[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷432及答案与解析.doc

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1、考研数学(数学一)模拟试卷 432 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 D 为有界闭区域,z=f(x,y)在 D 上二阶连续可偏导,且在区域 D 内满足:则( )(A)f(x,y)在 D 内取到最小值和最大值(B) f(x,y)在 D 内取到最小值但取不到最大值(C) f(x,y)在 D 内取到最大值但取不到最小值(D)f(x,y)在 D 内既取不到最大值又取不到最小值2 当 x0 时, 为( )3 设 则,f(x,y)在(0,0)处( )(A)连续但不可偏导(B)可偏导但不连续(C)连续、可偏导但不可微(D)可微4 设为由直线 绕 x 轴旋转产生

2、的曲面,则上点 P=(1,1,2)处的法线方程为( )5 设 A 为三阶矩阵,特征值为 1=2=1, 3=2,其对应的线性无关的特征向量为1, 2, 3,令 P1=(1 3, 2+3, 3),则 P116 设 A,B 为 n 阶方阵,令 A=(1, 2, n),B=( 1, 2, n),则下列命题正确的是( )(A)若矩阵 A,B 等价,则向量组 1, 2, n 与向量组 1, 2, n 等价(B)若 A,B 的特征值相同,则 A,B 等价(C)若 AX=0 与 BX=0 同解,则 A,B 等价(D)若 A,B 等价,则 AX=0 与 BX=0 同解7 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分

3、布,则随机变量 Y=min(X,2)的分布函数( )(A)是阶梯函数(B)恰有一个间断点(C)至少有两个间断点(D)是连续函数8 设 X1,X 2,X 16 为正态总体 XN( ,4)的简单随机样本,设H0:=0,H 1:0 的拒绝域为 ,则犯第一类错误的概率为 ( )二、填空题9 设 f(x,y)为连续函数,改变为极坐标的累次积分为_10 _11 两容器各盛盐水 20L,浓度为 15gL,现以 1Lmin 的速度向第一只容器注入清水(同时搅拌均匀) ,从第一只容器以 1Lmin 的速度将溶液注入第二只容器,搅拌均匀后第二只容器以 1Lmin 的速度排出,则经过_分钟第一只容器溶液浓度为原来的

4、一半,t 时刻第二只容器含盐量为 _12 设 f(x)在区间3,0)上的表达式为 则其正弦级数在点 x=20 处收敛于_13 设 A 为三阶实对称矩阵, 为方程组 AX=0 的解, 为方程组(2EA)X=0 的一个解,E+A=0 ,则 A=_14 设总体 XE(),且 X1,X 2,X n 为总体 X 的简单随机样本,令则 E(S12)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0,2上连续,在 (0,2)内三阶可导,且 =2,f(1)=1,f(2)=6,证明:存在 (0,2),使得 f()=916 设 u=f(x2+y2,xz),z=z(x ,y) 由 ex 十

5、 ey=ez 确定,其中 f 二阶连续可偏导,求16 椭球面 1 是椭圆 绕 x 轴旋转而成,圆锥面 2 是由过点(4,0)且与椭圆 相切的直线绕 x 轴旋转而成17 求 1 及 1 的方程;18 求位于 1 及 1 之间的立体体积18 设19 用变换 x=t2 将原方程化为 y 关于 t 的微分方程;20 求原方程的通解21 计算曲面积分 其中是曲面 2x2+2y2+z2=4 的外侧21 设 为 BX=0 的解向量,且 AX=3 有解22 求常数 a, b23 求 BX=0 的通解23 设 可对角化24 求常数 a;25 求可逆矩阵 P,使得 P1 AP 为对角矩阵26 设随机变量 X 的分

6、布律为 PX=k=p(1p) k1 (k=1,2,),Y 在 1k 之间等可能取值,求 PY 一 326 设 X1,X 2,X n(n2)相互独立且都服从 N(0,1),Yi=Xi (i=1,2,n)求27 D(Yi)(i=1, 2,n);28 Cov(Y1,Y n);29 PY1+Yn0考研数学(数学一)模拟试卷 432 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对区域 D 内任意一点(x,y), 因为AC=B2= ,所以所以 D 内任意一点都不是最值点,故 f(x,y)在 D 内既取不到最小值又取不到最大值,应选(D)2 【正

7、确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 设 M(x,y ,z) 为曲面上的任意一点,过 M 点且垂直于 z 轴的圆交直线于点 M0 (x,y 0,z 0),圆心为 T(x,0,0),由MT=M 0T得y2+z2=y22+z22 因为 所以 y0=x,z 0=2x,故曲面的方程为5x2y 2z 2=0 曲面上点 P(1,1,2)处的法向量为 n=10x,2y,2z) p=10,2,4,5 【正确答案】 A【试题解析】 A *的特征值为 2,2,1,其对应的线性无关的特征向量为1, 2, 3,6 【正确答案】 C【试题解析】 由 A,B 等价得

8、 r(A)=r(B),从而向量组, 1, 2, n 与向量组1, 2, n 的秩相等,但两向量组秩相等不一定可相互线性表示,即不一定等价,不选(A) ;若 A,B 特征值相同,r(A)与 r(B)不一定相等,从而 A,B 不一定等价, ,显然 A,B 的特征值相同,但 r(A)=1r(B)=2,故 A,B 不等价,不选(B);若方程组 AX=0 与 BX=0 同解,则 r(A)=r(B),从而 A,B 等价,反之不对,应选(C)7 【正确答案】 B【试题解析】 F Y (y)=PYy)=Pmin(X,2)y=1 Pmin(X,2)y=1 PXy,2y=1 PXyP2y ,当 y2 时,F Y

9、(y)=1;当 y2 时,F Y (y)=1PXy=PXy=8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 2=4 已知,所以取检验统计量 ,犯第一类错误的概率为二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 20ln2;【试题解析】 12 【正确答案】 2【试题解析】 对 f(x)进行奇延拓和周期延拓,则正弦级数的和函数 S(x)是以 6 为周期的奇函数, S(20)=S(2)=S(-2)= f(20)+f(2+0)=213 【正确答案】 【试题解析】 显然 为 A 的特征向量,其对应的特征值分别为1=0, 2=2,因为 A 为实对称阵,所以 1T2=

10、k22k+1=0,解得 k=1,于是又因为E+A =0,所以 3=1 为 A 的特征值,令 3=1对应的特征向量为14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 ,得 f(0)=0,f(0)=2 作多项式 P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D,使得 P(0)=0,P(0)=2 ,P(1)=1 ,P(2)=6, 解得A= ,B= ,C=2,D=0 令 (x)=f(x) ,则 (x)在0 ,2上连续,在(0 ,2)内可导,且 (x)=(1)=(2)=0,因此 (x)在0,1和1 ,2上都满足罗尔定理的条件,则存在 1(0,1), 1(1,2

11、),使得 (1)=(2)=0 又 (0)=0,由罗尔定理,存在 1(0, 1), 2(1, 2),使得 (1)=(2)=0,再由罗尔定理,存在 (1, 2) (0,2),使得 ()=0,而 (x)= f(x)9,所以 f()=916 【正确答案】 由 ex+ey=ez 得17 【正确答案】 设切点坐标为(x 0,y 0),则切线方程为,因为切线经过点(4,0),所以 x0=1,y 0= ,切线方程为,则 2:(x4) 2=4(y2+z2)18 【正确答案】 1 及 2 围成的几何体在 yOz 平面上的投影为 Dyz:y 2+z219 【正确答案】 20 【正确答案】 特征方程 2 6=0,特征

12、值为 1=2, 2=321 【正确答案】 令 0:x 2+y2+z2=1,取外侧,由及 0 构成的几何体为 ,22 【正确答案】 由 B 为三阶非零矩阵得 r(B)1,从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的解向量,于是 ,解得 a=3b 由 AX=a3 有解得 r(A)=得,解得 b=5,从而 a=1523 【正确答案】 由 1, 2 为 BX=0 的两个线性无关解得 3r(B)2,从而 r(B)1,再由 r(B)1 得 r(B)=1, 1, 2 为 BX=0 的一个基础解系,故 BX=0 的通解为24 【正确答案】 25 【正确答案】 将 =1 代入( EA)X=0 中得(E A)X=0,由得 =1 对应的线性无关的特征向量为将 =0 代入(eA)X=0 得 AX=0,得 =0 对应的线性无关的特征向量为26 【正确答案】 令 Ak=X=k(k=1,2,), B=Y3, P(BA 1)= P(BA 2)=0, P(BA k)= (k3) 由全概率公式得27 【正确答案】 D(Y i)=Cov(Yi:Y i)28 【正确答案】 29 【正确答案】 因为X1,X 2,X n 独立且都服从正态分布,所以 Y 1+ Yn 服从正态分布,E(Y 1,Y n)=0

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