1、考研数学（数学一）模拟试卷 458 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 xnznyn，且 (yn-xn)=0，则 zn( )（A）存在且等于零。（B）存在但不一定等于零。（C）不一定存在。（D）一定不存在。2 设 f(x，y)为连续函数，D=(x，y)|x 2+y2t2，则 f(x，y)d=( )（A）f(0，0)。（B） -f(0，0)。（C） f(0，0)。（D）不存在。3 函数 f(x，y)= 在(0，0)点( )（A）不连续且不可偏导。（B）连续但不可偏导。（C）可偏导且可微。（D）可偏导但不可微。4 设 ， ， 均为大于 1 的常数，则级
2、数 ( )（A）当 时收敛。（B）当 时收敛。（C）当 时收敛。（D）当 时收敛。5 已知向量组 1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3， 4 线性相关， 1， 2， 3， 5 线性无关，则 r(1， 2， 3， 4+5)=( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。6 已知 P-1AP= ， 1 是矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量， 2， 3 是矩阵 A属于特征值 =6 的特征向量，那么矩阵 P 不能是( )（A）( 1，- 2， 3)。（B） (1， 2+3， 2-23)。（C） (1， 3， 2)。（D）( 1+2， 1-2， 3)。7 假设随机变量 X 的分布函数为 F
3、(x)，概率密度函数 f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中 f1(x)是正态分布 N(0， 2)的密度函数，f 2(x)是参数为 的指数分布的密度函数，已知F(0)=18，则( )（A）a=1 ，b=0。（B） a=34，b=14。（C） a=12，b=12。（D）a=1 4 ，b=34。8 设 X1，X n 是取自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其均值和方差分别为 ，S2，则下列服从自由度为 n 的 2 分布的随机变量是( )二、填空题9 设函数 S(x)=0x|cost|dt。则 _。10 过点(1 ，0)且切线斜率为- 的曲线与坐标轴所围成的图形的面积为_。11 设方程 确定
4、 y 为 x 的函数，其中 t 为参变量，则dydx| t=0=_。12 设 f(x)= dx=_。13 设 A 是三阶矩阵，且特征值为 1=1， 2=-1， 3=2，A *是 A 的伴随矩阵，E 是三阶单位阵，则|A| |=_。14 设随机变量 X 与 Y 相互独立，若 X 与 Y 分别服从 Xb(2，12)，Yb(3 ，12) ，则 PX+Y1=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 -ax-b)=0，试确定常数 a， b 的值。16 设抛物线 y=ax2+bx+c 过原点，当 0x1 时，y0，又已知该抛物线与 x 轴及直线 x=1 所围图形的面积为 13，试确
5、定 a，b，c 的值，使所围图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 V 最小。17 计算 I= -1|d，其中区域 D 由曲线 y= 和 x 轴围成。18 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)上可导，且 f(1)=k01k xe1-xf(x)dx，其中 k1。证明：存在 (0，1)使 f()=(1- )f()成立。19 设函数 u(x，y) 具有连续的一阶导数，l 为自点 O(0，0)沿曲线)y=sinx 至点A(，0) 的有向弧段，求下面曲线积分： l(yu(x，y)+xyu x(x，y)+y+xsinx)dx+(xu(x，y)+xyu y(x，y)+ -x)dy。20 设 A=(a
6、ij)nn 的秩为 n，求齐次线性方程组 Bx=0 的一个基础解系，其中 B=(aij)rn， rn。20 已知 A= ，且 A 的行和相等。21 求 a，b 的值；22 A 能否相似对角化，若能，请求出正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵，若不能，请说明理由。22 设随机变量 Y 服从参数为 =1 的泊松分布，随机变量 Xk= ，k=0，1。试求：23 X0 和 X1 的联合分布律；24 E(X0-X1)；25 Cov(X0，X 1)。25 设总体 X 的概率密度为 其中 0， 为未知参数，X 1，X 2，X n 为取自总体 X 的样本。26 试求 ， 的最大似然估计量27 判断 是否为
7、 的无偏估计量，并证明。考研数学（数学一）模拟试卷 458 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 xnznyn 可得 0zn-xnyn-xn，又因为 (yn-xn)=0，所以只可得到(zn-xn)=0，至于 zn 的存在性则无法判断。例如：取 xn=(-1)n+，此时有 xnznyn 且 (yn-xn)=0，但 zn 不存在。故选 C。2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x，y) 在 D 上连续，由积分中值定理可知，在 D 上至少存在一点(，)使 f(x，y)d=t 2f(，)。因为( ，) 在 D 上，所以当 t
8、0 +时，(，)(0， 0)。则 故选 A。3 【正确答案】 D【试题解析】 由于|f(x，y)|= |y|=|y|，所以 f(x，y)在(0，0)点连续。由定义可知 fx(0，0)= =0，同理可得fy(0，0)=0，故 f(x，y)在(0，0)处可偏导。因 f(x，y)-f(0，0)-f x(0，0)x-f y(0，0)y=f(x，y) ，但 0(实际上当 y0 +时，极限为 1；当y0 -时，极限为 -1)，故 f(x，y)在(0，0)处不可微。故选 D。4 【正确答案】 B【试题解析】 这里有三种类型的无穷大量：n (0)，q n(q1)，ln n(0) ，其中n+，它们的关系是 =0
9、，现考察此正项级数的一般项：1，即 。因此原级数收敛 。故选 B。5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性无关，所以可首先排除选项 A 和 B，则r(1， 2， 3， 4+5)只可能为 3 或 4。 若 r(1， 2， 3， 4+5)=3，则 4+5 可由1， 2， 3 线性表示，设 4+5=k11+k22+k33， 因为 1， 2， 3， 4 线性相关，所以 4 可由 1， 2， 3 线性表示，设 4=11+23+33， 则 5=(k1-1)1+(k2-2)2+(k3-3)3， 这和 1， 2， 3， 4 线性无关矛盾，故选 D。6 【正确答案】 D【试题解析】 若 P-
10、1AP= ，P=( 1， 2， 3)，则有 AP=P ，即A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)亦即(A 1，A 2，A 3)=(a11，a 22，a 33)。可见 i 是矩阵 A 属于特征值 ai 的特征向量(i=1，2，3) ，又因矩阵 P 可逆，因此 1， 2， 3线性无关。若 是属于特征值 的特征向量，则- 仍是属于特征值 的特征向量，故选项 A 正确。若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 ， 的线性组合仍是属于特征值 的特征向量。本题中， 2， 3 是属于 =6 的线性无关的特征向量，故2+3， 2-23，仍是 =6 的特征向量，并且 2+3， 2-23 线性无关，故选项 B 正确
11、。对于选项 C，因为 2， 3 均是 =6 的特征向量，所以 2 与 3 谁在前谁在后均正确。即选项 C 正确。由于 1， 2 是不同特征值的特征向量，因此 1+2， 1-2不再是矩阵 A 的特征向量，故选 D。7 【正确答案】 D【试题解析】 由 -+f(x)dx=a-+f1(x)dx+b-+f2(x)dx=a+b=1，知四个选项均符合这个要求。因此只好通过 F(0)=18 确定正确选项。由于 F(0)=-0f(x)dx=a-0f1(x)dx+b-0f2(x)dx=a( )=a(0)=a2=18，因此 a=14，故选 D。8 【正确答案】 D【试题解析】 由于总体 XN(， 2)，因此 2(
12、n-1)。又因为 )，因此 2(1)。 ，S 2 是相互独立的，根据 2 分布的可加性，可知 服从自由度为 n 的 2 分布。故选 D。二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 对于任意的 x(n，(n+1)，有 0n|cost|dt0xcost|dt0(n+1)|cost|dt，而 0n|cost|dt=202 costdt， 0(n+1)I|cost|dt=2(n+1)，所以 当n时，x+，所以由极限的夹逼准则有 =2。10 【正确答案】 ln2-【试题解析】 由题意可知，f(x)=- ，且 f(1)=0，对微分方程两边积分，得函数 f(x)与坐标轴所围的图形如下图所示，f(x)与 x
13、轴交于点(1， 0)，所以平面图形的面积为 S=01f(x)dx=ln2-11 【正确答案】 12【试题解析】 当 t=0 时，可得 x=0，y=2。在两个方程中对 t 求导，得：ex=6t+2，siny+(tcosy-1) =0，12 【正确答案】 1-e -1【试题解析】 积分区域如图 交换积分次序 I=01|01=1-e-1。13 【正确答案】 2 11【试题解析】 由 A 的特征值 1=1， 2=-1， 3=2，可知|A|= i=-2，|A *|=|A|3-1=4。注意到 是六阶方阵，所以=-26(-2)3|A*|=211。14 【正确答案】 3132【试题解析】 随机变量 X 与 Y
14、 相互独立，X 与 Y 分别服从 Xb(2，12)，Yb(3，12)，令随机变量函数 Z=X+Y，则 Z b(5，12)，由分布律可得 PX+Y1=PZ1=1-PZ=0=1-(12) 5=3132。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 由题设知曲线过点(0，0)，得 c=0，即 y=ax2+bx。如图所示，从 xx+dx 的面积 dS=ydx，所以S=01ydx=01(ax2+bx)dx=( bx2)|01= 由已知得当 y=ax2+bx 绕戈轴旋转一周时，则从 xx+dx 的体积dV=y2dx，所以旋转体积 V=01y2dx=01(ax2+
15、bx)2dx=)，由 b=，这是个含有 a 的函数，两边对 a 求导得令其等于 0，得唯一驻点 a=- 0，此点为极小值点，亦即体积最小，这时 b=32，故所求函数 y=ax2+bx+c=- x。17 【正确答案】 积分区域 D 如图中阴影部分： 单位圆 x2+y2=1 将区域 D 分成两部分，单位圆 x2+y2=1 内的部分记作 D1，单位圆 x2+y2=1 外的部分记作 D2，则18 【正确答案】 令 g(y)=k0yxe1-xf(x)dx，则 g(0)=0，g(1k)=f(1) ，由拉格朗日中值定理可知，存在 (0，1k)，使得 故 kf(1)=ke1-f()，即 f(1)=e1-f()
16、。再令 (x)=xe1-xf(x)，则 (0)=0，(1)=f(1)，所以 (1)=f(1)=()，由罗尔定理可知，存在 (，1) (0，1)，使得 ()=0，即 e1- f()-f()+f()所以 f()=(1- )f()。19 【正确答案】 原式=I 1+I2，其中 I1=l(yu(x，y)+xyu x(x，y)dx+(xu(x ，y)+xyuy(x，y)dy= ld(xyu(x，y)=xyu(x，y)| (0，0) (0，0) =0。I 2=l(y+xsinx)dx+( -x)dy=20dx0sinxdy+0sinxdx=4+。故原式=4+。20 【正确答案】 因为 r(A)=n，即|A
17、|0，所以 r(B)=r，则 Bx=0 的基础解系所含向量个数为 n-r。由 r(A)=n，可得 A 的伴随矩阵 A*的 r(A*)=n，令由于 r(A*)=n，所以 r(r+1， n)=n-r，而由于 所以 Bi=0(i=r+1，n)。即 r+1， n 都是 Bx=0 的解，故 r+1， n 是 Bx=0 的一个基础解系。21 【正确答案】 由于矩阵行和相等，且第三行的行和为 5，所以有1+a+2=5，2+b+a=5，解得 a=2，b=1。22 【正确答案】 将 a 和 b 的值代入矩阵得 可知 A 是实对称矩阵，故 A一定可以相似对角化。由|E-A|=0 可得(+1) 2(-5)=0，解得
18、 =-1(二重根)和 5。由(-E-A)x=0 可得线性方程组的基础解系为(1，0，-1) T，(0，1，-1) T，即特征值-1 所对的两个线性无关的特征向量为 1=(1，0，-1) T， 2=(0，1，-1) T。又因矩阵 A 的行和为 5，所以特征值 5 对应的一个特征向量为 3=(1，1，1) T。将上述三个向量正交化，得 1=(1，0，-1) T， 2=2- )T， 3=(1，1，1) T，将其单位化即得正交矩阵23 【正确答案】 PX 0=0，X=0=PY0，Y1=PY=0=e -1，PX 0=1，X 1=0=PY0，Y1=PY=1=e -1，PX 0=0，X 1=1=PY0，Y1
19、=0，PX 0=1，X 1=1=PY0，Y1=PY1=1-PY=0-PY=1=1-2e -1。所以X0 和 X1 的联合分布律为：24 【正确答案】 由上知，X 0 和 X1 的边缘分布律为：所以，E(X 0-X1)=E(X0)-E(X1)=(1-e-1)-(1-2e-1)=e-1。25 【正确答案】 由上两小题的计算结果，X 0X1 的分布律为：Cov(X0，X 1)=E(X0X1)-E(X0)E(X1)=1-2e-1-(1-e-1)(1-2e-1)；e -1-2e-2。26 【正确答案】 根据题意，极大似然函数为 上式取 ln 后对 求偏导，有 由于似然函数要求 xi，因此可得=max=minX1，X 2，X n。上式取 ln 后对 求偏导，有可得 xi-minX1，X 2，X n。27 【正确答案】 判断 是否为 的无偏估计量需计算当 t 时， (t)=0。当 t 时， (t)=PminX1，X 2，X nt=1-PminX1，X 2，X nt=1-P(X1t，X 2t，X nt)=1-P(X 1t) n=1-1-P(X1t)n=1-1-t dn=1-因此可知又因为因此可得由于 不是 的无偏估计量。
