1、考研数学（数学一）模拟试卷 434 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题正确的是( )2 当 x0 时，下列 3 个无穷小按后一个无穷小比前一个高阶的次序排列，正确的次序是( )（A），（B） ， （C） ， ，（D），3 设 f(x)是以 T 为周期的连续函数(若下式中用到 f(x)，则设 f(x)存在) ，则以下结论中不正确的是( )（A）f(x)必以 T 为周期（B） 0xf(t)dt 必以 T 为周期（C） 0xf(t)一 f(一 t)dt 必以 T 为周期（D）4 设 D 是由曲线 y=x3 与直线 所围成的有界闭区域，则5 设 A，
2、B 均是 4 阶方阵，且 r(A)=3，A *，B *是矩阵 A，B 的伴随矩阵，则矩阵方程 A*X=B*有解的充要条件是( )（A）r(B)1（B） r(B)2（C） r(B)3（D）r(B)46 设 A，B 均是三阶非零矩阵，满足 AB=0，其中 则( )（A）a= 1 时，必有 r(A)=1（B） a1 时，必有 r(A)=2（C） a=2 时，必有 r(A)=1（D）a2 时，必有 r(A)=27 已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2)，如果 PmaxX，Y) )=a(0a1) ，则 PminX，Y)=( )（A）（B）（C） a（D）1 一 a8 设随机变量 X1，X
3、 2，X 3 相互独立，且 X1，X 2 均服从 N(0，1)，PX 3=一 1)=则Y=X1+X2X3 的密度函数 fY(y)为( )二、填空题9 10 设 n=01x(1 一 z)n1 dx，则11 微分方程 y“+2y一 3y=xex 的通解为 y=_12 设 yy(x)由方程13 14 某单位员工中有 90的人是基民(购买基金)，80的人是炒股的股民，已知在是股民的前提条件下，还是基民的人所占的比例至少是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 yOz 平面上的曲线 绕 z 轴旋转一周与平面 z=1，z=4 围成一旋转体 ，设该物体的点密度 =r2，其中 r 为该点至旋
4、转轴的距离，求该物体的质心的坐标16 设有向曲面 S：z=x 2+y2，x0，y0，z1，法向量与 z 轴正向夹角为钝角求第二型曲面积分17 讨论常数 a 的值，确定曲线 y=aex 与 y=1+x 的公共点的个数18 ( )叙述并证明费马 (Fermat)定理(即可导函数存在极值点的必要条件)；()叙述并证明极值的第一充分条件，并举例说明此充分条件并非必要条件19 设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(0)=2，且函数 满足求 z 的表达式20 设 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 3 维列向量， 10，满足 A1 一 21，A 2 一1+22，A 3 一 2+23 ()证明 1，
5、2， 3 线性无关； ()A 能否相似于对角矩阵，说明理由21 设向量组(i) 1=(2，4，一 2)T， 2=(一 1，a 一 3，1) T， 3=(2，8，b 一 1)T； (ii)1=(2，b+5，一 2)T， 2=(3，7，a 一 4)T， 3=(1， 2b+4，一 1)T 记A=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3) 问()a，b 为何值时， A 等价于 B，a，b 为何值时，A 和 B 不等价； ()a，b 为何值时，向量组(i)等价于(ii)，a，b 为何值时，向量组(i)、(ii)不等价22 设随机变量(X，Y) N(0，0；1，4；0) ()若 X+Y 与 X+aY 相
6、互独立，求 a的值，并求 Z=X+aY 的概率密度 f(z)； ( )计算 D(X2 一 2Y2)23 设随机变量 X，Y 相互独立，且 PX=0)=PX=1)= PYx)=x，0x1求Z=XY 的分布函数考研数学（数学一）模拟试卷 434 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 设 发散，从而 亦发散因若后者收敛，则 绝对收敛又由|a n|bn(n=1，2， )，故 为正项级数，且 发散，由比较判别法知， 发散，故应选(B)其他(A)，(C) ，(D)均可举出反例如下：(A)的反例：(C)的反例：(D)的反例见(C) 的反例2
7、 【正确答案】 D【试题解析】 对于 ，用带有佩亚诺余项的泰勒展开式展开最方便所以当 x0 时，综合之，从低到高排列应是 ， ， 选 (D)3 【正确答案】 B【试题解析】 (B)的反例：f(x)=sin 2x，以 为周期，但不是周期函数，(B)不正确，选(B)事实上，设 f(x)有周期 T，则 0xf(t)dt 有周期 T 的充要条件是 0Tf(t)dt=0证明如下：令 F(x)=0xf(t)dt，有 F(x+T)F(x)= 0xT f(t)dt=0Tf(t)dt，可见 F(x+T)=F(x)的充要条件是 0Tf(t)dt=O证毕以下说明(A) ，(C) ，(D)均正确由 f(x+T)=f(
8、x)及 f(x)可导，有 f(x+T)=f(x)所以 f(x)有周期 T，(A)正确(C) 中的被积函数是 t的周期函数，由以上证明， 0xf(t)f(t)dt 以 T 为周期的充要条件是 0Tf(t)f(t)dt=0而该积分中的被积函数 f(t)f(t)是 t 的奇函数，成立，所以(C)正确所以 F(x)以T 为周期， (D)正确4 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，作曲线 y=x 3，连同 x 轴与 y 轴，将 D 分成 4 块，按逆时针方向，这 4 块分别记为 D1，D 2，D 3 与 D45 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件知，r(A)=3 ，则 r(A*)=1A *X=
9、B*有解 r(A*)一 r(A*|B*)=1 r(B*)1而当 r(B*)=1 时，有可能使 r(A*|B*)=2则 r(A*)r(A*|B*) A*X=B*无解故 r(B*)=0，此时 r(B)2，有 r(A*)=r(A*|B*)=l A*X=B*有解故应选(B)6 【正确答案】 C【试题解析】 A 是非零矩阵，r(A)0AB=0，r(A)+r(B)3，故 r(B)2当 a=一 1 时，r(B)=1 r(A)=1 或 2，(A)不成立当 a一 1 时，必有 a=2，r(B)=2 r(A)=1，(B)不成立当a2 时，必有 a=一 1，r(B)=1 r(A)=1 或 2，(D) 不成立由排除法
10、，故应选(C)当 a=2 时，r(B)=2 r(A)=1，故(C)正确7 【正确答案】 C【试题解析】 8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 X1，X 2 相互独立，且均服从 N(0，1)，则 X1 一 X2，X 2+X2 均服从 N(0，2)，故 FY(y)=PX3=一 1PX1+X2X3Y|X3=一 1)+PX3=1PX1+X2X3Y|X3=1=PX3=一 1)PX1X2y)+PX31PX1+X2y二、填空题9 【正确答案】 e 2【试题解析】 10 【正确答案】 1 一 21n2【试题解析】 11 【正确答案】 C 1ex+C2e3x + ，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】
11、对应齐次方程的特征根为 r1=1，r 2=一 3，故对应齐次方程的通解为Y=C1ex+C2e 3x设原非齐次方程的一个特解为 y*=x(Ax+B)ex=(Ax2+Bx)ex，用待定系数法可求得 ，故通解如答案所示12 【正确答案】 一 2【试题解析】 将 x=0 代入 有 y=1再将所给方程两边对 x 求导，得13 【正确答案】 2【试题解析】 将 Dn 按第一行 (或列)展开，得14 【正确答案】 0875【试题解析】 设事件 A、B 分别表示员工是基民、股民，依题意有 P(A)=0 9， P(B)=08P(AB)=P(A)+P(B) 一 P(AUB)P(A)+P(B)一 1=07。因此三、
12、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由于 及点密度关于旋转轴(z 轴)对称，所以质心在 z 轴上，质心坐标为 其中16 【正确答案】 投影法：S 在 yOz 平面上的有向投影为 D1=(y，z)|y 2z1，y0)，法向量向前；S 在 xOy 平面上的有向投影为 D2=(x，y)|0x 2+y21，x0，y0)，法向量向下17 【正确答案】 若 a=0，则 y=aex 成为 y=0，它与 y=1+x 有且仅有 1 个交点x0=1 ，y 0=0以下设 a0令 f(x)=aex1x，f(x)=ae x 一 1若 a0，则 f(x)0f()0，f(+) 0，存在唯一公共
13、点若 0a1，则由 f(x)=0 得唯一驻点 x0= f() 0， f(+)0，又 f“(x)=aex0所以有且仅有 2个公共点若 a1，则由 f(x)=0 得唯一驻点 x0= f(x0)=lna0，f“(x)=aex0，最小值 f(x0)=lna0，所以无公共点若 a=1，有 f(0)=0，f(0)=0，f“(x)=ex0，所以最小值 f(0)=0，存在唯一公共点18 【正确答案】 () 费马定理：设 f(x)在 x=x0 处可导，并且 f(x0)为 f(x)的极值，则必有 f(x0)=0证明：由于设 f(x)在 x=x0 处可导，故存在 x=x0 的某邻域 U(x0)，f(x)在 U(x0
14、)内有定义，由于又设 f(x0)为 f(x)的极值(不妨认为 f(x0)为 f(x)的极大值)，故知又存在 x=x0 的一个去心邻域令 xx 0 取极限，有因 f(x)在 x=x0 处可导，即所以 f(x0)=f+(x0)，即 f(x0)=0()证毕()第一充分条件：设 f(x)在点 zo 处连续，在 U(x0)内可导(1)若在 x0 的左侧邻域内 f(x)0，右侧邻域内 f(x)0，则 f(x0)为极大值(2)若在 x0 的左侧邻域内 f(x)0，右侧邻域内 f(x)0，则 f(x0)为极小值证明：只证(1)情形，(2)情形是类似的设且 xx 0，由拉格朗日中值定理，f(x)f(x 0)=f
15、(1)(xx0)0，x 1x 0，若 且 xx 0，则有 f(x)f(x 0)=f(2)(xx0)0，x 2x 0所以当时，有 f(x)f(x 0)0，从而知 f(x0)为 f(x)的一个极大值举例说明定理的条件是充分而非必要的例：取 易见，存在 x=0 的去心邻域 时，f(x)f(0)，故 x=0 是 f(x)的极小值点，但当 x0 时无论取 多么小，当 x0 时，f(x)的第一项趋于 0，而第二项 在一 1 与 1 之间振荡，所以 f(x)并不保持确定的符号，不满足充分条件，f(0)仍可以是极值19 【正确答案】 20 【正确答案】 () 由题设条件，得(A2E) 1=0，(A2E) 2=
16、1，(A 2E)3=2对任意常数 k1，k 2，k 3，令 k11+k22+k33=0式两边左乘 A2E，得 k21+k32=0；式两边左乘 A 一 2E，得 k31=0因 10，故 k3=0，代回式，得 k2=0，代回 式得 k1=0故 k11+k22+k33=0 k1=k2=k3=0，得证1， 2， 3 线性无关()由()知(A2E)( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) 故A(1， 2， 3)=(1， 2， 3) 因1， 2， 3 线性无关，故 C=(1， 2， 3)是可逆矩阵，则 C1 AC=B，即 AB 又B 有 1=2=3=2，是三重特征值，但 由相似关系的传递性知，A A，即
17、A 不能相似于对角矩阵21 【正确答案】 将 A，B 合并，一起作初等行变换， (A|B)=(1， 2， 3|1， 2， 3)= 当 a1 且 b一 1 时，r(A)=r(B)=3， a=1 或 b=一 1 时，r(A)=r(B)=2 ， () 向量组可以相互表出 (1， 2， 3)X=i，( 1， 2， 3)Y=i，i=1，2，3 均有解 r(i)=r(i|i)，r(ii)=r(ii|i)， i=1，2，3 r(i)=r(ii)=r(i|ii)由()知，a1，b1 时，r(i)=r(ii)=r(i|ii)=3， ；a=1，b=一 1 时，r(i)=r(ii)=r(i|ii)=2 ， a=1，
18、b一 1 时，r(i)=r(ii)=2r(i|ii)=3，( 1， 2， 3)Y=3 无解，(i)，(ii)不等价；a1，b=一 1 时，r(i)=r(ii)=2r(i|ii)=3，( 1， 2， 3)x=3 无解，(i)，(ii) 不等价22 【正确答案】 () 因为 X+Y 与 X+aY 独立，所以 X+Y 与 X+aY 不相关又对二维正态分布 XY=0 X 与 Y 独立，所以 Cov(X+Y，X+aY)=Coy(X ，X)+Coy(X，ay)+Cov(Y，X)+aCov(Y，Y)=DX+aDY=1+a.4=0 由(X， Y)N(0，0；1，4；0)，有 XN(0，1)，YN(0 ，4)，且 X 与 Y 独立()由 X 与Y 独立，有 X2 与 Y2 独立，所以 D(X22Y 2)=D(X2)+4D(Y2)所以 D(X2一 2Y2)=23 【正确答案】 F Z(z)=P(Zz，当 z0 时，F Z(z)=0；当 z1 时，F Z(z)=1；当0z1 时，
