1、考研数学（数学一）模拟试卷 438 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 三个非零向量 a，b 与 c，则 ab+bc+ca=0 是 a、b、c 共面的( )（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件2 （A）2（B） 4（C） 6（D）83 设 f(x)=x4sin +XCOSx(x0)，且当 x=0 时，f(x)连续，则( )（A）f“(0)=0，f“(x)在 z 一 0 处不连续（B） f“(0)=0，f“(x)在 z 一 0 处连续（C） f“(0)=1，f“(x)在 z 一 0 处不连续（D）f“(0)
2、=1，f“(x)在 z 一 0 处连续4 空间 n 个点 Pi(xi，y i，z i)，i=1 ，2，n，n4 矩阵 的秩记为 r，则 n 个点共面的充分必要条件是( )（A）r=1（B） r=2（C） r=3（D）1r35 二次型 f(x1，x 2，x 3)一 4x12+4x22+4x32 一 4x1x2+4x1x38x2x3 的规范形是( )（A）z 12+z22+z32（B） z12 一 z22z32（C） z12 一 z22（D）z 126 （A）AB，CD（B） AD，BC（C） AC ， BD（D）A，B，C，D 中没有相似矩阵7 设随机变量 XN(0，1)，Y=maxX ，0)，
3、则( )（A）Y 为离散型随机变量（B） Y 为连续型随机变量（C） X 与 Y 相互独立（D）Cov(X，Y)=8 设随机变量 且PX=1，Y=1)=P(X=1，Y=一 1)，则 X 与 Y( )（A）必不相关（B）必独立（C）必不独立（D）必相关二、填空题9 设 f(x)=cos2015x， (ancosnx+bnsinnx)是 f(x)的以 2 为周期的傅里叶级数，则 a100=_10 微分方程 满足初始条件 y|x=2=1 的特解是_11 12 二元函数 f(x，y)=x y 在点(e，0)处的二阶(即 n=2)泰勒展开式( 不要求写余项)为_13 设 A，B；是 3 阶矩阵，满足 A
4、B=A 一 B，其中 则|A+E|=_14 若 X1，X 2，X 10 为取自 N(2，3)的简单随机样本，则 k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 l 为从点 A(-，0) 沿曲线 y=sin x 至点 B(，0)的有向弧段，求 I= l(e-x2sin x+3y-cos y)dx+(xsin y-y4)dy16 设 f(x，y)在平面区域 D=(x，y)|x 2+y21上有二阶连续偏导数，且l 为 D 的边界正向一周17 设 ()讨论函数 f(x)的定义域，奇偶性，单调性，极值；() 讨论曲线 y=f(x)的凹凸性，拐点，渐近线，并根据以上()()的讨论结果，画
5、出曲线 y=f(x)的大致图形18 ()设常数 k0， 证明：F(x) 存在唯一的零点，记为 xk；() 证明：级数 收敛，且其和小于 219 求微分方程 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解20 设 ，X 是 2 阶方阵()求满足 Ax 一 XA=0 的所有 X；()方程Ax 一 XA=E，其中 E 是 2 阶单位矩阵，问方程是否有解若有解，求满足方程的所有 X，若无解，说明理由21 设二次型 F(x1，x 2，x 3)=xTAx=(x1，x 2，x 3) ()用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；()求该二次型；()f(x1，x 2，x 3)=1 表示什么曲面?22 设
6、 A，B 是二随机事件，随机变量 证明：随机变量 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 相互独立23 设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从参数为 的指数分布，其中 0 未知从这批器件中任取 n 只在时刻 t=0 时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间T0 结束，此时有 k(0k n)只器件失效 ( )求一只器件在时间 T0 未失效的概率；()求 的最大似然估计值考研数学（数学一）模拟试卷 438 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 设 ab+bc+ca=0，即 ab=一 bcca，于是(ab).c=一(bc).
7、c一(ca).c，混合积中有两向量相同，则该混合积为零，所以(ab).c=0于是a，b，c 共面反之，设 a、b 、c 共面，例如取 a=i，b=j，c=i+j，显然它们共面，而ab+bc+ca=ca=ij+j(i+j)+(i+j)i=k 一 k 一 k=一 k0所以条件不必要2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 先举例说明为什么不选(A)、(B)、(C)例子如下：取点 P1(1，1，1)，P2(2，2，2)，P 3(3，3，3)，P 4(4，4，4)此 4 点在一条直线上，显然共面矩阵的秩为 2，所以不选(A)、(C) 又如 P
8、1(1，0，0)，P 2(0，0，0)，P3(0，0，1)，P 4 共面(共面方程 x+y+z=1)，矩阵 的秩为 3，不选(A)、(B)以下证明 (D)是正确的证明如下：设这 n 个点共面，则其中任取4 个点，例如 P1，P 2，P 3 与 P4 也必共面于是其中最后一个行列式为零来自于三点式平面方程所以 lr3反之，设 1r3，则 A 中任取一个 4 阶矩阵，其对应的行列式必为零，因此任意 4 点必共面，所以这 n 个点必共面证毕5 【正确答案】 D【试题解析】 用配方法化规范形 f(x 1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x32 一 4x1x2+4x1x38x2x3 =(x12x
9、2+2x3)2， f 的正惯性指数为 1，负惯性指数为 0，故选(D)6 【正确答案】 B【试题解析】 观察矩阵 A，B，C，D 知，有 r(A)=r(B)=r(C)=r(D)=1，故A，B，C，D 均有特征值 =0，且因 r(0E 一 A)=r(OEB)=r(0EC)一 r(0E 一 D)=1，均对应有两个线性无关特征向量(=0 至少是二重特征值 )，另一个特征值为由于 A，B ，C，D 均可相似对角化，且 A 的特征值与 D 的特征值相同，B 的特征值与 C 的特征值相同，故7 【正确答案】 D【试题解析】 当 y0 时，F Y(y)=0；当 y0 时， FY(y)=PYy)=PYy，X0
10、+PYy，X 0=p0Xy+PX 0)一 (y)(0)+(0)=(y)，故 在 y=0 处不连续且不是阶梯形，所以既不是离散型又不是连续型故 X 与 Y 不独立，选(D)8 【正确答案】 A【试题解析】 设 PX=1，Y=1=P(X=1，Y=一 1=p，则得联合分布EY=0，E(XY)=0， Cov(X，Y)=E(XY)一 EXEY=0，X 与 Y 不相关选(A)注意 时 X 与Y 独立，(C) 不成立二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 所以a100=010 【正确答案】 x=y 2+y【试题解析】 将 x 看成未知函数，写成 此为 x 对 y 的一阶线性方程，又因 y|x=2=1 0
11、，由公式得将 x=2，y=1 代入，得 C=1故得解 x=y2+y11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 f(e，0)=1， fx(x，y)=yx y1 ，f x(e，0)=0，f y(x，y)=x ylnx，f y(e，0)=1， fxx“(x，y)=y(y 一 1)xy2 ，f xx“(e，0)=0，f xy“(x，y)=x 1 +yxy1 lnx，f xy“(e，0)=e1 ，f yy“(x，y)=x y(1nx)2，f yy“(e，0)=1代入 n=2，在点(e，0)处展开的泰勒公式为 略去 R3，得如上所填13 【正确答案】 【试题解析】 由题设，AB=A
12、B，(A+E)B A+EE，(A+E)(EB)=E，则14 【正确答案】 【试题解析】 均独立，所以三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 添加有向直线段 y=0，自点 B(，0)至点 A(一 ，0)，其中自点 B至点 O(0，0)的有向直线段记为 l1，点 O(0，0) 至点 A 的有向直线段记为 l2，曲线y=sinx(一 x)与 l1 和 l2 构成 8 字形分别围成的两个有界闭区域，记为 D1 与D2D 1 的边界走向为负向，D 2 的边界走向为正向由格林公式，可得16 【正确答案】 () 由格林公式，P(x，y)=(x 2+y2)fy，Q(x ，y)=
13、一(x 2+y2)fx，()由()并利用条件 对于上面右边第 1 式，由于在 l 上，x 2+y2=1，于是17 【正确答案】 () 因为二次式 x2x+1 的判别式=(1) 24=30，所以x2x+10， f(x)的定义域为 (一，+)又 f(x)=f(x) ，所以 f(c)为奇函数所以当一x0 时，曲线 y=f(x)的图形是凸的，当 0x+时曲线的图形是凹的点(0 ，f(0) 为拐点易知无铅直渐近线，考虑水平渐近线：所以沿 x+方向有水平渐近线 y=一1由于 f(x)为奇函数，所以沿 x方向有一条水平渐近线 y=1其图形如图所示：18 【正确答案】 故至少存在一个零点又 故至多存在一个零点
14、，所以 F(x)有且仅有一个零点，记为19 【正确答案】 此为 原方程化为当 x=0 时，y=1，y=1 代入得 1=1(1+C1)，所以 C1=0于是得 p2=y4，p=y 2(因 y=1 时 y=1，取正号)，故再分离变量，积分得 =x+C2，将 x=0 时 y=1 代入得 C2=一 1，从而得特解20 【正确答案】 () 用待定元素法求 X设 代入方程，则各元素为零，得齐次线性方程组对系数矩阵 B 作初等行变换得基础解系 1=(2，2，1，0)T， 2=(1，0，0，1) T，通解为 =k11+k22= ，其中 k1，k 2 是任意常数则 ，其中 k1，k 2 是任意常数得线性非齐次方程
15、 显然，方程组中第 1 个和第 4 个方程是矛盾的，故 AxxA=E 无解21 【正确答案】 () 由题设条件 故 B 的 3 个列向量都是 Ax=0 的解向量，也是 A 的对应 =0 的特征向量，其中 线性无关且正交，=1+2，故 =0 至少是二重特征值又因 另一个特征值是3=2，故 1=2=0 是二重特征值因 A 是实对称矩阵，故对应 3=2 的特征向量应与 1， 2 正交，设 3=(x1，x 2，x 3)T，则有 故存在正交变换 x=Qy，其中 ()先求二次型对应矩阵，因故所求二次型为 f(x1，x 2， x3)= (x12+x22+4x32+2x1x24x 1x34x 2x3)= (x
16、1+x22x 3)2()由()得二次型 f(x1，x 2，x 3)= (x12+x22+4x32+2x1x24x 1x34x 2x3)= (x1+x22x 3)2，若 f(x1，x 2， x3)=1，得 x1+x22x 3= 表示两个平行平面22 【正确答案】 PX=1=P(A) ，PX=2= =1 一 P(A)，PY=1=P(B) ，PY=2=1 一 P(B)，由数学期望的定义，有23 【正确答案】 () 记 T 的分布函数为 F(t)， 一只器件在t=0 时投入试验，则在时间 T0 以前失效的概率为 PTT0=F(T0)=1e T0 ，在时间T1 未失效的概率为 PTT 1 =1 一 F(T1 )=eT0 ()考虑事件 A=试验直至时间 T0 为止，有 K 只器件失效，而有 NK 只未失效的概率由于各只器件的试验是相互独立的，因此事件 A 的概率为 L()=Cn k(1e T0 )k(eT0 )nk ，这就是所求的似然函数取对数得 lnL()一 1nCnk+kln(1 一 eT0 )+(nk)(一 T0)令解得 A 的最大似然估计值为
