1、考研数学（数学一）模拟试卷 449 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y， z)是连续函数，f(0，0，0)=0，I(R)= f(x，y，z)dxdydz 则R0 时，下面说法正确的是( )（A）I(R)是 R 的一阶无穷小（B） I(R)是 R 的二阶无穷小（C） I(R)是 R 的三阶无穷小（D）I(R)至少是 R 的三阶无穷小2 设 vn 均收敛，则下列命题中正确的是( )（A） un 收敛（B） unvn 绝对收敛（C） (1) n 条件收敛（D） (un+vn)2 发散3 设函数 f(x， y，z)=2xyz 2，则 f(x，y
2、，z)在点(2，1，1)处的方向导数的最大值为( )（A）2（B） 4（C） 2（D）244 设 L 是圆域 x2+y2一 2x 的正向边界曲线，则 (x3 一 y)dx+(xy3)dy 等于( )（A）一 2（B） 0（C） 32（D）25 设 A 为 ms 矩阵，B 为 sn 矩阵，使 ABX=0 与 BX=0 为同解方程组的充分条件是( )（A）r(A)=m（B） r(A)=s（C） r(B)=s（D）r(B)=n6 已知 1=一 1，1，a，4 T， 2=一 2，1，5，a T， 3=a，2，10，1 T 是四阶方阵A 的三个不同特征值的特征向量，则 a 的取值为( )（A）a5（B）
3、 a一 4（C） a一 3（D）a一 3 且 a一 47 假设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充分必要条件是( )（A）A 和 BC 独立（B） A+B 和 B+C 独立（C） AB 和 BC 独立（D）AB 和 A+C 独立8 设 X，Y 都服从标准正态分布，且 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，则必有( )（A）X 与 Y 独立（B） X 与 Y 不独立（C） D(X2+Y2)=D(X2)+D(Y2)（D）D(XY)=D(X)+D(Y)二、填空题9 计算 (a0 ，b0)=_10 设 x1，则 (1t)dt=_11 将函数 f(x)= 展为麦克劳林级数是_ 12
4、设 S 为椭球 +z2=1 的上半部分，已知 S 的面积为 A，则第一类曲面积分(4x2+9y2+36z2+xyz)dS=_13 设三阶矩阵 A= ，则(A *)*+4A=_14 设 XB(3，p)，YB(2，p)，已知 P(X1)= ，则 P(Y1)=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明(1)存在c(0，1)，使得 f(c)= ；(2)存在 (0，1)，使得 =216 设 f(x)= dx17 将 f(x)= 展为 x 一 1 的幂级数，并指出其收敛域18 证明(a+b).(b+c)(
5、c+a)=2a.(bc)19 设 ABCDA 为一矩形回路，其中 A=A(1，1)， B=B(1，1)，C=C(，一 1)，D=D(，1)，求 ABCDA20 已知 n 维向量 1， 2， s 线性无关，如果 n 维向量 不能由1， 2， s 线性表出，而 可由 1， 2， s 线性表出，证明1， 1+2， 2+3， s1 +s，+ 线性无关21 设 A 是 n 阶方阵，A+E 可逆，且 f(A)=(EA)(E+A) 1 证明： (1)E+f(A)(E+A)=2E； (2)ff(A)=A22 设随机变量(，) 的概率密度为试求(1)(，)的分布函数；(2)P( )23 食用加碘盐对人的身体有利
6、，但盐中含碘量过多，则会对身体有害，国家有关部门规定：每公斤食用盐内含碘量不得超过 20mg现对某厂生产的食盐进行抽查，随机地抽出 16 包(每包 1kg)，测量每包含碘量的平均值为 24mg，样本标准差S=26mg设每包含碘量服从正态分布 N(， 2)问该厂生产的加碘盐的含碘量是否合格?(a=005)，并求 的置信度为 95的置信区间 参考数据：t 005 (15)=17531 ，t 005 (16)=17459， t 0025 (15)=21315，t 0025 (16)=21199考研数学（数学一）模拟试卷 449 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
7、1 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(x，y，z) 为连续函数，由积分中值定理得到 I(R)=f(，).dxdydz=f(，). R3，其中 2+2+2R2当 R0 时，(，)(0， 0，0) ，于是 当 f(0，0，0)0 时，I(R)是 R 的三阶无穷小，当 f(0，0，0)=0 时，I(R)是比 R3 高阶的无穷小，因而I(R)至少是 R 的三阶无穷小仅(D) 入选2 【正确答案】 B【试题解析】 因u nvn 收敛，从而 unvn 绝对收敛，仅(B)入选3 【正确答案】 A【试题解析】 =2i+4j2k ，故 f(x，y，z)在点(2 ，一 1，1)处的方向导数的最大值为仅(A)入
8、选4 【正确答案】 D【试题解析】 利用格林公式求之5 【正确答案】 B【试题解析】 显然，方程组 BX=0 的解是 ABX=0 的解要使方程组 ABX=0 的解也是 BX=0 的解，即由 ABX=0 推导出 BX=0，只需方程组 AX=0 只有零解，即r(A)=s，仅(B 入选6 【正确答案】 A【试题解析】 将 1， 2， 3 作为 A 的列向量组，将其化为阶梯形即可确定 a 的取值 1， 2， 3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关可知 a5仅(A)入选7 【正确答案】 A【试题解析】 直选法因事件 A，B，C 两两独立，所以为说明选项(A)正确，只需证明：如果 A 和 BC 独立，
9、则 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)事实上，有P(ABC)=P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C)可见，A 和 BC 独立是事件 A，B，C 相互独立的充分必要条件，故仅(A)入选8 【正确答案】 D【试题解析】 因 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X，Y)，而已知 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，故 2cov(X，Y)=0，即 cov(X，Y)=0因而D(XY)=D(X)+D(Y)一 2cov(X，Y)=D(X)+D(Y)仅(D)入选二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 先用提公因式的方法将分子、分母化成乘积形式，再用等价无穷小代换 ax 一 1x
10、lna(x0)求之当然，也可用洛必达法则求之，但较烦10 【正确答案】 【试题解析】 为去掉被积函数中的绝对值符号，须将 x 的取值范围分段求出积分当一 1x0 时，t=t，则(1+x)2；当 x0 时，原式=(1 一 x)2；故11 【正确答案】 一 1x1【试题解析】 注意到 ，可先将 展为麦克劳林级数，再逐项求导即得 的麦克劳林展开式也可直接利用公式nxn1 (x1)求之因 xn，逐项求导得到=1+2x+3x2+nxn1 +， 其收敛区间为一 1x112 【正确答案】 36A【试题解析】 (4x2+9y2+36z2+xyz)dS=36 xyzdS因曲面关于平面 zOx 对称，而被积函数关
11、于 y 为奇函数，故 xyzdS=0将上半个椭球方程代入上式第一个积分的被积函数得 +z2)dS= dS=A，故第一类曲面积分(4x2+9y2+36z2+xyz)dS=36A13 【正确答案】 16【试题解析】 利用矩阵(A *)*与 A 的关系，再由A求出所求的行列式 因(A *)*= A n2 A，而A=2，故 (A *)*+4A = A 32 A+4A = 2A+4A =2A =8A=16 14 【正确答案】 【试题解析】 因 XB(3，p)，P(X1)=1 一 P(X=0)=1 一 p0(1 一 p)3=1 一(1 一 p)3= ，故 1 一 P= 则 P(Y1)=P(Y=0)= p0
12、(1 一 p)2=三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (1)令 F(x)=f(x)一 12，则 F(0)=f(0)一 12=120，F(1)=f(1)一 12=112=1 20由零点( 介值)定理知，存在 c(0，1)，使 F(c)=0，即 f(c)=12(2) 在0，c及c ，1上对 f(x)分别使用拉格朗日中值定理得到：存在 (0，c) ， (c，1)，使得 于是=2c+2(1 一 c)=2得证注意 上面利用 (1)的结论证明了(2)的结论，但(1)的结论也可由 (2)的结论推出事实上，由得到 2f 2(c)一2cf(c)一 f(c)+c=f(c)2f(c
13、)一 1一 c2f(c)一 1=f(c)一 c2f(c)一 1=0因 f(x)不一定满足 f(x)=x，故有 2f(c)一 1=0，即 f(c)=12【试题解析】 (1)设 F(x)=f(x)一 12，对 F(x)在0，1上使用零点定理即可(2)应利用(1)中结论，用 C 将0，1分为0，c，c，1两个子区间，且在这两个不同的区间上使用拉格朗日中值定理16 【正确答案】 因在一 1，3内有 f(x)的两个瑕点 0 与 2，故所求的积分是瑕积分【试题解析】 所求积分形式上是定积分但由于 f(x)在 x=0，2 处无界，因而所求积分实质上是无界函数的反常积分用其定义计算其积分17 【正确答案】 (
14、1) 由=1 一 x+x2 一+( 一 1)nxn+， 一 1x1，得到(2)由于级数的收敛区间为一 1 1， 即 一 1x3，级数 的收敛区间为一 1 1， 即 一 3x5，故级数的收敛区间为一 1x3但在x=1 与 x=3 处，级数发散，故收敛域为(一 1，3) 【试题解析】 (1)用间接展开法求之即通过适当的恒等变形将其分解为的代数和，再利用如下展开式求之：(2)求出展开式后要写出展开式成立的区间，需判另 IJ 在收敛区间的端点处是否收敛18 【正确答案】 (a+b).(b+c)(c+a)=(a+b).b(c+a)+c(c+a)=(a+b).bc+ba+cc+ca=a.(bc)+b.(b
15、c)+a.(ba)+b.(ba)+a.(ca)+b.(ca)=a.(bc)+0+0+0+0+b.(ca)=a.(bc)+a.(bc)=2a.(bc)【试题解析】 利用混合积的常用性质证之19 【正确答案】 当 0 时，P= 在矩形回路中连续可导，易求得 由格林公式即得 =0当 0 时，这时矩形回路含有原点，为挖掉这个原点以 rmin(1，)为半径作圆，则可在以圆外到 ABCDA 所围的区域 D 内使用格林公式：或由 (xdyydx)表示 x2+y2=r2 所围圆域的面积，即得当 0 时，【试题解析】 为考虑 ABCDA 是否包围原点，应分 0 及 0 两种情况计算待求的积分20 【正确答案】
16、利用拆项重组法及线性无关的定义证之 由题设 可由1， 2， s 线性表出，可设 =c 11+c22+css， 又令 k 11+k2(1+2)+ks(s+s1 )+k(+)=0 将其拆项重组得到 (k 1+k2+kc1)1+(k2+k3+kc2)2+(ks+kcs)s+k=0 因 1， 2， s 线性无关，而 不能由 1， 2， s线性表出，故 1， 2， s， 线性无关因而 k=0， k 1+k2+kc1=0， k2+k3+kc2=0， ，k s+kcs=0， 即 k 1+k2=0，k 2+k3=0，k s1 +ks=0，k s=0， 解得 k1=k2=ks1 =ks=0， 即 1， 1+2，
17、 2+3， s1 +s，+ 线性无关【试题解析】 利用线性无关的定义证之，也可用矩阵表示法证之21 【正确答案】 (1)E+f(A)(E+A)=E+A+f(A)(E+A) =E+A+(EA)(E+A) 1 (E+A) =E+A+EA=2E(2)ff(A)=Ef(A)E+f(A) 1 由(1)可知E+f(A) 1 = ，故 ff(A)=E 一 f(A)(E+A)2=E 一(EA)(E+A) 1 (E+A)2 =(E+A)2 一(E 一A)(E+A)1 (E+A)2 =(E+A)2 一(E 一 A)2=A【试题解析】 利用矩阵运算及可逆矩阵的定义证之22 【正确答案】 (1)将 (x，y)定义域中
18、的边界线段延长为直线，它们将整个平面分成 5 个子区域：D 1：x0 或 y0 时，F(x，y)=P(Xx，Yy)=0dxdy=0 D2：0x1，0y2 时，F(x ，y)=P(Xx，Yy)= (x，y)dxdy=x2y2D 3：x1，0y2 时，F(x ，y)=P(Xx，Yy)=P(0X1，0Yy)D4：0x1，y2 时，F(x ，y)=P(Xx，Yy)=P(0Xx ，0Y2)D5：x1，y2 时，F(x ，y)=P(Xx，Yy)=P(0X1 ，0Y2)因当 0x1 时， (x)=【试题解析】 连续型随机变量(，)的概率密度为 (x，y)则分布函数 F(x，y)=P(Xx，Yy)= (x，y
19、)dxdy 若 (x，y)的取值不分区域，则求二次积分即可求出 F(x，y)若 (x，y)分区域定义时，则先绘出 (x，y)取非零值的区域D，再将其边界线段延长为直线，于是它们将整个平面分成若干个子区域，然后再根据 P(，)G)= (x，y)dxdy，其中 G 为子区域与 (x，y)取非零值的定义域的交集，求出各个小区域上的分布函数的表达式，即得 F(x，y)23 【正确答案】 (1)H 0： =0=20， H 1： 0=20检验统计量为 T= t(n一 1)， H0 的拒绝域为 R=T t (n1)计算观测值为 t= =61538，查表得 t(n 一 1)=t005 (15)=17531因 6153817531，即 tt (n 一 1)落在拒绝域内，拒绝 H0，接受 H1： 2，即含碘量超过标准，不合格(2) 2 未知， 的置信度为 1 一 =095 即 =005 的置信区间为其中=24，t n2 (n 一 1)=t0025 (15)=21315，代入上式即得所求的置信区间为(2421315 )=(24139，24+139)=(22 61，2539) 【试题解析】 先写出零假设(待检假设)H 0 与备择假设 H1，选出已知其分布的恰当的统计量，求出其拒绝域，算出观测值，两者进行比较求置信区间较简单，只要记住有关的公式即可求得
