1、考研数学（数学一）模拟试卷 429 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则 f(x)有( )（A）两个可去间断点（B）两个无穷间断点（C）一个可去间断点，一个跳跃间断点（D）一个可去间断点，一个无穷间断点2 设 f(x)连续，且 ，则下列结论正确的是( )（A）f(1)是 f(x)的极大值（B） f(1)是 f(x)的极小值（C） (1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(1)不是 f(x)的极值，但(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点3 函数 f(x)=x312x+q 的零点个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D
2、）零点个数与 q 取值有关4 设正项级数 发散，令 Sn=a1+a2+an，则下列结论正确的是 ( )5 设 A 为 m 阶可逆矩阵，B 为 n 阶可逆矩阵，A =a 口，B=b，则等于( )6 设 A=(1， 2， 3， 4)为四阶方阵，且 1， 2， 3， 4 为非零向量组，设 AX=0的一个基础解系为（1，0，4，0） T，则方程组 A*X=0 的基础解系为( )（A） 1， 2， 3（B） 2， 3， 4（C） 1， 3， 3（D） 1+2， 2+24， 47 设 XN(1 ，4) ，yN(3，16)，PY=aX+b=1 ，且 xy=1，则( )（A）a=2 ，b=5（B） a=2，b
3、=5（C） a=2，b=5（D）a=2 ，b=58 设 X，y 相互独立，且都服从参数为 的指数分布，下列结论正确的是( )（A）X+YE(2)（B） XYE(2)（C） minX，YE(2)（D）maxX，YE(2)二、填空题9 设 y=y(x)为方程 y(x1)y+x 2y=ex 的满足初始条件 的解，则_10 设 z=z(z， y)由 (x2z 2，e z+2y)=0 确定，其中 连续可偏导，则 _11 设 y=y(x)由 _12 微分方程 yy=y2y十 y2 满足 y(0)=1，y(0)=2 的特解为_13 设 A，B 为三阶矩阵，AB， 1=1， 2=1 为矩阵 A 的两个特征值，
4、又B 1 = ，则 _14 设总体 XN(0，1) ，X 1，X 2，X 3，X 4 为来自总体的简单随机样本，则服从的分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)0x，y115 设 f(x)Ca，b且 f(x)为单调增函数，若 f(a)0， ，证明：16 存在 (a，b) ，使得17 存在 (a，6)，使得18 设 f(x，y)=(x6)(y+8)，求函数 f(x，y)在点(x，y)处的最大的方向导数 g(x，y)，并求 g(z，y)在区域 D=(x，y)x 2+y225)上的最大值与最小值19 计算 其中 =x，y，z)， 为不过原点
5、闭曲面的外法向量，围成的几何体为 20 当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状，若它在进人大气层开始燃烧的前 3s 内，减少了体积的 ，问此陨石完全燃尽需要多少时间 ?21 设 ，问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AX=B有解，有解时求出全部解21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=2y12y 22y 32 又A*=，其中 =(1，1， 1)T22 求矩阵 A；23 求正交矩阵 Q，使得经
6、过正交变换 X=QY，二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 化为标准形23 设(X，Y)的联合密度函数为24 求常数 k；25 求 X 的边缘密度；26 求当 X=x(0z )下 Y 的条件密度函数 fYX (yx)26 设随机变量 X1，X 2，X m+n(mn)独立同分布，其方差为 2，令求：27 D(Y)，D(Z) ；28 YZ考研数学（数学一）模拟试卷 429 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 x=0，x=1 为 f(x)的间断点由 f(0+0)=f(00)=0，得 x=0 为 f(x)的可去间断点；
7、 由 f(10)f(1+0)，得x=1 为 f(x)的跳跃间断点，应选 C2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以由极限的保号性，存在 0，当0x1 时，有 ，即当 x(1，1)时，f(x)0；当x(1，1+)时，f(x) 0 根据极值的定义，f(1)为 f(x)的极小值，选(B)3 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=3x212=0，得驻点 x1=2，x 1=2，f(x)=6x，因为 f(2)=120 ，f(2)=12 0，所以 x1=2 为极大值点， x2=2 为极小值点，极大值和极小值分别为 f( 2)=6+q 及 f(2)=1 6+q，且 当 f(2)=16+q0，即 q
8、16 时，f(x)=x 312x+q 只有一个零点； 当 f(2)= 16+q=0，即 q=16 时，f(x)=x 312x+q 有两个零点，其中一个为 x=2； 当 f(2)=16+q0，f(2)= 16+q0，即q16 时，f(x)=x 312x+q 有三个零点； 当f(2)=16+q=0 ，即 q=16 时，f(x) =x312x+q 有两个零点，其中一个为 x=2； 当 f(2)=16+q0，即 q16 时，f(x) =x 312x+q 只有一个零点，故选(D)4 【正确答案】 D5 【正确答案】 D【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 由 r(A)=3 得 r(A*)=1，
9、则 A*X=0 的基础解系由三个线性无关的解向量构成 由 14 3=0 得 1， 3 成比例，显然(A) 、(B)、(C)不对，应选(D)7 【正确答案】 C【试题解析】 由 E(Y)=aE(X)+b 得 a+b=3， 再由 D(Y)=a2D(X)得 4a2=16， 因为XY= 1，所以 a0，于是 a=2，b=5，应选 C8 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 由 ，得 y(0)=0，y(0)=0 因为 y=y(x)满足 y+(x1)y+x2y=ex，所以 y(0)=210 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】
10、 13 【正确答案】 【试题解析】 因为B 1 = ，所以B=3 ，又因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值，设 A 的另一个特征值为 3，由A=B= 123，得 3=3，因为A3E 的特征值为4，2，6，所以A3E=4814 【正确答案】 t(1)【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 由积分中值定理， =f(c)(ba)0，其中 ca，b，显然f(c)0 且 c(a，b 因为 f(a)f(c)0，所以由零点定理，存在 x0(a，c)，使得 f(x0)=0 再由 f(x)单调增加得，当 xa，x 0)时，f(f) 0；当 x(
11、x0，b时，f(x)0 令，显然 F(x0)0，F( b)0，由零点定理，存在 (a，b)，使得 F()=0，即17 【正确答案】 18 【正确答案】 函数 f(x，y)的梯度为 gradf(x，y)=y+8 ，x6，其中 e 为射线对应的单位向量， 为梯度与射线的夹角，19 【正确答案】 20 【正确答案】 设陨石体积为 V，表面积为 S，半径为 r，它们都是时间 t 的函数，21 【正确答案】 令 X=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 2)，矩阵方程化为 A(1， 2， 3)=(1， 2， 2)，即22 【正确答案】 显然 A 的特征值为 1=2， 2=1， 3=1，A =2，伴随矩
12、阵A*的特征值为 1=1， 2=2， 3=2，由 A*=得 AA*=A，即 A=2，即=(1， 1， 1)T 是矩阵 A 的对应于特征值 1=2 的特征向量令 =(x1，x 2，x 3)T 为矩阵 A 的对应于特征值 2=1， 3=1 的特征向量，因为 A 为实对称矩阵，所以T=0，即 x1+x2x 3=0，于是 2=1， 3=1 对应的线性无关的特征向量为23 【正确答案】 24 【正确答案】 25 【正确答案】 26 【正确答案】 27 【正确答案】 因为 X1，X 2，X m+n 相互独立，28 【正确答案】 Cov(Y，Z)=Cov(X 1+Xm)+(Xm+1+Xn)，X m+1+Xm+n =Cov(X1+Xm，X m+1+Xm+n)+Cov(Xm+1+Xn，X m+1+Xm+n
