1、考研数学（数学一）模拟试卷 441 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y 的拐点的个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设 f() ：F() 0f(t)dt，则 F()在0，2上（A）有界，不可积（B）可积，有间断点（C）连续，有不可导点（D）可导3 下列三个命题 设 的收敛域为(R，R) ，则， 的收敛域为(R，R)； 设幂级数 在 1 条件收敛，则它的收敛半径 R1。 设幂级数 的收敛半径分别为 R1，R 2，则 (anb n)n 的收敛半径 Rmin(R 1，R 2)中正确的个数是（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3
2、个4 若 f(1，0)为函数 f(，y)e (aby 2)的极大值，则常数 a，b 应满足的条件是（A）a0 ，ba 1（B） a0，b2a （C） a0，ba 1（D）a0， b2a 5 设 1， 2， 3， 4 是齐次方程组 A0 的基础解系，则下列向量组中也是 A0的基础解系的是（A） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1（B） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1（C） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1（D） 1， 2， 3， 4 等价的向量组6 下列矩阵中不相似于对角矩阵的是（A）（B）（C）（D）7 商店出售 10 台洗衣机，其中恰有 3 台次品现已售出一台洗衣机，在余下的洗衣
3、机中任取两台发现均为正品，则原先售出的一台是次品的概率为（A）（B）（C）（D）8 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其样本均值和方差分别为 ，S 2，则服从自由度为 n 的 2 分布的随机变量是（A）（B）（C）（D）二、填空题9 设 uu(，y)，)满足 2u( ，y) ，则 u(， y)_10 曲线 y 2( 1)的全部渐近线方程是_11 函数 u 在点 M0(1，1，1)处沿曲面 2z 2y 2 在点 M0 处外法线方向 n 的方向导数 _12 已知 y1*()e e 2 ，y 2*()e e 2 ，y 3*()e e 2 e 2 是某二阶线性常系数
4、微分方程 ypyqyf()的三个解，则这个方程是_13 已知 A ，则 A0、的解空间的一个规范正交基是_14 在以原点为圆心的单位圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，则任意画的弦其长度大于 1 的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：te -t，y2t e -2t(t0) () 证明该参数方程确定连续函数 yy()，1，) () 证明 yy()在1，)单调上升且是凸的 () 求 yy()的渐近线16 设 1ab，函数 f()ln 2，求证 f()满足不等式 ()0f()2(1) ()f(a)
5、f(b) 2f (ba) 217 设 zz(，y)有二阶连续的偏导数且满足 ()作自变量与因变量变换 u y ，v y，wyz， 变换 z 的方程为 w 关于 u，v 的偏导数满足的方程； ()求 zz( ，y)18 设正项级数 是它的部分和 ()证明 收敛并求和； () 证明级数 绝对收敛19 设 f(，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分 Lf(，y)dcosydy 在全平面与路径无关，且 f(，y)dcosydyt 2，求 f(，y) 20 设在一个空间直角坐标系中，有 3 张平面的方程： P 1：2y3z3；P 2：2一 2y2az0；P 3： ayzb 已知它们两两相交于 3 条互相平
6、行的不同直线，求 a，b 应该满足的条件21 已知 判断 A 与 B 是否相似?要说明理由22 设随机变量(X，Y) 服从区域 D 上的均匀分布，D(，y)02，0y2，令 U(XY) 2，试求 EU 与 DU23 进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是P(0P1) 现进行 10 批试验，其各批试验次数分别为5，4，8，3，4，7，3，1，2，3求：() 试验成功率 P 的矩估计值； ()试验失败率 q 的最大似然估计值考研数学（数学一）模拟试卷 441 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 先求出
7、y与 y由y 在(，) 连续，且在 两侧 y变号，0 两侧，y也变号 (0，0)，( ，0)，( ，0)均为 y 的拐点，再无其他拐点 因此，选 D2 【正确答案】 C【试题解析】 先求出分段函数 f()的变限积分当 01 时， F() 0f(t)dt 0costdtsin ； 当 12 时， F() 01f(t)dt 0f(t)dt 01costdt 1(t1)dt 即易验证 F()在0，2上连续(关键是考察sin 1 (1) 2 1 ) 当 1 时显然 F()可导，且F()在点 1 处不可导故应选 C3 【正确答案】 B【试题解析】 关于命题：对幂级数 ann,逐项积分保持收敛区间不变，但
8、收敛域可能起变化如 n 的收敛域为(1，1) ，但 的收敛域是1， 1) 关于命题 ：若熟悉幂级数的收敛性特点立即可知该命题正确 记该幂级数的收敛半径为 R若 R1，由于 ，R ， ann 绝对收敛an(1) n 绝对收敛，与已知矛盾若 R1，由 ，R ， ann 发散an(1) n 发散，也与已知矛盾因此，R1 关于命题：当 R1R2 时，Rmin(R 1，R 2)，于是要考察 R1R 2 的情形 设有级数，易求得它们的收敛半径均为 R1R 21但的收敛半径为 R2因此命题不正确 综上所述，应选 B4 【正确答案】 B【试题解析】 应用二元函数取极值的必要条件得所以b2a由于 Af ( 1，
9、0) e (aby2a) (1，0) e(3ab)， Bfy(1，0) 2ye (1，0) 0，Cf yy(1，0)2e (1，0) 2e， ACB 22e 2(3ab) ， 再由二元函数取极值的必要条件0 得 3ab0于是常数 a，b 应满足的条件为 a0，b 2a故应选 B5 【正确答案】 A【试题解析】 首先可排除 D，因为与 1， 2， 3， 4 等价的向量组不必线性无关，包含向量个数也不必为 4 另外 3 项都给出了 A0 的 4 个解，是否构成基础解系只用看它们是否线性无关，即看秩是否为 4 选项 A，向量组1 2， 2 3， 3 4， 4 1 对 1， 2， 3， 4 的表示矩阵
10、为其行列式的值为 2，因此是可逆矩阵于是1 2， 2 3， 3 4， 4 1 的秩为 4 选项 B，向量组1 2， 2 3， 3 4， 4 1，对 1， 2， 3， 4 的表示矩阵为其行列式的值为 0，因此是不可逆矩阵 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 的秩4 选项 C，向量组1 2， 2 3， 3 4， 4 1 对 1， 2， 3， 4 的表示矩阵为其行列式的值为 0，因此也是不可逆矩阵 1 2， 2 3， 3 4， 4 1 的秩46 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C 矩阵的 3 个特征值都为 1，因此如果一个对角矩阵与它相似，则必须是单位矩阵 E，但是对每个可逆矩阵 P，P -1
11、EPE，即 E 只和自己相似，因此 C 项矩阵不相似于对角矩阵7 【正确答案】 B【试题解析】 设 A 表示“第一次取出是次品”，B 表示“在余下的洗衣机中任取两台为正品”，则由全概率公式，有由贝叶斯公式，可得 故应选 B8 【正确答案】 D【试题解析】 因 XN(， 2)，所以 X 2(n1)，又因 与 S2 独立，根据 2 分布的可加性，只需 4 个选项中的第 1 个加项服从 2(1)分布即可依题意，有 应选 D二、填空题9 【正确答案】 ，c(y)为 y 的任意函数【试题解析】 偏导数实质上是一元函数函数的导数当 y 任意给定时 2u(，y) 就是一阶线性常微分方程 对 积分得10 【正
12、确答案】 0，y 【试题解析】 只有间断点0， ，于是有垂直渐近线011 【正确答案】 【试题解析】 2 M0 在曲面 2z 2y 2 上，曲面方程改写为 F(，y，z)0，F(，y，z) 2y 22z，M 0 处曲面外法向 n 的方向余弦(cos，cos，cos)(1，1，1) 3 代公式得12 【正确答案】 y4y4y(2)e 【试题解析】 () 由线性方程解的叠加原理 y1()，y 3*()y 2*()e 2 ，y 2()y 3*()y 1*()e 2 均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的于是该齐次方程的特征根是重特征根 2， 相应的特征方程为 (2) 20，即2440， 原方程为
13、y4y4yf() (*) 又由叠加原理知，y *()e 叫是它的特解，求导得 y *()e (1)，y * ()e (2) 代入方程(*)得 e ( 2)4e (1)4e f() ()(2)e 所求方程为 y4y4y(2)e 13 【正确答案】 (1，5，3，0) T， (3，0，1，5) T【试题解析】 先求出 A0 的一个基础解系，它就是解空间的一个基然后对它进行施密特正交化即可得 A0 的一个同解方程组： 求得一个基础解系，1 (1，5，3，0) T， 2(2，1，0，3) T 正交化：令2 2 1(2，1，0，3) T (1，5， 3，0) T (3，0，1，5) T， 单位化：作 1
14、 11 (1，5，3，0) T， 2 2 2 (3，0，1，5)T，则 1， 2 是 A0 的一个单位正交基础解系，也就是 A0 的解空间的一个规范正交基14 【正确答案】 【试题解析】 如图弦 AB 与 轴垂直，设其交点为 ，依题意该交点在横轴 上的位置是等可能的这是一个几何型概率问题设事件 C 表示“弦 AB 的长度AB大于 1”，依题意 C 的样本点集合为 C：AB 2 1： ，样本空间 ：1，C 与 的长度分别为 (C)，()2，则根据几何概率定义可得 P(C)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 因为 t1e -t0(t0)， t(0)0 te
15、-t 在0，)单调上升，值域为1，) te -t 在0，)存在反函数，记为 tt()，它在1， )连续(单调连续函数的反函数连续)再由连续的复合函数的连续性y2t()e -2t() y()在1，)连续 ()由参数式求导法于是 yy()在1， )单调上升又因此 yy()在1， )是凸的又因 yy()在1， )连续，所以 yy() 只有渐近线 y2 16 【正确答案】 () 求出()引进辅助函数利用单调性证明不等式将 b 改为 考察辅助函数其中 1ab 由其中 1a 又当 1a 时 f()2，于是当 1a 时 G()0 即 G()在a，) ，从而 G()G(a)0(a) ，特别有 G(b)0，即1
16、7 【正确答案】 ()zyw，由复合函数微分法则，得()解方程(*)，对 u 积分得 (v)再对 u 积分 u u2(v)u(v) 其中(v)，(v) 是任意的有二阶连续导数的函数则 zy (y) 2( y)(y)(y)18 【正确答案】 () 级数 的部分和 Tn 易求出()考察级数 由 Sn 与 an 的关系： Sna 1a 2 a n-1a n，a nS nS n-1， 将一般项 改写成只与 Sn 有关，即因正项级数的部分和数列 Sn 单调上升，上式可放大成由题() 收敛，再由比较原理知， 收敛因此，原级数绝对收敛19 【正确答案】 () Lf(，y)dcosydy 在全平面与路径无关积
17、分得 f(，y)sinyC() ( )求 f(，y)转化为求 C() f(，y)dcosydysinydcosydyC()d sinyddsinyd 0C(s)dsdsiny 0C(s)ds即 tsint2 0tC(s)dst 2 sint22t 2cost2C(t)2t 因此 f(，y)siny2sin 22 2cos220 【正确答案】 记 1(1，2，3)， 2(2，2，2a)， 3(1，a ，1) 建立线性方程组()： 先把几何条件转化为代数条件： 这 3 张平面两两相交，说明它们互相不平行，于是 1， 2， 3 两两线性无关 它们两两相交于 3 条互相平行的不同直线，说明方程组()无
18、解，从而增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩 写出() 的增广矩阵，并用初等行变换把它化为阶梯形矩阵：则由知，a 2a0，1ab0 由于 a1 时 1， 2 线性相关，于是 a0，b121 【正确答案】 EA (1)( 223)(1)2(3) A 的特征值为1，1，3 EB (3)(221)(3)( 1) 2 B 的特征值也是1，1，3 再看它们是否相似于对角矩阵只用看对于 2 重特征值1 有没有两个线性无关的特征向量，也就是看r(AE)和 r(BE)是否为 1 r(AE) 1，因此 A 有属于特征值1 的两个线性无关的特征向量，A 相似于对角矩阵r(BE)2，因此 B 没有两个属于特征值1 的线性无关的特征向量，B 不相似于对角矩阵 由相似关系的传递性，A 与 B 不相似22 【正确答案】 令 VXY，先求 V 的分布函数 F(v)与密度函数 f(v)23 【正确答案】 ()试验成功率 p 的矩估计量 ，相应矩估计值为 ()最大似然函数 L(1， 10；p)，简记为 L，则于是试验成功率 p 的最大似然估计值 ，根据最大似然估计的不变性，其试验失败率q 的最大似然估计值为
