1、考研数学（数学一）模拟试卷 456 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若反常积分 0-1xp-1(1-x)q-1dx 收敛，则( )（A）p0 且 q0。（B） P0 且 q0。（C） p1 且 q1。（D）p1 且 q1。2 已知函数 f(x)= 则 f(x)的一个原函数是 ( )3 设 y1=ex2 +e-x+ex，y 2=2e-x+ex，y 3=ex2 +ex 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，则该方程的通解是( )（A）y=C 1ex2 +C2e-x+2ex2 +e-x+ex。（B） y=C1ex2 +C2e-x+2ex2 +e-x。（C
2、） y=C1e-x+C2ex+3ex2 。（D）y=C 1ex2 +C2e-x+2ex。4 设 f(x)= ，则 x=0 是 f(x)的( )（A）可去间断点。（B）跳跃间断点。（C）无穷间断点。（D）振荡间断点。5 设 A、B 为 n 阶方阵，且对任意的 ，有|E-A|=|E-B|，则( )（A）|E-A|=|E-B|。（B） A 与 B 相似。（C） A 与 B 合同。（D）A、B 同时可相似对角化或不可相似对角化。6 设 A 为四阶实对称矩阵，且 A2+2A-3E=O，若 r(A-E)=1，则二次型 xTAx 在正交变换下的标准形为( )（A）y 12+y22+y32-y42。（B） y
3、12+y22+y32-3y42。（C） y12-3y22-3y32-3y42。（D）y 12+y22-3y32-3y42。7 设随机变量 X 和 Y 相互独立且均服从正态分布 N(， 2)。若 PaX-bY=12，则 a、b 应满足的条件为( )（A）a+b=1。（B） a-b=1。（C） a+b=0。（D）a-b=0。8 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 D(X)=4D(Y)，则随机变量 2X+3Y 与 2X-3Y 的相关系数为( )（A）025。（B） 028。（C） 075。（D）1。二、填空题9 曲线 在点(1，1，-2)处的法平面方程为_。10 设 y=f(x)在1，3上单调，导
4、函数连续，反函数为 x=g(y)，且 f(1)=1，f(3)=2， 13f(x)dx=52，则 12g(y)=_。11 二阶常系数非齐次线性方程 y“-5y+6y=2e2x 的通解为 y=_。12 函数 f(x， y，z)=x 2+y2+z2 在点(1，-1，0)处沿球面 x2+y2+z2=2 在该点的外法线方向的方向导数 =_。13 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=2x12+2x22+ax32+4x1x3+2tx2x3 经正交变换 x=Py 可化成标准形 f=y12+2y22+7y32，则 t=_。14 已知随机变量 X 的分布函数 F(x)是连续的严格单调函数，Y=1-2
5、X，F(0 25)=075 ，PYk=025，则 k=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 证明不等式 1+xln(x+16 计算二重积分 dxdy，其中 D 是曲线 y=4x2 和 y=9x2 在第一象限所围成的区域。17 将函数 f(x)=1-x2(0x)用余弦级数展开，并求 的和。17 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内有 f(x)0 恒成立且 xf(x)=f(x)+ ax2。由曲线 y=f(x)与直线 x=1，y=0 围成的平面图形的面积为 2。18 求函数 y=f(x)的解析式；19 a 取何值时，此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积最小?20 证
6、明：在右半平面 x0 上，曲线积分 L 与路径无关，并求一个二元函数 u=u(x，y)，使得 du=20 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2， 3，令 =1+2+3。21 证明：向量组 ，A ，A 2 线性无关；22 如果 A3=A，求秩 r(A-E)及行列式|A+2E| 。22 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+ax22+2x32+2x1x2-2bx1x3+x2x3 经过正交变换化为3y12+3y22。23 求 a，b 的值；24 求正交变换 x=Qy，使二次型化为标准形。24 设连续型随机变量 X 的概率密度为 F
7、(x)= 已知 E(X)=2，P1X3=34，求：25 a，b，c 的值；26 随机变量 Y=eX 的数学期望与方差。考研数学（数学一）模拟试卷 456 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 被积函数 f(x)=xp-1(1-x)q-1 可能的瑕点是 0 和 1。将积分区间分成两部分，即 01xp-1(1-x)q-1dx=012 xp-1(1-x)q-1dx+ 12 1xp-1(1-x)q-1dx。当 x0 +时，x p-1(1-x)q-1 ；当 x1 -时， xp-1(1-x)q-1 ；原反常积分收敛当且仅当 1-p1，1-
8、q1，即 p0 且 q0。2 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)的原函数一定是连续函数，所以 F(x)在 x=1 处连续，选项中只有A、B 两项符合。对于 B 项，当 x1 时，F(x)=ln 2x，则，F(x)=2lnxxf(x)，所以 B 项错误。由排除法可知，选 A。3 【正确答案】 A【试题解析】 由解的结构定理，知 y1-y3=e-x 是对应的齐次方程的解。y 1-y2=ex2 -e-x也是对应的齐次方程的解，从而 Y=ex2 是齐次方程的解，且 ex2 与 e-x 线性无关，即对应的齐次方程的通解为 y=C1ex2 +C2e-x。比较四个选项，只有 A 选项符合非齐次线性微分方
9、程的解的结构，故选 A。4 【正确答案】 B【试题解析】 所以 x=0 是f(x)的跳跃间断点。故选 B。5 【正确答案】 A【试题解析】 因为对任意的 ，有|E-A|=|E-B|，所以 A 的特征值等于 B 的特征值，则-A 的特征值等于-B 的特征值，故 A 项正确。若矩阵相似，则矩阵的特征值相同，但反之不成立，故 B 项错误。矩阵合同要求矩阵是实对称矩阵，但是题目中并没有明确的题设，故 C 项错误。D 项无中生有。例如 A= ，B= ，可作为反例证明 B、C、D 项均错误。6 【正确答案】 B【试题解析】 由 A2+2A-3E=O 有(A-E)(A+3E)=O，从而 r(A-E)+r(A
10、+3E)4。 又因为 r(A-E)+r(A+3E)=r(E-A)+r(A+3E) r(E-A)+(A+3E) =r(4E)=4， 所以 r(A-E)+r(A+3E)=4，则 r(A+3E)=3。 于是齐次线性方程组 (A-E)x=0 与(A+3E)x=0 分别有三个和一个线性无关的解，即 =1 与 =-3 分别是矩阵 A 的三重和一重特征值。故选 B。7 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查正态分布、独立同分布的随机变量的性质。若XN( 1， 12)，YN( 2， 22)，且 X 与 Y 相互独立，则aXbYN(a 1b2，a 212+b222)。 由正态分布的性质可知，aX-bY N(a-
11、b， a22+b22)，则 E(aX-bY)=a-b。因为 PaX-bY=12，所以 E(aX-bY)=，故 a-b=1。8 【正确答案】 B【试题解析】 记 Z1=2X+3Y，Z 2=2X-3Y，二、填空题9 【正确答案】 2x-3y+z+3=0【试题解析】 在所给的两个曲面方程两边对 x 求导得 解这个方程得 曲线在(1，1，-2)处的切向量为(1 ，-3 2，12) ，因此所求的法平面方程为(x-1)- (y-1)+ (z+2)=0，即2x-3y+z+3=0。10 【正确答案】 52【试题解析】 由 y=f(x)且 f(1)=1，f(3)=2 可知， 12g(y)dy=13xdf(x)x
12、f(x)|13-13f(x)dx=52。11 【正确答案】 C 1e2x+C2e3x-2xe2x，C 1，C 2 为任意常数【试题解析】 特征方程 2-5+6=(-2)(-3)=0 的根为 2，3。 非齐次项为 2e2x，所以非齐次方程有特解 y*=Axe2x，代入方程解得 A=-2。 因此，通解为 y=C1e2x+C2e3x-2xe2xC1，C 2 为任意常数。12 【正确答案】 2【试题解析】 球面 x2+y2+z2=2 在(1，-1，0)点的外法线向量为 n=(1，-1，0)，其方向余弦为 cos= ，cos=0，所以13 【正确答案】 1【试题解析】 二次型矩阵 由题意可知，1，2，7
13、 是 A 的特征值，所以 2+2+a=1+2+7，即 a=6，且|A|=2(8-t 2)=14，即 t=1。14 【正确答案】 05【试题解析】 已知 PYk=P1-2Xk=PX =025，又 F(x)是连续的严格单调函数，且 F(025)=075，所以 Px=025得 k=05。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 f(x)=1+xln(x+ ，则令 f(x)0 得 x0，故当 x0 时，f(x)单调递减；当 x0 时，f(x) 单调递增。所以 x=0 是 f(x)的最小值点，且 f(0)=0。于是 f(x)0，即 1+xln(x+16 【正确答案】 如图
14、所示，积分区域 D 是无界的，可表示为17 【正确答案】 将 f(x)作偶延拓，则有 bn=0，n=1，2，。所以 f(x)=1-x2=cosnx，-x。令 x=0，有又 f(0)=1，所以18 【正确答案】 将 xf(x)=f(x)+ ax2 变形得 f(x)- ax，这是一阶线性微分方程，由一阶线性微分方程的通解公式得 f(x)= ax2+Cx，x 0，1 。由 y=f(x)与 x=1，y=0 围成的平面图形的面积为 2 可知，2= 01( ax2+Cx)dx= (a+C)，即 C=4-a，故 f(x)= ax2+(4-a)x。注意到在(0，1)内需 f(x)0 成立，故还需确定 a 的取
15、值范围。f(0)=0，f(1)=4+ 当 a=0 时，f(x)=4x，满足题意；当 a 0 时，函数 f(x)开口向上，只需对称轴 0 即可，即 004；当 a0 时，函数 f(x)开口向下，对称轴0，只需 f(1)0，即-8a 0；综上所述，f(x)= ax2+(4-a)x 且-8a4 。19 【正确答案】 y=f(x)绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 V(a)=01f2(x)dx=()，由 V“(a)= +1)=0 得 a=-5-8，4，而实际问题总是存在最值，所以当 a=-5 时，旋转体的体积最小。20 【正确答案】 在右半平面 x0 上，与路径无关。所求函数为 u=(1，0) (x
16、，y)，取积分路径为(1，0)到(x，0)，再到(x，y)的折线段，则u=1x ln(x2+4y2)|0y= ln(x2+4y2)。21 【正确答案】 设 k1，k 2，k 3 是实数，满足 k1+k2A+k3A2=0，根据已知有Ai=ii，(i=1，2，3) ，所以A=A1+A2+A3=11+22+33，A 2=121+222+323，将上述结果代入k1+k2A+k3A2=0 可得(k 1+k21+k312)1+(k1+k22+k322)2+(k1+k23+k332)3=0。 1， 2， 3 是三个不同特征值对应的特征向量，则三个向量必定线性无关，因此 由于该线性方程组的系数矩阵的行列式 0
17、，因此 k1=k2=k3=0，故 ，A，A 2 线性无关。22 【正确答案】 根据 A3=A 可得 A(，A ，A 2)=(A，A 2，A 3)=(A，A 2，A)=(，A，A 2) 令 P=(，A，A 2)，则矩阵 P 是可逆的，P-1AP= =B，根据相似矩阵的秩及行列式相等，有 r(A-E)=r(B-E)=r()=2，|A+2E|=|B+2E|= =6。23 【正确答案】 令 A= ，则 f(x1，x 2，x 3)=xTAx，因为二次型经过正交变换化为了 3y13+3y22。所以矩阵 A 的三个特征值分别为1=3， 2=3， 3=0，根据矩阵特征值的和是矩阵的迹(对角元素的和)，特征值的
18、乘积是矩阵行列式的值，即有 1+2+3=4+a=6，得 a=2， 123=|A|=-2(b+2)(b-1)=0，得 b=-2 或 b=1。因为当 b=-2 时，A= ，因为 |3E-A|= =-90，所以 a=2，b=1。24 【正确答案】 当 1=2=3，解线性方程组(3E-A)x=0，得 1= 当3=0，解线性方程组(0E-A)x=0，得 3=则正交变换x=Qy，将二次型化为标准形 3y12+3y22。25 【正确答案】 由概率密度的性质，即 -+f(x)dx=1，可得 1=02axdx+24(cx+b)dx=2a+6c+2b。根据已知条件，有 E(X)=2=02ax2dx+24(cx2+bx)dx= c+6b，P1X3=3 4= 12axdx+23+b)dx= c+b。联立以上三个等式可得 a=14，b=1，c=-14。26 【正确答案】 Y=e X 的数学期望为 E(Y)=E(eX)=02 xexdx+24(- x+1)exdx= (e2-1)2。又 E(Y2)=E(e2X)=02 xe2xdx+24(- x+1)e2xdx= (e4-1)2，因此 Y=eX 的方差为 D(Y)=E(Y2)-E(Y)2= (e4-1)2- (e2-1)4= e2(e2-1)2。
