1、考研数学（数学一）模拟试卷 453 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在点 x=a 处可导，则 =( )（A）f(a)（B） 2f(a)（C） 0（D）f(2a)2 函数 f(x，y)=x 2y3 在点 P(2，1)处沿方向 l=i+j 的方向导数为 ( )（A）16（B） 16 126（C） 28（D）28 1273 设平面曲线 L： =1，y0，其所围成的区域分别记为 D 和D1，则有( ) （A） L(x+y2)dS=2L1(x+y2)dS（B） L(x2+y)dS=2L1(x2+y)dS（C） (x+y3)dxdy=2 (x+y3
2、)dxdy（D） (x2+y)dxdy=2 (x2+y)dxdy4 设 S 为球面 x2+y2+z2=R2(R0) 的上半球的上侧，则下列表示式正确的是 ( )（A） y2dzdx0（B） ydzdx0（C） zdzdx0（D） xdzdx05 A 是三阶矩阵，P 是三阶可逆矩阵，p 1 AP= ，且A1=1，A 2=2，A 3=0，则 P 应是( )（A） 1， 2， 1+3（B） 2， 3， 1（C） 1+2， 2，2 3（D） 1+2， 2+3， 16 设 A，B，C ，D 是 4 个四阶矩阵，其中 AO，B0，C0，DO，且满足 ABCD=O若 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=
3、r，则 r 的取值范围是( )（A）r10 （B） 10r12（C） 12r16（D）r167 设事件 A，B，C 是任意三个事件，事件 D 表示“A，B，C 中至少有两个事件发生”，则下列事件中和 D 不相等的是( ) （A）AB BC（B） ( )（C） AB+BC+AC（D）AB BC+ABC8 设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为，则随机变量 Z=maxX，Y) 的分布律为( )二、填空题9 =_10 I= (lx+my+nz)dxdydz=_，其中 ：1，( )为 的中心11 如果幂级数 an(x 一 1)n 在 x=1 收敛，在 x=3 发散，则其收
4、敛半径为_12 设 f(x)= 若 f(x)在 x=1 处可导，则 的取值范围是_13 设 A 是三阶可逆矩阵如果 A1 的特征值为 1，2，3，则A的代数余子式A11+A22+A33=_14 设随机事件 A、B 及其和事件 AB 的概率分别是 04，03 和 06若 表示 B 的对立事件，则积事件 A 的概率 P(A )=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求曲线 y= 的一条切线 l，使该曲线与切线 l 及直线 x=0，x=2 所围成的图形的面积最小16 求函数 f(x，y)=4x 一 4yx2 一 y2 在区域 D：x 2+y218 上的最大值和最小值17 (1)证
5、明曲线积分 在曲线 L 不经过 x 轴的情况下，积分与路径无关；(2)如果曲线 L 的两端点为 A(，1)及 B(，2)，计算积分的值18 计算曲面积分 xz2dydz+x2ydzdx+y2zdxdy，其中 S 是球面 x2+y2+z2=a2 的上半部分与平面 z=0 所围成的闭曲面外侧19 设二阶常系数线性微分方程 y+ay+y=e 2x 的一个特解为 y=e2x+(1+x)ex求此方程的通解20 求作一个齐次线性方程使得它的解空间由下面四个向量所生成 1=一 1，一1，1，2，0 T， 2=12 ，一 12，12，6，4 T， 3=14，0，0，54，1T， 4=一 1，一 2，2，9，4
6、 T21 A，B，C 均是 n 阶矩阵，且 AB=O，AC+C=O如秩(B)+ 秩(C)=n，证明AA，并求对角阵 A22 设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，独立重复试验直到成功两次为止试求试验次数的数学期望23 设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为求常数 c 及条件概率密度 fYX (yx)考研数学（数学一）模拟试卷 453 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 利用下述命题可直接求解：已知 f(x)在点 x=x0 处可导，则特别地，当 (x)=x 时，有 因已知函数 f(x)在点x=a 处可导， =1 一(1)f(
7、a)=2f(a)仅(B)入选2 【正确答案】 B【试题解析】 按下述公式求之： 其中 l0=为 l 的单位向量gradf P= P=(2xy3i+3x2y2j) P=4i+12j，仅(B)入选3 【正确答案】 A【试题解析】 由第一类曲线的奇偶对称性知 Lxds=0， L1xds=0， Ly2ds=2L1y2ds 于是 L(x+y2)ds=Lxds+Ly2ds=0+2L1y2ds=2L1y2ds， L1(x+y2)ds=L1xds+L1y2ds=0+L1y2ds=L1y2ds 故 2 L1(x+y2)ds=2L1y2ds=L(x+y2)ds 仅(A)正确4 【正确答案】 B【试题解析】 用 S
8、1 与 S2 分别表示 S 的右半部分与左半部分，则其中 D 表示曲面 S1 与S2 在平面 zOx 上的投影区域：x 2+z2R2，z0仅(B)入选5 【正确答案】 C【试题解析】 P 的三个列向量应是 A 的对应于特征值的特征向量判别时，要注意利用下述三条具体原则判别之： (1)A 的对应于同一特征值 1 的特征向量 1， 2的线性组合，如 k11，k 22，k 11+k22 仍是 A 的特征向量； (2)不同特征值的特征向量的线性组合不再是 A 的特征向量； (3)P 中特征向量排列的顺序与其对角阵中特征值的排列顺序一致 因(A)中向量 1+3 是 A 的不同特征值的特征向量的线性组合，
9、故不是 A 的特征向量排除(A) (B)中 3， 1 的排列顺序与其对角阵中特征值的排列顺序不一致排除(B) (D)中 2+3 不是 A 的特征向量排除(D)仅(C)入选 6 【正确答案】 B【试题解析】 由 ABCD=(AB)(CD)=0 得到r(AB)+r(CD)4而 B， C 为满秩矩阵，故r(AB)=r(A)， r(CD)=r(D)于是 r(A)+r(D)4又 AO，DO，有r(A)1， r(D)1，则 2r(A)+r(D)4又 r(B)=r(C)=4，故10=2+8r(A)+r(B)+r(C)+r(D)4+8=12 仅(B)入选7 【正确答案】 A【试题解析】 显然 D=AB+BC+
10、AC，而 一=(A+B)(A+C)(B+C)=(A+BC)(B+C)=AB+BC+CA，AB+BC+AC=(ABC+AB )=AB BC+ABC这说明(B)、(C)、(D)中的事件都与事件 D 相等，所以仅(A)入选8 【正确答案】 C【试题解析】 因 X，Y 相互独立，故 P(X=i，Y=j)=P(X=i)P(Y=j)= ，其中 i，j=0，1于是有则故 仅(C)入选二、填空题9 【正确答案】 e 2【试题解析】 用提公因式的方法将其底数化为乘积形式，再利用幂指函数求极限的方法求之10 【正确答案】 【试题解析】 注意到 的中心 ( )恰好是 的重心 (质心)，应利用其公式简化求出三重积分
11、zdxdydz，从而简便求出 I因 的中心()恰好是 的重心(质心)，由其计算公式得到abc(椭球体 的体积)，故同法可求得所以11 【正确答案】 2【试题解析】 已知幂级数在一点收敛而在另一点发散时，常用阿贝尔定理求其收敛半径由阿贝尔定理知，当x 一 1 11=2 即1x3 时，幂级数收敛，而x 一 13 一 1=2，即 x3 或 x1 时，该幂级数发散由收敛半径的定义可知，该幂级数的收敛半径为 212 【正确答案】 1【试题解析】 可直接利用一类特殊分段函数在其分段点的连续性、可导性及其导函数连续的结论求之设 则当 0 时，f(x)在 x=0 处连续；当 1 时，f(x) 在 x=0 处可
12、导；当 +1 时，导函数 f(x)在 x=0 处连续解 根据导数定义，由题设知，下列极限应存在且为 0，即 亦即 其条件是0(x1) ，因此 +10，即 113 【正确答案】 1【试题解析】 A ii(i=1，2， 3)为伴随矩阵 A*的主对角线上的元素，其和A11+A22+A33 恰等于 A*的迹，即 tr(A*)=A11+A22+A33但矩阵的迹又等于其特征值之和，于是归结求出 A*的特征值其求法有两种方法方法一 由题设知，A 的特征值为 1=1， 2=12， 3=13，于是A= 123=16，则 A*的特征值分别为则 A11+A22+A33=tr(A*)=1*+2*+3*=16+1 3+
13、12=1 方法二 由AA*=AE=(1 6)E，即 (6A)A*=E，得到 A*=(6A)1 =(16)A 1 由 A1 的特征值为 1，2，3，得到 A*的三个特征值分别为 1*=(16).1=16， 2*=(16).2=13 ， 3*(16).3=1 2，故 A 11+A22+A33=1*+2*+3*=16+13+1 2=114 【正确答案】 03【试题解析】 由 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)得到 06=0 4+03 一 P(AB)， 即 P(AB)=01，则 P(A )=P(A)一 P(AB)=0401=03三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确
14、答案】 设切点为 C(t， )，则过此点切线 l 的方程为 y 一，其中切线 l 的斜率为 y= ，将 x=2 和 x=0 代入切线 l 的方程，即得 B(2， )故所围面积 S=S 梯形 OABDS 曲边梯形 OAEC= 令 S(t)=0，即 =0，得到 t=1又 S(t) t=1= 0，故 t=1 时 S 取最小值，此时 l 的方程为 y=【试题解析】 先绘出有关图形，如下图所示由图可看出所求平面图形的面积S=S 梯形 OABDS 曲边梯形 OAEC 下面分别求出这两个面积的值及 S 的最小值16 【正确答案】 先求出 f(x，y)在开区域 x2+y218 内的可能极值点解方程组得其驻点(
15、2 ，一 2)D再求 f(x，y)在边界 x2+y2=18 上的可能极值点下用拉格朗日乘数法求之为此，设 F(x，y，)=4x 一 4yx2 一 y2+(x2+y2 一 18)，则由前两个方程易得 = 于是 xy 一2y=xy+2x，即 y=x将其代入第三个方程得到 x=3，y=3 ，求得边界区域 D 上的驻点(3 ，一 3)，(一 3，3) 因 f(2，一 2)=8，f(3，一 3)=6，f(一 3，3)=42，故f(x，y)在 D 上的最大值为 8，最小值为一 42【试题解析】 f(x，y)在有界闭区域 D 上连续，则 f(x，y)在 D 上必能取得最人值和最小值，其求法与一元函数类似：先
16、求出 D 内的驻点所对应的函数值；再求出边界上函数的最大、最小值点及其函数值比较上述各点的函数值，其中最大的(最小的) 就是函数在闭区域 D 上的最大值(最小值)17 【正确答案】 (1) 在曲线不经过 x 轴时，连续，由此可知该积分与路径无关(2)【试题解析】 证明积分 LPdx+Qdy 与路径无关，只需证明 利用(1)的结论取特殊路径积分，常取平行于坐标轴的直线段路径积分计算18 【正确答案】 因 P=xz2，Q=x 2y，R=y 2z，故 由高斯公式得 (xz2dydz+x2ydzdx+y2zdxdy)= (x2+y2+z2)dxdydz因积分区域由球面所围成，且被积函数中含有 x2+y
17、2+z2 因子，用球坐标系计算较简，故xz2dydz+x2ydzdx+y2zdxdy=【试题解析】 由题设知，积分曲面 S 为闭曲面，且在 S 所围成的闭区域 内P，Q，R 具有一阶连续偏导数，可利用下述高斯公式计算：(S 取外侧，取正号；取内侧，取负号)19 【正确答案】 由所给方程的非齐次项为 e2x 及特解中含有 e2x 项知，y *=e2x 是原方程的一个特解于是 y=(1+x)ex 应是对应齐次方程的特解，因而 1 为特征方程的二重特征根于是 2 为特征方程的一特征根，特征方程为 r2 一 2r+1=0，则齐次方程应是 y一 2y+y=0，故 =2， =1 又 y*为非齐次方程的特解
18、，代入其中得4e2x 一 2.2e2x+e2x=e2x， 故 =1因 y1=ex，y 2=xex 都是 y一 2y+y=0 的解，且故其线性无关，所以 Y=(c1+c2x)ex 为 y一 2y+y=0 的通解又y*=e2x 是非齐次方程的一个特解，故 y=(c1+c2x)ex 一 e2x 是非齐次方程的通解【试题解析】 先根据题设确定微分方程，再求通解20 【正确答案】 因 故 1， 2 线性无关 3， 4可由 1， 2 线性表出令 B= ，求 BX=0 的基础解系由于故 BX=0 的一个基础解系为 1=0，1，1，0，0 T， 2=一 5，7，0，1，0 T， 3=一 4，4，0，0，1 T
19、，于是，所求的齐次线性方程组的系数矩阵为【试题解析】 设所求的齐次线性方程组为 AX=0，其系数矩阵 A 的求法如下：(1)以所给的线性无关的解向量作为行向量组成矩阵 B；(2)求出方程组 BX=0 的基础解系；(3)以(2)所得的基础解系为行向量所作的矩阵即为所求的矩阵 A21 【正确答案】 设 B，C 的 n 个列向量分别为 B=1， 2， n， C=1， 2， n，则由 AB=O 得 A1， 2， ， n=O，即 Ai=0=0i (i=1，2，n)又设秩(B)=k，则 0 为 A 的特征值，且属于特征值 0 的线性无关的特征向量有 k 个又由 AC+C 一 0 得到 AC=C，即 A1，
20、 2， n= 1， 2， ， n，则 Ai= i=(一 1)i，故一 1 为 A 的特征值因秩(C)=n 一秩(B)=n 一 k，故属于特征值一 1 的线性无关的特征向量共有 n 一 k 个因而 A 有n 个线性无关的特征向量，故 AA且 【试题解析】 将所给矩阵方程都转化为 A 的特征值、特征向量的有关问题证明A 有 n 个线性无关的特征向量22 【正确答案】 设 X 为所需试验次数 k，则 X 的可能取值为 2，3，而 P(X=k)=P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)其中 P(A 1)= ，故也可得到 E(X)=【试题解析】 设随机变量 X 表示试验次数 k，其中 k=2，3，又设 事件 A=k次试验中成功两次)， A 1=k 次试验中第 k 次试验成功)， A 2=前 k1 次试验中有一次成功)， 则事件 A 发生等价于 A1，A 2 同时发生，故 A=A1A2又 A1 和 A2 相互独立，所以 P(A)=P(A1)P(A2) 23 【正确答案】 (1)由 f(x，y)dxdy=1 得到【试题解析】 利用 f(x，y)dxdy=1 ，可求出常数 c为求条件概率密度，由定义只需求出 fX(x)
