 P1-1AP1=P2-1BP2，于是(P 1P2-1)-1AP1P2-1=B，令 P1P2-1=P，则 P-1AP=B，即 AB，选(D)6 【正确答案】 D【试题解析】 当向量组(I)线性相关时，r(A)n ，由 r(AB)r(A)得 r(AB)n ，即向量组() 线性相关；同理，当向量组() 线性相关时，r(B) n ，由 r(AB)r(B)得 r(
9、AB)n ，即向量组()线性相关，应选 (D)7 【正确答案】 C【试题解析】 由 P(AB)=P(BA)= ，得 P(A)=P(B)，再由 ，得 P(A)=P(B)= ，且 P(AB)= ，因为 P(AB)P(A)P(B)，所以 A，B 不独立，故 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=8 【正确答案】 A【试题解析】 所以 PXa=22F(a)，选(A)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 x2y5z+6=0【试题解析】 s 1=1，2，1，s 2=2，1，0 ，则所求平面方程的法向量为 n= S1s2=1，2，5 所求平面方程为 ：(x3)+2(y2)+5(
10、z 1)=0，即：x 2y5z+6=011 【正确答案】 【试题解析】 对 两边求导得 x2f(x)=3x2+f(x)，整理得 f(x)x 2 f(x)=3 x2，解得 当 x=0 时，f(x)=0，于是 C=3，故12 【正确答案】 【试题解析】 平面 为 z=AxByD，由于是平面 被柱面所截得的面积为13 【正确答案】 【试题解析】 设从 1， 2， 3 到 1， 2， 3 的过渡矩阵为 Q，则( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)Q，14 【正确答案】 2(m+n 2)【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 un(x)= un(x)+x
11、n1 ex，即 un(x)u n(x)= (x)+xn1 ex 得16 【正确答案】 得 f(0)=0由泰勒公式得 f(x)f(x 0)=f(x0)(xx 0)+ ，其中 介于 x0 与 x 之间，由 f (x)0 得 f (x)(x 0)+ f(x0)(xx 0)，取 x0=0 得 f (x)3x17 【正确答案】 首先求切线与坐标轴围成的面积 过点 M 的 L 的切线方程为 令 Y=0，得 X= ，切线与 z 轴的交点为 P ， 令X=0，得 Y= ，切线与 y 轴交点为 Q ； 切线与椭圆围成的图形面积为S(x，y)= 其次求最优解18 【正确答案】 由 du=y2dx+(2xy+1)d
12、y=y2dx+2xydy+dy=d(xy2+y)得 F(x，y)=xy2+y+C 由 f(0，0)=1 得 C=1，从而 f(x，y)=xy 2+y+119 【正确答案】 设导弹在 t 时刻的坐标为 A(x(t)， y(t)，其运行轨迹方程为 y=y(x)，在某时刻 t0，飞机的位置为 B(0，vt)，因为导弹的速度方向始终指向飞机，从而在 t 时刻，导弹运行轨迹曲线的切线斜率 与线段 AB 的斜率相等，于是有两边对 x 求导数，得因为导弹的速度大小为 2v，所以 把上式代入(*)，可得 y=y(x)所满足的初始条件为 y(x0)=0，y(x 0)=020 【正确答案】 21 【正确答案】 根
13、据特征值、特征向量的定义，有 A1=1，即，于是有 解得 a=1，b=1，=3，则22 【正确答案】 由EA=0 ，得 1=2=2， 3=3，2E A= ，因为r(2EA)=2，所以 A 不可对角化23 【正确答案】 原方程的通解为 X=k(1，0，1) T+ k(2，1，0) T(K 为任意常数)；若 a1，则当 a=2 时，方程组无解当 a=2 时， 原方程的通解为X=k(1，1，1) T+ k(2，2，0) T(K 为任意常数)24 【正确答案】 随机变量 X 的边缘密度函数为 则(X， Y)的联合密度函数为则 Y 的边缘密度函数为当 y0 或 Y4 时，f Y (y)=0；当 0y1 时，；当 1y4 时，f Y (y)= ，所以25 【正确答案】 26 【正确答案】 F Z (z)=PZz=PXYz=27 【正确答案】 总体 X 的分布函数为=1PX 1y，X2y，X ny=1P X 1y P X 2yP(X ny)=11P X 1y)1P X2y)1 P Xny)28 【正确答案】
