1、考研数学（数学一）模拟试卷 433 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在( 一，+)内连续且严格单调增加，f(0)=0，常数 n 为正奇数并设则正确的是( )（A）F(x)在(一，0) 内严格单调增，在(0，+)内也严格单调增（B） F(x)在(一)，0) 内严格单调增，在(0，+) 内严格单调减（C） F(x)在(一，0)内严格单调减，在 (0，+)内严格单调增（D）F(x)在(一，0) 内严格单调减，在(0，+)内也严格单调减2 设 an0(n=1，2，)，下述命题正确的是( )3 设 D=(x， y)|x2+y20，l 是 D 内的
2、任意一条逐段光滑的简单封闭曲线，则下列第二型曲线积分必有( )4 5 设 A 是 33 矩阵， 1， 2， 3 是互不相同的 3 维列向量，且都不是方程组 Ax=0的解，记 B=(1， 2， 3)，且满足 r(AB)r(A) ，r(AB)r(B) 则 r(AB)等于( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 设 A，B 均是 n(n0)阶方阵，方程 Ax=0 和 BX=0g 相同的基础解系考1， 2， 3，则下列方程组中也以 1， 2， 3 为基础解系的是( )（A）(A+B)X=0（B） (AB)X=0（C） (BA)X=0（D）7 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量|X|
3、的概率密度为( )8 设总体 XN(0， 2)(2 已知)，X 1，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，S 2 为样本方差，则下列正确的是( )二、填空题9 设 f“(x0)=2，则10 设 y=y(x)是由方程 y3+xy+x2 一 2x+10 确定并且满足 y(1)=0 的函数，则11 设 l 为圆周 (a0) 一周，则空间第一型曲线积分x2ds=_12 设 S 为球面 x2+y2+z2=R2 被锥面 截下的小的那部分，并设其中A，B，R 均为正常数且 AB，则第一型曲面积分13 设 f(x)=x3 一 6x2+11x 一 5，则 f(A)=_14 设随机变量 且 X 与 Y 的相关系
4、数为 则 PX=Y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设有向曲面 S：z=x 2+y2，x0，z1，法向量与 z 轴正向夹角为锐角求第二型曲面积分16 设 z=z(z， y)具有二阶连续偏导数，试确定常数 a 与 b，使得经变换u=x+ay，=x+by，可将 z 关于 x、y 的方程 化为 z 关于 u、的方程 并求出其解 z=z(z+ay，x+by)17 设以为正常数，f(x)=xe a 一 aexx+a证明：当 x以时，f(x)018 ()证明如下所述的 型洛必达(LHospital)法则：设存在 x0 的某去心邻域 时，f(x) 与g(x)都存在，且 g(x)0
5、；()请举例说明：若条件不成立，但 仍可以存在19 求平面 P 的方程，已知 P 与曲面 z=x2+y2 相切，并且经过直线 L：20 设 A，B 是 n 阶矩阵()A 是什么矩阵时，若 AB=A，必有 B=EA 是什么矩阵时，有 BE，使得 AB=A；()设 求所有的 B，使得 AB=A21 设 A 是 n 阶正定矩阵，x 是 n 维列向量，E 是 n 阶单位矩阵，()计算 PW；()写出二次型|f=|W|的矩阵表达式，并讨论 f 的正定性22 已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)=Ae(Bx) (一x+)，且有 EX=2DX试求：( )常数 A，B 的值；()E(X 2+eX)的值；(
6、) 的分布函数FY(y)23 已知随机变量 X 的概率密度为X1，X 2，X n 为 X 的简单随机样本()求未知参数 的矩估计量和最大似然估计量；() 的矩估计是否为 的无偏估计?考研数学（数学一）模拟试卷 433 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0 时，0t x，0f(t)f(x)，0t nf(t)x nf(x)，从而 F(x)0当 x0 时，xt 0，x nt n0，f(x)f(t)0，于是 tnf(t)x nf(x)， 0xxnf(x)一 tnf(t)dt0，从而 F(x)0故选(C) 2 【正确答案】 C
7、【试题解析】 在(C) 的条件下，必有 从而推知级数发散 (A)的反例：但 发散；(B)的反例： 收敛但当 n 为奇数时， 的反例见(A)的反例3 【正确答案】 C【试题解析】 对于(A) 和(B) ，令 通过具体计算，易知(0，0)所以当 l 不包含(0 ，0)在其内部时，(B)不正确若取 l 为 x=cost，y=sint，t 从 0 到 2，则(A)中 所以(A)不正确对于(C) 和(D) ，令 通过具体计算，也有(当(x，y)(0，0) 当 l 不包含(0，0)在其内部时，(D)不正确，若取 l 为 x=cost，y=sint，不妨认为 t 从一 到 ，则 所以对于 D 内任意 l，(
8、C)正确4 【正确答案】 A【试题解析】 由上、下限知，积分区域 D=D1D2=(x，y)|0x1，0y1(x，y)|lnyx1，lye=(x，y)|0ye x，0x1，5 【正确答案】 B【试题解析】 已知 i(i=1，2，3)都不是 Ax=0 的解，即 ABO，r(AB)1又r(AB)6 【正确答案】 D【试题解析】 AX=0 和 BX=0 有相同的基础解系，是同解方程显然 1， 2， 3 也满足 又因 没有比 AN=0(或 BX=0)更多的解故 AX=0，BX=0 和 均是同解方程应选 (D)对(A)，取 B=一A，AX=0 和一 AX=0 同解但(A+B)X=OX=0 ，任何 X 均是
9、解，显然和AX=0(BX=0)不同解对(B)，(AB)X=A(BX)=0，r(AB)r(B)，(AB)X=0 可能会有更多的线性无关解故不成立(C)理由同(B)7 【正确答案】 D【试题解析】 先求 Y=|X|的分布函数再求密度函数 Y=|X|0当 y0 时，F Y(y)=PYy)= =0；当 y0 时，F Y(y)=PYy)=P|X|y=PyXy)= y yf(x)dx=y 0f(x)dx+0yf(x)dx=一 0yf(x)dx+0yf(x)dx.8 【正确答案】 C【试题解析】 由 XN(0， 2)，有 XiN(0 ， 2)， (A)不正确，因为(B)不正确，因为与 S2 独立，则二、填空
10、题9 【正确答案】 1【试题解析】 10 【正确答案】 一 3【试题解析】 题中所给方程两边对 x 求导，有 3y2y+xy+y+2x 一 2=0，得11 【正确答案】 【试题解析】 由轮换对称性知， 而 1ds为 l 的全长，l 是平面 x+y+z=a 上的圆周，点 O 到此平面的距离为 ，所以 l 的半径12 【正确答案】 【试题解析】 球面与锥面的交线在 xOy 平面上的投影曲线的方程为 (A+1)x2+(B+1)y2=R2，则相应的投影区域为 D=(x，y)|(A+1)x 2+(B+1)y2R2球面方程(上部)为13 【正确答案】 E【试题解析】 因 AA，可知存在可逆矩阵 P，使得
11、P1 AP=A，A=PAP 1 f(A)=(PAP1 )3 一 6(PAP1 )2+llPAP1 5E=P(A 3 一 6A2+11A 一 5E)P114 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 D 1=(y，z)|y 2z1)，D 2=(z，x)|x 2z1，x0。16 【正确答案】 z 与 x， y 的复合关系如图所示：代入所给方程，得 按题意，应取 14a+3a2=0，14b+3b 2=0，24(a+6)+6ab0 其中 ()为 的任意的可微函数于是 x=()d+(u)=()+(u)，其中 (u)为 u 的任意的可微函数， ()为
12、 ()的一个原函数 由于 与 的任意性，所以两组解其实是一样的17 【正确答案】 f(a)=0，f(x)=e aaex 一 1，f“(x)=一 aex0以下证明 f(a)0令(a)=f(a)=ea 一 aea 一 1，(a)| a=0=0，(a)=一 aea0，所以 (a)0(a0)，即 f(a)0(a 0)将 f(x)在 x=a 处按二阶泰勒公式展开：证毕18 【正确答案】 () 令 在区间x0，x上 F(x)与 G(x)满足柯西中值定理条件，于是有19 【正确答案】 经过直线 的平面束方程为 6y+z+1+(x一 5y 一z 一 3)=0，即 x+(65)y+(1一 )z+l一 3=0它与
13、曲面 z=x2+y2 相切，设切点为M(x0，y 0，z 0)于是该曲面在点 M 处的法向量为 n=(2x0，2y 0，一 1)从而此外，点 M(x0，y 0，z 0)还应满足z0=x02+y02，(*) 及 x0+(65)y0+(1 一 )z0+13=0(*)将(*)、(*) 、(*)联立，解得 =2，(x 0，y 0，z 0)=(1，一 2，5)，或 ，(x 0，y 0，z 0)=(4，1，17)于是得两个平面方程：2x 一 4yz 一 5=0，8x+2yz 一 17=020 【正确答案】 () 当 A 是可逆矩阵时，若 AB=A，两边左乘 A1 ，必有 B=E；当 A 不可逆时，有 BE
14、，使得 AB=A因 A 不可逆时 Ax=0 有非零解，设Ai=0(i=1，2 ，n)，合并得 A(1， 2， n)=0令( 1， 2， n)=BE 即B=(1， 2， ， n)+EE，则 A(BE)=0，得 AB=A，其中 BE0，BE21 【正确答案】 =(一 1)n|A|，A 1 x=(一 1)nxT|A|A1 x=(一 1)nxTA*x由 A 是正定矩阵知，|A|0，且 A 的特征值 i0(i=1，2，n) ，A *的特征值为 0(i=1，2，n)故 A*也是正定矩阵，故当 n=2k 时，f=(一 1)2kxTA*x=xTA*x 是正定二次型；当 n=2k+1 时，f=(一 1)2k+1， A*x=一 xTA*x 是负定二次型22 【正确答案】 23 【正确答案】 再求 的最大似然估计量似然函数为
