1、考研数学（数学一）模拟试卷 430 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，x=0 是 f(x)的( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）不能判断连续性的点2 曲线 的渐近线的条数为( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条3 设 1(x)， 2(x)， 3(x)是微分方程 y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（A）C 11 (x)+ C22 (x)+ C33 (x)（B） C1 1 (x) 2 (x)+ C2 1 (x) 3 (x)+ C3 2 (x) 2 (x)+ 1
2、 (x)（C） C1 1 (x) 2 (x)+ C22(x)+ 3 (x)（D）C 11 (x) 2 (x)+ C22 (x) 3 (x)+ 1 (x) +2 (x) + 3 (x) 4 设幂级数 在 x=4 处条件收敛，则级数 在 x=3 处( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不确定5 设 A 为三阶矩阵，令 ，将 A 的第一、二两行对调，再将 A 的第三列的 2 倍加到第二列成矩阵 B，则 B 等于( )（A）P 1AP2（B） P11AP 2（C） P2AP1（D）P 11 AP216 下列结论正确的是( )（A）设 A，B 为 n 阶矩阵，若 A，B 非零特征值个数
3、相等，则 r(A)=r(B)；（B）若 A，B 是 n 阶可逆的对称矩阵，若 A2 与 B2 合同，则 A，B 合同； （C）若 A，B 是 n 阶实对称矩阵，若 A，B 合同，则 A，B 等价；（D）若 A，B 是 n 阶实对称矩阵，若 A，B 等价，则 A，B 合同7 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(1， 12)，Y N(1 ，1， 32)，则PXY1( )（A）随 1， 2 的增加而增加（B）随 1， 2 的增加而减少（C）与 1， 2 的取值无关（D）随 1 的增加而增加，随 2 的增加而减少8 设 X，Y 为两个随机变量，其中 E(X)=2，E(Y)=1，D(X)=2，D(Y
4、)=16，且X，Y 的相关系数为 ，由切比雪夫不等式得 PX+Y110( )二、填空题9 若当 x0 时，(1+2x) x cosxax 2，则 a=_10 _11 设 z=z(x，y)由 F(azby ，bxcz ，cyax)=0 确定，其中函数 F 连续可偏导aF1cF 20，则 _12 设函数 y=y(x)在(0 ，+)上满足 y= x+0(x)，且 ，则y(x)=_13 设矩阵 ，矩阵 A 满足 B1 =B*A+A，则 A=_14 设随机变量 ，且 Cov(x，y)= ，则(X，Y) 的联合分布律为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 g(x)二阶可导，且15
5、求常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续；16 求 f(x)，并讨论 f(x)在 x=0 处的连续性17 设 a 为实数，问方程 ex=ax2 有几个实根?18 计算 ，其中 D 是由 x2+y2=4 与 x2+(y+1)2=1 围成的区域19 设 f(x)为连续函数，=(x，y，z)lx 2+y2+z2t2，z0)，为 的表面，D xy 为 在 xOy 平面上的投影区域，L 为 Dxy 的边界曲线，当 t0 时有20 设 un(x)满足 un(x)+ (n=1，2，)，且 ，求 的和函数20 21 当 a，b 为何值时， 不可由 1， 2， 3 线性表示22 当 a，b 为何值时， 可由
6、 1， 2， 3 线性表示，写出表达式22 设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得且23 求正交矩阵 Q；24 求矩阵 A24 设随机变量 X 服从参数 的指数分布，令 求：25 PX+Y=0；26 随机变量 Y 的分布函数；27 E(Y)28 设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体韵标准差为i(i=1，2，n)，用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到X1，X 2，X n，设 E(Xi)=(i=1，2，n) ，问 k1，k 2，k n 应取何值，才能在使用 估计 时， 无偏，并且 最小?考研数学（数学一）模拟试卷 430 答案与解析一、选择题下列每题给
7、出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时， ；当 x=0 时，f(x)= ；当 x0时，f(x)=x，因为 f(0+0)=1，f(0)= ，f(00)=0，所以 x=0 为 f(x)的第一类间断点，选(B)2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，所以曲线没有水平渐近线；由，得曲线有两条铅直渐近线；由，得曲线有一条渐进斜线，选 C3 【正确答案】 D4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 在 x=4 处条件收敛，所以收敛半径为 R=当 x=3 时，因为3+1 =2R=3，所以当 x=3 时，级数 绝对收敛，应选(A)5 【正确答案】 D【试题解析
8、】 6 【正确答案】 C【试题解析】 取 显然 A，B 非零特征值个数都为1，但 r(A)r(B)，不选(A)；取 ，显然 A2 与 B2 的正惯性指数都为 2，A 2 与 B2 合同，但 A，B 不合同，不选(B)；若 A，B 合同，即存在可逆矩阵 P，使得 pTAp=B，则 r(A)=r(B)，故 A，B 等价，应选(C)；若 A，B 等价，即 r(A)=r(B)，但 A，B 的正负惯性指数不一定相等，故 A，B 不一定合同，不选(D)7 【正确答案】 B【试题解析】 8 【正确答案】 B【试题解析】 令 Z=X+Y，则 E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+y)=D(X)+
9、D(y)+2Cov(X，Y)=13，则 PX+Y110=PZ E(Z)10选(B)：二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 因为当 x0 时，(1+2x) x1= 所以(1+2x) xcosx=(1+2x) x 1+1cosx2x 2+ ，于是 a=10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 b【试题解析】 F(azby ， bxcz ，cyax)=0 两边对 x 求偏导得12 【正确答案】 x(1cosx)【试题解析】 由可微的定义，函数 y=y(x)在(0，+)内可微，且，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 E(X)= ，
10、E(Y)= ，由 Cov(X， Y)=E(XY)E(X)E(Y)=E(XY)，得 E(XY)= ，因为 XY 的可能取值为 0，1，所以 由PX=1=PX=1，Y=0+Px=1 ，Y=1，得 PX=1，Y=0= ，再 PY=0= PX=0，Y=0+PX=1 ，Y=0= ，得 PX=0，Y=0)= ，则(X，Y) 的联合分布律为 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 当 f(x)在 x=0 处连续时，g(0)=1当 f(x)在 x=0处连续时，a=g(0)16 【正确答案】 17 【正确答案】 当 a=0 时，方程无解；当 a0 时，令 (x)=x2ex 由 (x
11、)=2xex x 2ex =ex =0 得 x=0 或 x=2 当 x0 时，(x)0；当 0x2 时，(x)0；当 x2 时，(x)0，于是 (0)= 为极小值， 为极大值，又 1)当 a0 时，方程无解； 2)a= 时，方程有两个根，分别位于(，0) 内及 x=2。3)当 a 时，方程有三个根，分别位于(一，0)， (0，2)，(2，+)内；4)当 0a 时，方程只有一个根，位于 (一 ，0)内18 【正确答案】 由对称性得19 【正确答案】 令 1：x 2+y2+z2=t2 (z0)， 2：z=0(x 2+y2t2)，则20 【正确答案】 21 【正确答案】 当a 6， a+2b40 时
12、，因为 r(A) ，所以 不可由 1， 2， 3 线性表示；22 【正确答案】 23 【正确答案】 显然 A 的特征值为 1=2=1， 3=2，A *的特征值为1=2=2， 3=1 因为 为 A*的属于特征值产 3=1 的特征向量，所以 是 A 的属于特征值 3=2 的特征向量，令 3 令 A 的属于特征值 1=2=1 的特征向量为，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以x 1x 2+x3=0，则 A 的属于特征值 1=2=1 的线性无关的特征向量为24 【正确答案】 25 【正确答案】 PX+Y=0=PY=X=PX1 =1PX1)=1(1e )=e26 【正确答案】 F Y (y)=PYy=PYy，0X1+P Yy，X1) =PXy，0X1+PXy，X1 当 y1 时，F Y (y)=PXy=1PX y)=ey；当1y0 时，F Y (y)=PX1=e ；当 0y1 时，F Y (y)=P0Xy+PX1=1e+e y +e ；当 y1 时，F Y (y)=P0X1+PX1=127 【正确答案】 因为 所以 E(Y)=28 【正确答案】 因为 E(Xi)=(i=1，2，n)，所以 的无偏性要求是这就是约束条件，而目标函数为 由拉格朗日乘数法，作函数
