1、考研数学（数学一）模拟试卷 447 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 =( )（A）（B）（C） 1（D）一 12 设 f(x，y)=x 2(y2)arcsin ，则 fx(2，2)=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 直线 L1： ( )（A）异面（B）相交一点（C）平行但不重合（D）重合4 若视为曲面 x2+y2+z2=a2(y0，z0)的上侧，则当 f(x，y，z)为下述选项中的函数( )，曲线积分 f(x，y， z)dydz=0（A）e xsinz（B） x3y2（C） xycos(1+z2)（D）x 4y45 已知向量组 1，
2、 2， 3， 4 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（A） 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4+1（B） 1+2， 123， 1+2 一 3，5 2+3（C） 1+2+3， 1 一 2+3， 1+32+93（D） 1+3， 2+23+4， 1+23+4， 2+33+246 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（A）A，B 的秩相等（B） A，B 的全部特征值相同（C） A，B 的行列式相等（D）A，B 的二次型具有相同的标准形7 设 A，B 为随机事件满足条件1P(A)0， 1P(B)0， 且 P(AB)=0，则成立( ) （A）（B）
3、P( )P( )（C） P( )=0（D）P( )=18 设有随机变量 X，已知 E(X)=，D(X)= 2，则对常数 C(C)必有( )（A）E(X C)2=E(X2)一 C2（B） E(XC)2=E(X)2（C） E(XC)2E(X )2（D）E(X C)2E(X )2二、填空题9 向量 v=xi+yi+zk 穿过封闭圆锥曲面 z2=x2+y2，0zh 的流量等于_10 设 L 为椭圆 =1，其周长为 ，则 (2xy+3x2+5y2)ds=_11 曲线 ： 在点 P( ，2)处的切线方程是_12 设 S 为圆锥面 z= 被曲面 x2+y2=2ax(a0)所截下部分，则曲面积分I= (xy+
4、yz+zx)dS=_13 已知 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，则( A*A2)1 =_14 设 X1，X 2，X n 是取标准正态总体的简单随机样本，已知统计量 Y=服从 t 分布，则常数 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求16 设 f(0)=g(0)，f(0)=g(0)，f(x)g(x)( 当 x0 时)，证明当 x0 时，f(x)g(x)17 设 f(x，y)= 证明 f(x，y)在点(0，0)处不可微18 设幂级数 anxn，当 n1 时，a n2 =n(n1)a n，且 a0=4，a 1=1(1)求级数anxn 的和函数 S(x)；(2)求 S(x)的极
5、值19 求 x2y一 xy+y=x+ 的通解20 设 n 阶方阵 A 的每行元素之和为 a，A0，则 (1)a0； (2)A 1 的每行元素之和为 a1 21 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= ，且矩阵 A，B 满足( A)1 *BA1 =2AB+12E求矩阵 B22 有甲、乙两袋，甲袋中装有两个白球和四个黑球乙袋装有五个白球和三个黑球今从甲袋随机地取出两个球放入乙袋，然后从乙袋中取出一球问取出的为白球的概率为多少?23 设二维随机变量(X，Y)服从区域一 1x1，0y2 上的均匀分布，求二次曲面+2x1x2+2Xx1x3=1 为椭球面的概率考研数学（数学一）模拟试卷 447 答案与解析一、选择
6、题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 仅(A) 入选 =2tsint 2， = 2t2sint2+cost2 cost2.2t=2t 2sint2，故=2t 2sint2(2tsint 2)=t又则注意 求参数方程 x=x(t)，y=y(t)二阶导数的公式是：不要将二阶导数求错!常出现的错误的做法是其原因是忘记了 t 是中间变量，x 才是自变量2 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(x，2)=x 2，故 fx(2，2)=(x 2) x=2=4仅(D) 入选3 【正确答案】 B【试题解析】 首先求出它们的方向向量 n1 与 n2，再看它们是否有
7、交点易求得L1 与 L2 的方向向量，由知，它们的方向向量分别为 n1=(2，一 1，1)， n 2=(2，一 1，3)因它们不成比例，故它们不平行，排除(C)和(D)为考察 L1 与 L2 是否有交点，只需考察由方程组与方程组 组成的联立方程组是否有公共解，为此解方程组 由于故其交点为x=0，y=32 ，z=1 2排除(A)，仅(B)入选4 【正确答案】 D【试题解析】 因积分曲面关于坐标平面 yOz 对称，而 f(x，y，z)=x 4y4 关于 x 为偶函数，则 f(x，y，z)dydz= x4y4dydz=0仅(D)入选5 【正确答案】 C【试题解析】 因为( 1+2)一( 2 一 3)
8、一( 3 一 4)一( 4+1)=0，所以向量组(A)线性相关若令 1=1+2， 2=123， 3=1+23， i=52+3则 1， 2， 3， 4可由 1， 2， 3 线性表示，即多数向量可由少数向量线性表示，因此1， 2， 3， 4 线性相关，即向量组(B)线性相关关于(C)，由 1， 2， 3， 4 线性无关知， 1， 2， 3 线性无关若令 1=1+2+3， 2=1 2+3， 3=1+32+93，则 1， 2， 3=1， 2， 3 因为 是范德蒙行列式，不为 0，所以 r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3)=3，即向量组(C)线性无关，故仅(C)入选因 1+3， 2+23+4， 1
9、+23+4， 2+33+24=1， 2， 3， 4而右边行列式等于 0，故(D)中向量组线性相关6 【正确答案】 D【试题解析】 因实对称矩阵 A 与 B 合同的充要条件是正负惯性指数相等，表现在 A，B 的二次型的标准形相同，因而仅(D)入选 7 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 P(AB)=0 得到 P(A )=0利用此条件得到 P(A )=P(A)=0P( )=1，P( =1一 0=1仅(D)入选8 【正确答案】 D【试题解析】 因 E(XC) 2 一 E(X) 2=E(XC) 2 一(X 一 )2=E(C2 一 2XC+2X一 2) =C22C+22 一 2=(C 一 2)=E(C
10、) 20 ，故 E(XC)2E(X ) 2仅(D)入选二、填空题9 【正确答案】 h 3【试题解析】 所求流量为h3=h310 【正确答案】 15【试题解析】 由 L 为椭圆方程得到 3x2+5y2=15，代入被积函数得到(2xy+3x2+5y2)ds= (2xy+15)ds 又因 L 关于 x 轴与 y 轴对称，而 2xy 关于 y 为奇函数，故 2xyds=0因 L 的周长为 ，所以 (2xy+3x2+5y2)ds= ds=1511 【正确答案】 【试题解析】 空间曲线 的方程为面交式方程 在点 P 处的切线方向向量为 =n 1n2=grad(x2+y2 一 1)grad(xy+z 一 2
11、) P其中 n1=(Fx，F y，F z) P，n 2=(Gx，G y，G z) P 分别为两相交曲面的法向量于是 在 P 点的切线方程为12 【正确答案】 【试题解析】 由 z= 易求得设曲面S 在平面 xOy 上的投影区域为 Dxy，则 Dxy=(x，y) x 2+y22ax)，或D=(r，)22，0r2acos)于是13 【正确答案】 【试题解析】 利用逆矩阵的运算法则及(A *)1 =(A1 )*=AA 求之A=(1).2=2，则 ( A.A2)1 =4(A2)1 (A*)1 =4(A1 )2. =(4A1 A1 .A)( 一 2)=2A 114 【正确答案】 【试题解析】 因 XiN
12、(0，1)(i=1，2，n)且 X2，X 3，X n 相互独立，故 2(n 一 1)又 X1N(0，1)且与 相互独立，故由 t 分布的典型模式得到所以 a=三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【试题解析】 用提公因式法或恒等变形法使极限函数出现乘积因子，然后用等价无穷小代换简化求之 16 【正确答案】 令 F(x)=g(x)一 f(x)，则 F(0)=0 ， F(0)=0， F(x)0 由拉格朗日中值定理得到 F(x)=F(x)一 F(0)=xF(1)，0 1x， F( 1)=F(1)一 F(0)=1F(2)，0 2 1， 则 F(x)=xF( 1)=x1F
13、(2) 因 F(x)0，x0， 10，故 F(x)0，即f(x)g(x) 【试题解析】 作辅助函数 F(x)=g(x)一 f(x)，则 F(0)=0，F(0)=0利用此条件对F(x)使用拉格朗日中值定理证之 17 【正确答案】 先求 fx(0，0)与 fy(0，0)因由 f(x，y)的对称性即知 fy(0，0)存在，且 fy(0，0)=0由可微的定义求出 因=0，所以 f(x，y)在点(0，0) 处不可微【试题解析】 用二元函数在一点可微的定义证之18 【正确答案】 (1)设 S(x)= anxn，则 S(x)= nanxn1 ，S(x)= n(n 一 1)anxn2 因 a n2 =n(n
14、一 1)an，故 S(x)= akxk=S(x)，即 S(x)一 S(x)=0 式的特征方程为 r2 一 1=0，解得 r1=1，r 2=1其通解为 S(x)=c1ex+c2ex 因 S(x)=c1exc 2ex ，a 0=4，a 1=1，故 S(0)=4， S(0)=1代入通解式中得 则所求的和函数为 (2)由S(x)= ex =0，解得 又 S(x)=时，S(x) 取得极小值：【试题解析】 利用题设求出 S(x)所满足的微分方程，再利用初始条件求出特解即得 S(x)的表示式，可用二阶导数法求得 S(x)的极值19 【正确答案】 令 x=et，t=lnx，则有将其代回原方程，化原方程为+y=
15、et+et 其特征方程为 r22r+1=0， r1=r2=1，故对应齐次方程的通解为 Y=(c1+c2t)et=x(c1+c2lnx)令待求的一个特解为 y1*=At2et用待定系数法可求得A=12故 y1*= xln2x 令另一个待求特解为 y2*=Bet 同法可求得B=14故 y2*= 所以 y *=y1*+y2*= 故原方程的通解为y=x(c1+c2lnx)+【试题解析】 此为二阶欧拉方程，应熟悉此类方程的结构特点，还应掌握其固定的解法： 作变量代换 x=et，将其化为常系数线性方程解之20 【正确答案】 (1)如果 a=0，则 A 因已知 A 可逆，则矛盾这就证明了 a0(2)设 A=
16、aijnn，由题设有故 即 得证【试题解析】 (1)可用反证法证之；(2) 只需证21 【正确答案】 ( A)1 *=(2A1 )*=23(A1 )*=8 易求得A *= =(一 4)(一 2)=8，即A 3=8，故A =2于是( A)1 *=4A，则原方程化为 4ABA1 =2AB+12E， 即 2ABA 1 =AB+6E左乘 A*，有 2A*ABA1 =A*AB+6A*因 A*A=AE=2E，则 4BA1 =2B+6A* 即 2BA 1 一B=3A*因 A *=AA 1=2A1 ，故 BA *一 B=B(A*一 E)=3A*，于是这是因为故【试题解析】 先求出( A)1 *，化简矩阵方程，
17、再求 B22 【正确答案】 设事件 B 表示从乙袋中取得白球；A 1 表示从甲袋中取得一个白球和一个黑球；A 2 表示从甲袋中取得两个白球；A 3 表示从甲袋中取得两个黑球，则A1，A 2，A 3 为一个完备事件组下用超几何分布分别求出概率 P(Ai)及 P(BA i)(i=1，2，3) 由全概率公式得到【试题解析】 用全概率公式求之为此要找出一个完备事件组23 【正确答案】 所给二次型的矩阵为 二次型正定就是其矩阵 A正定，而 A 正定的充要条件是 A 的所有主子式全大于零，即A=Y 一2X20因而所给二次型为正定二次型，即二次曲面为椭球面的概率为 p=P(Y 一2X20) 由题设知，二维随机变量(X，Y) 的概率密度为故 p=P(Y 一 2X20)= dxdy，其中D：2x 2y2(见下图)，则【试题解析】 为使所给的二次曲面为椭球面，可通过正交变换将其化为标准形：f=1 其中 1， 2， 3 必全大于零这时该二次型为正定二次型，于是问题转化为求所给二次型为正定二次型的概率
