1、考研数学（数学一）模拟试卷 432 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 D 为有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内满足：则( )（A）f(x，y)在 D 内取到最小值和最大值（B） f(x，y)在 D 内取到最小值但取不到最大值（C） f(x，y)在 D 内取到最大值但取不到最小值（D）f(x，y)在 D 内既取不到最大值又取不到最小值2 当 x0 时， 为( )3 设 则，f(x，y)在(0，0)处( )（A）连续但不可偏导（B）可偏导但不连续（C）连续、可偏导但不可微（D）可微4 设为由直线 绕 x 轴旋转产生
2、的曲面，则上点 P=(1，1，2)处的法线方程为( )5 设 A 为三阶矩阵，特征值为 1=2=1， 3=2，其对应的线性无关的特征向量为1， 2， 3，令 P1=(1 3， 2+3， 3)，则 P116 设 A，B 为 n 阶方阵，令 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，则下列命题正确的是( )（A）若矩阵 A，B 等价，则向量组 1， 2， n 与向量组 1， 2， n 等价（B）若 A，B 的特征值相同，则 A，B 等价（C）若 AX=0 与 BX=0 同解，则 A，B 等价（D）若 A，B 等价，则 AX=0 与 BX=0 同解7 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分
3、布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数( )（A）是阶梯函数（B）恰有一个间断点（C）至少有两个间断点（D）是连续函数8 设 X1，X 2，X 16 为正态总体 XN( ，4)的简单随机样本，设H0：=0，H 1：0 的拒绝域为 ，则犯第一类错误的概率为 ( )二、填空题9 设 f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为_10 _11 两容器各盛盐水 20L，浓度为 15gL，现以 1Lmin 的速度向第一只容器注入清水(同时搅拌均匀) ，从第一只容器以 1Lmin 的速度将溶液注入第二只容器，搅拌均匀后第二只容器以 1Lmin 的速度排出，则经过_分钟第一只容器溶液浓度为原来的
4、一半，t 时刻第二只容器含盐量为 _12 设 f(x)在区间3，0)上的表达式为 则其正弦级数在点 x=20 处收敛于_13 设 A 为三阶实对称矩阵， 为方程组 AX=0 的解， 为方程组(2EA)X=0 的一个解，E+A=0 ，则 A=_14 设总体 XE()，且 X1，X 2，X n 为总体 X 的简单随机样本，令则 E(S12)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内三阶可导，且 =2，f(1)=1，f(2)=6，证明：存在 (0，2)，使得 f()=916 设 u=f(x2+y2，xz)，z=z(x ，y) 由 ex 十
5、 ey=ez 确定，其中 f 二阶连续可偏导，求16 椭球面 1 是椭圆 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 2 是由过点(4，0)且与椭圆 相切的直线绕 x 轴旋转而成17 求 1 及 1 的方程；18 求位于 1 及 1 之间的立体体积18 设19 用变换 x=t2 将原方程化为 y 关于 t 的微分方程；20 求原方程的通解21 计算曲面积分 其中是曲面 2x2+2y2+z2=4 的外侧21 设 为 BX=0 的解向量，且 AX=3 有解22 求常数 a， b23 求 BX=0 的通解23 设 可对角化24 求常数 a；25 求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵26 设随机变量 X 的分
6、布律为 PX=k=p(1p) k1 (k=1，2，)，Y 在 1k 之间等可能取值，求 PY 一 326 设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Yi=Xi (i=1，2，n)求27 D(Yi)(i=1， 2，n)；28 Cov(Y1，Y n)；29 PY1+Yn0考研数学（数学一）模拟试卷 432 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对区域 D 内任意一点(x，y)， 因为AC=B2= ，所以所以 D 内任意一点都不是最值点，故 f(x，y)在 D 内既取不到最小值又取不到最大值，应选(D)2 【正
7、确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 设 M(x，y ，z) 为曲面上的任意一点，过 M 点且垂直于 z 轴的圆交直线于点 M0 (x，y 0，z 0)，圆心为 T(x，0，0)，由MT=M 0T得y2+z2=y22+z22 因为 所以 y0=x，z 0=2x，故曲面的方程为5x2y 2z 2=0 曲面上点 P(1，1，2)处的法向量为 n=10x，2y，2z) p=10，2，4，5 【正确答案】 A【试题解析】 A *的特征值为 2，2，1，其对应的线性无关的特征向量为1， 2， 3，6 【正确答案】 C【试题解析】 由 A，B 等价得
8、 r(A)=r(B)，从而向量组， 1， 2， n 与向量组1， 2， n 的秩相等，但两向量组秩相等不一定可相互线性表示，即不一定等价，不选(A) ；若 A，B 特征值相同，r(A)与 r(B)不一定相等，从而 A，B 不一定等价， ，显然 A，B 的特征值相同，但 r(A)=1r(B)=2，故 A，B 不等价，不选(B)；若方程组 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B)，从而 A，B 等价，反之不对，应选(C)7 【正确答案】 B【试题解析】 F Y (y)=PYy)=Pmin(X，2)y=1 Pmin(X，2)y=1 PXy，2y=1 PXyP2y ，当 y2 时，F Y
9、(y)=1；当 y2 时，F Y (y)=1PXy=PXy=8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 2=4 已知，所以取检验统计量 ，犯第一类错误的概率为二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 20ln2；【试题解析】 12 【正确答案】 2【试题解析】 对 f(x)进行奇延拓和周期延拓，则正弦级数的和函数 S(x)是以 6 为周期的奇函数， S(20)=S(2)=S(-2)= f(20)+f(2+0)=213 【正确答案】 【试题解析】 显然 为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为1=0， 2=2，因为 A 为实对称阵，所以 1T2=
10、k22k+1=0，解得 k=1，于是又因为E+A =0，所以 3=1 为 A 的特征值，令 3=1对应的特征向量为14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 ，得 f(0)=0，f(0)=2 作多项式 P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得 P(0)=0，P(0)=2 ，P(1)=1 ，P(2)=6， 解得A= ，B= ，C=2，D=0 令 (x)=f(x) ，则 (x)在0 ，2上连续，在(0 ，2)内可导，且 (x)=(1)=(2)=0，因此 (x)在0，1和1 ，2上都满足罗尔定理的条件，则存在 1(0，1)， 1(1，2
11、)，使得 (1)=(2)=0 又 (0)=0，由罗尔定理，存在 1(0， 1)， 2(1， 2)，使得 (1)=(2)=0，再由罗尔定理，存在 (1， 2) (0，2)，使得 ()=0，而 (x)= f(x)9，所以 f()=916 【正确答案】 由 ex+ey=ez 得17 【正确答案】 设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为，因为切线经过点(4，0)，所以 x0=1，y 0= ，切线方程为，则 2：(x4) 2=4(y2+z2)18 【正确答案】 1 及 2 围成的几何体在 yOz 平面上的投影为 Dyz：y 2+z219 【正确答案】 20 【正确答案】 特征方程 2 6=0，特征
12、值为 1=2， 2=321 【正确答案】 令 0：x 2+y2+z2=1，取外侧，由及 0 构成的几何体为 ，22 【正确答案】 由 B 为三阶非零矩阵得 r(B)1，从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的解向量，于是 ，解得 a=3b 由 AX=a3 有解得 r(A)=得，解得 b=5，从而 a=1523 【正确答案】 由 1， 2 为 BX=0 的两个线性无关解得 3r(B)2，从而 r(B)1，再由 r(B)1 得 r(B)=1， 1， 2 为 BX=0 的一个基础解系，故 BX=0 的通解为24 【正确答案】 25 【正确答案】 将 =1 代入( EA)X=0 中得(E A)X=0，由得 =1 对应的线性无关的特征向量为将 =0 代入(eA)X=0 得 AX=0，得 =0 对应的线性无关的特征向量为26 【正确答案】 令 Ak=X=k(k=1，2，)， B=Y3， P(BA 1)= P(BA 2)=0， P(BA k)= (k3) 由全概率公式得27 【正确答案】 D(Y i)=Cov(Yi：Y i)28 【正确答案】 29 【正确答案】 因为X1，X 2，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y 1+ Yn 服从正态分布，E(Y 1，Y n)=0
