1、考研数学（数学一）模拟试卷 454 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在( ，+)上连续，F(x)= f(t)dt，则下列命题中错误的是 ( )（A）若 f(x)是偶函数，则 F(x)是奇函数（B）若 f(x)是奇函数，则 F(x)是偶函数（C）若 f(x)以 T 为周期且是偶函数，则 F(x)以 T 为周期且是奇函数（D）若 f(x)以 T 为周期且是奇函数，则 F(x)以 T 为周期且是偶函数2 设正项级数 ln(1+an)收敛，则级数 ( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定3 若 f(x)= 在(，+)上连续
2、，且 f(x)=0，则( ) （A）0，k0（B） 0，k0（C） 0，k 0（D）0，k04 微分方程 y一 y=ex+1 的一个特解具有的形式为( )（A）Ae x+B（B） Axex+B（C） Aex+Bx（D）Axe x+Bx5 若 1， 2， 3， 1， 2 都是四维列向量，且四阶行列式 1， 2， 3， 1= m， 2， 1， 2， 3=n 则四阶行列式 3， 2， 1， 1+2等于( ) （A）m+n（B） (m+n)（C） nm（D）mn6 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关向量组是( )（A） 1+2， 2+3， 3 1（B） 1+2， 2+3， 1+
3、22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 132+223，3 1+52 一 537 设 X 为随机变量，若矩阵 A= 的特征值全为实数的概率为 05，则( )（A）X 服从区间0，2 上的均匀分布（B） X 服从二项分布 B(2，05)（C） X 服从参数为 1 的指数分布（D）X 服从正态分布8 设随机变量 X，y 相互独立且都服从正态分布 N(， 2)，若概率 P(aXbY)=12，则 ( )（A）a=1 2 ，b=12（B） a=12，b=12（C） a=12，b=12（D）a= 1 2，b=12二、填空题9 =_10 曲面 zylnx+lnz=0 与平面
4、 x+y 一 2z=1 垂直的法线方程为 _11 dx=_12 原点 O(0，0，0) 到直线 的距离 d=_13 设二次型 f(x 1，x 2，x n)=(nx1)2+(nx2)2+(nxn)2(x 1+x2+xn)2(n1)， 则f 的秩是_14 设 X 的概率密度函数 f(x)= 已知 P(X1)= ，则 E(X2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且 f(0)=f( )，2 f(x)dx=f(2)证明存在 (0，2)，使 f()=016 求 ，a 为任意正实数17 求由方程 2x2+2y2+z2+8xzz+
5、8=0 所确定的隐函数 z=z(x，y)的极值18 计算 x2ydx+(x2+y2)dy+(x+y+z)dz，其中 L 为 x2+y2+z2=11， z=x 2+y2+1 的交线，从 z 轴正向往负向看， L 是逆时针的19 求微分方程 y一 ay=ebx(a，b 为实常数，且 a0，b0)的通解20 如果 A 是一个 r 行 n 列的其秩为 r 的矩阵，A 的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系，而 B 是一个任意 r 阶可逆矩阵，则矩阵 BA 的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系21 用非退化(可逆) 的线性变换化二次型 f(x 1，x 2，x 3)=4x 1x2+2x1x3
6、+2x2x3 为标准形，并求此非退化的线性变换22 测量某物体高度时，测量误差(单位：毫米)服从正态分布 N(0，5 2)，即 X 的概率密度为 f(x)= ， 一x+ ，求测量误差的绝对值X的数学期望与方差23 设 (x1，x 2，x n)和 (x1，x 2，x n)是参数 的两个独立的无偏估计量，且 方差是 方差的 4 倍试求出常数 k1 与 k2，使得 k1 +k2 是 的无偏估计量，且在所有这样的线性估计中方差最小考研数学（数学一）模拟试卷 454 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 利用 f(t)dt 的性质判定利
7、用 f(t)dt 的性质知，(A)、(B)均正确，而(C)错误例如， f(x)1 是以 T 为周期的偶函数，但 F(x)= 1dt=x 不是周期函数，但(D)是正确的我们知道，若 f(x)是以 T 为周期，则其原函数 F(x)= f(t)dt 也是以 T 为周期的充要条件是 f(x)dx=0当 f(x)以 T 为周期且是奇函数时，有因而 F(x)= f(t)dt 以 T 为周期且是偶函数仅(C)入选2 【正确答案】 B【试题解析】 所给级数为正项级数，判别与此有关的另一级数的敛散性，需利用下述判别正项级数敛散性的比较判别法设 bn 均为正项级数(1)若存在一个与 n 无关的正常数 c1，从某一
8、项起有 anc1bn，若级数 bn 收敛，则级数an 收敛；(2) 若存在一个与 n 无关的常数 c2，使从某一项起有 anc2bn，若级数bn 发散，则级数 an 发散( 较判别法的极限形式：若 =l，则因ln(1+an)收敛，故an=0，则 所以an 也收敛因(1) n(an+an+1)2，而 绝对收敛仅(B) 入选3 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(x)在( ，+) 上连续，当然 f(x)在( ，+) 上有定义，为此f(x)的分母不能为 0如果 0，而 ekx 0，因而 ekx 0于是有可能使 f(x)的分母为 0，从而使 f(x)出现无定义的点，故必有 0又为保证 x 时，有f(
9、x)=0，必有 k0故仅(D)入选4 【正确答案】 D【试题解析】 视 ex+1 为两个非齐次项 f1(x)=ex，f 2(x)=1=e0x，于是需考查 0 与 1 是否为特征方程的根，据此分别写出 y1*与 y2*的形式 原方程对应的齐次方程为 y一 y=0，它的特征方程为 r2 一 r=0，解得 r1=1，r 2=0 对于非齐次项 ex，因 =1是特征方程的根，故原方程的特解应为 y1*=Axex 对于非齐次项 1=e0x，=0 也是特征方程的根，原方程特解应为 y2*=Bx，故仅(D)入选5 【正确答案】 C【试题解析】 利用行列式性质将所给行列式分解为已知其值的行列式的代数和 3， 2
10、， 1， 1+2= 1， 2， 3， 1+2 = 1， 2， 3， 1 1， 2， 3， 2 = 1， 2， 3， 1+ 2， 2， 3， 1 =m 2， 1， 3， 2= m+ 2， 1， 2， 3 =m+n=nm 仅(C)入选6 【正确答案】 C【试题解析】 用线性无关向量组线性表示的向量组的线性相关性的判定常用下述矩阵表示法：设向量组()： 1， r 能由线性无关向量组() ： 1， s 线性表示为 或 1， r=1， sgijsr=1， sG，则向量组()线性无关的充要条件是秩(K)=r( 或秩(G)=r)当r=s 时，归结为计算行列式K或G如它们不等于 0，则向量组( )线性无关；如
11、等于零，向量组()线性相关方法一 对于(A)，令1=1+2， 2=2+3， 3=3 一 1，则 1+2， 2+3， 3 一 1=1， 2， 3=1， 2， 3G1，而G 1= =0，故向量组1+2， 2+3， 3 一 1 线性相关对于(B)，令1=1+2， 2=2+3， 3=1+22+3，则 1+2， 2+3， 1+22+3=1， 2， 3=1， 2， 3G2，而 G 2= =0，故向量组1+2， 2+3， 1+22+3 线性相关对于(C)，令1=1+22， 2=22+33， 3=33+1，则 1+22，2 2+33，3 3+1=1， 2， 3=1， 2， 3G3，而 G 3= =120，故向
12、量组1+22，2 2+33，3 3+1 线性无关对于(D)，令1=1+2+3， 2=213 2+223， 3=31+525 3，则1+2+3，2 13 2+223，3 1+525 3=1， 2， 3=1， 2， 3G4，而G 4= =0，故(D)中向量组线性相关仅(C) 入选方法二 也可用定义判别对于选项 (C)，令 k1(1+22)+k2(22+33)+k3(33+1)=0，即 (k 1+k3)1+(2k1+2k2)2+(3k2+3k3)3=0因1， 2， 3 线性无关，故 因该方程组的系数矩阵行列式不等于 0，故该方程组只有零解，即 k1=k2=k3=0，所以该向量组线性无关仅(C)入选7
13、 【正确答案】 A【试题解析】 先计算 A 的特征多项式，再由特征值全为实数应满足的概率条件进而确定 X 的分布因EA= =( 一 2)(2+2+X)，故 A 的特征值全为实数的条件为 b2 一 4ac=44X0由题设有 P(44X0)=05，即P(X1)=P(0X1)=(10)(2 一 0)=05，因而 X 服从区间0，2上的均匀分布仅(A)入选8 【正确答案】 B【试题解析】 先求出 aXbY 服从的正态分布，根据正态分布的性质：其随机变量在其数学期望的左右两侧取值的概率均为 12，找出口与 6 的关系并由此关系判定选项 因 X，Y 相互独立，且都服从 N(， 2)，故 aXbY 服从正态
14、分布，且 aXbYN(a 一 b，(a 2+b2)2)， 所以 P(aX bYa 一 b)=12 于是 a一 b=，即 a 一 b=1因而仅(B)入选二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 x 一 1=y 一 1 一(z 一 1)(一 2)【试题解析】 令曲面方程为 F(x，y，z)=z ylnx+lnz=0设切点坐标为(x0，y 0，z 0)在该点处曲面的法向量为 n=(Fx，F y，F z) (x0，y0，z0) =由平行条件得到 从而求得x0=1， z0=1将(x，y，z)=(1，y 0，1) 代入 F(x，y，z)=0 得到 y0=1于是(x0，y 0，z 0)=
15、(1，1，1)，故所求的法线方程为 x 一 1=y 一 1 一(z 一 1)(一 2)11 【正确答案】 4【试题解析】 12 【正确答案】 1【试题解析】 已知 P1(x1， y1，z 1)=P1(2，1，2)，P 0(x0，y 0，z 0)=P0(0，0，0)，则将上述数值代入上述公式，即得 d=113 【正确答案】 n【试题解析】 二次型 f 的矩阵为 此矩阵 A 的主对角线上的元素全为 n2 一 1，非主对角线上的元素全为一 1，由上述结果可直接写出该矩阵的行列式的值：A=(n 2 一 1)+(n 一 1)(一 1)(n2 一 1)一(一 1)n1 =(n2一 n)(n2)n1 =n(
16、n 一 1)(n2(n1) )因 n1，故A0，所以 f 的秩为 n14 【正确答案】 【试题解析】 由 P(X1)=1 一 P(X1)=1 e xdx=1 一 e =12，故=ln2于是 E(X)= 则 E(X 2)=D(x)+E(X)2=三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由积分中值定理 2 f(x)dx=2.(1 一 1于是f(x)在 ，2 上满足罗尔定理，即存在 1(，2)，使 f(1)=0 又 f(x)在0 ， 满足罗尔定理，于是存在 2(0， )，使 f(2)=0 由式、式得到 f(1)=f(2)再对 f(x)在 2， 1上使用罗尔定理，得到 (2
17、， 1) (0，2)，使 f()=0注意 题设条件或待证结论中含有定积分等式时，要想到使用积分中值定理，有多个函数值相等时，要想到使用罗尔定理16 【正确答案】 【试题解析】 将极限函数的分子、分母分别化成积和式的形式，利用定积分定义求其极限17 【正确答案】 为求隐函数的极值，先利用原方程求出驻点及其相应的函数值由隐函数微分法得 令 =0，解得 x=2z，y=0，代入原方程得 7z2+z 一 8=0， 又解得 z1=1，z 2=87，于是驻点为(一 2，0) 及(167，0) 在点(一 2，0) 处， z=1， =0因故函数 z=z(x，y)在点(一2，0)处得极小值 z=1在点( =0因故
18、函数 z=z(x，y)在点(167 ，0) 处得极大值一 87【试题解析】 先根据二元函数极值存在的必要条件求出二元函数的所有驻点，再利用二元函数极值存在的充分条件判定这些驻点是否为极值点18 【正确答案】 用参数法计算为此先求出曲线 L 在 xOy 上的投影曲线的方程由 x 2+y2+1+z2=12，z 2+z12=(z+4)(z 一 3)=0，因 z0，故 z=3因而x2+y2+1=3， 即 x 2+y2=2用参数方程表示为 x= sint，故 L 的参数式方程为 x= sint， z=3故 x2ydx+(x2+y2)dy+(x+y+z)dz【试题解析】 空间第二类曲线积分常用下述三法求之
19、借助曲线的参数方程化为定积分计算，也可用斯托克斯公式转化为曲面积分计算，还可投影到坐标面上化为平面上的第二类曲线积分计算19 【正确答案】 特征方程 r2 一 ar=0，r=0，r=a故对应的齐次方程的通解为Y=c1e0x+c2eax=c1+c2eax下求特解当 ba 时，设 y*=Aebx，代入方程得当 b=a 时，设 y*=Bxebx，代入方程得综上所述，微分方程的通解为：当 ba 时，y=c1+c2eax+ ebx 当 b=a 时，y=c 1+c2eax+ xeax【试题解析】 对于含参数的微分方程，要讨论参数的取值情况以确定特解形式20 【正确答案】 设 A= ，其中 j 为 A 的行
20、向量，B=b ijrr，则 BA= ，其中 j 为 BA 的行向量，则 因1， 2， r 线性无关，且 B 为满秩矩阵，即 r(B)=r=向量组( 1， 2， r)的个数，故 1， 2， r 线性无关因 j 为某齐次线性方程组的基础解系，则因1， 2， r 均为 1， 2， r 的线性组合，故 1， 2， r 也必为该齐次线性方程组的 r 个解又它们线性无关，所以 1， 2， r 即 BA 的 r 个行向量也为该齐次方程组的一个基础解系【试题解析】 将矩阵 A，B 的行向量组的关系转化为矩阵关系证之21 【正确答案】 令 则 再令则 原式 = 因此原二次型的标准形为所作的非退化的线性变换是用新
21、变量表示旧变量的线性变换，即X=PZ， 其中 X=x1，x 2，x 3T， Z=z 1，z 2，z 3T为求此变换，由方程组 得到y3=z3， y 2=z2， y 1=(z1+z3)2将此代入方程组得到所求的非退化的线性变换：即 且使【试题解析】 由于所给的二次型的各项全是交叉项，不含平方项，故常作可逆的线性变换：x 1=y1+y2，x 2=y1 一 y2，x 3=y3 将其化为标准形22 【正确答案】 故 DX=E( X 2)一E( X) 2=25【试题解析】 使用期望和方差的定义，并应甩对称性和 函数求之23 【正确答案】 由无偏估计量的定义，为使 k1 也是 的无偏估计量，必有 E(k1 )=(k1+k2)=，即得 k1+k2=1为求 k1，k 2 之值，使无偏估计量 k1 )之值最小，因故归结为求函数f(k1，k 2)= 在条件 k1+k2=1 下的最小值可用拉格朗日乘数法求之为此，令 F(k1，k 2，)= +(k1+k21)，令=8k1+=0， =2k2+=0， =k1+k21=0，易求得 k1=即满足上述条件的所有线性估计中，当 k1= 时，相应方差最小【试题解析】 由无偏估计量的定义易求出，在条件 k1+k2=1 时，可使 k1也是 的无偏估计量然后用拉格朗日乘数法，求出线性估计中的最小方差 D(k1 )在条件 k1+k2=1 时的 k1 与 k2 之值
