1、考研数学（数学一）模拟试卷 459 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 x0 时 a2x+bx+c-cosx 是 x2 的高阶无穷小量，其中 a，b，c 是常数，则( )（A）a=1 2 ，b=0，c=1。（B） a=-12，b=0，c=0。（C） a=-12，b=0，c=1。（D）a=1 2 ，b=0，c=0。2 设函数 f(x)在 x=4 处连续，且 =-4，则曲线 y=-f(x)在点(4，f(4)处的切线方程是( )（A）4x-y-12=0 。（B） 4x+y-12=0。（C） x-4y-12=0。（D）x-4y+12=0。3 设函数 f(x
2、)=x2，0x 1 ，而 s(x)= bnsinnx，-x+，其中 bn=21f(x)sinnxdx，n=1，2，3，则 s(-12)等于( )（A）-1 2。（B） -14。（C） 14。（D）12。4 设 I=06 dx，则 I，J，K 的大小关系是( )（A）IJK。（B） IKJ。（C） JIK。（D）KJI。5 设 A 是 54 矩阵，A=( 1， 2， 3， 4)，若 1=(1，1，-2，1) T， 2=(0，1，0，1)T 是 Ax=0 的基础解系，则 A 的列向量的极大线性无关组是( )（A） 1， 3。（B） 2， 4。（C） 2， 3。（D） 1， 2， 4。6 设矩阵 A
3、= ，则下列矩阵中与矩阵 A 等价、合同但不相似的是( )7 设 A，B 是两个随机事件，当 A，B 同时发生时，事件 C 一定发生，下列结论正确的是( )（A）P(C)=P(A+B)。（B） P(C)=P(AB)。（C） P(C)P(A)+P(B)-1。（D）P(C)P(A)+P(B)-1 。8 设随机变量 X 服从分布 F(n，n)，记 P1=PX1，P 2=P1X1，则( )（A）P 1P 2。（B） P1P 2。（C） P1=P2。（D）因 n 未知，无法比较 P1，P 2 大小。二、填空题9 10 02 ln(sinx)dx=_。11 设 f(x，y)可微 f(x，x 2)=1 且
4、fx(x，y) =x。当 x0 时，f y(x，想 2)=_。12 设 =(x，y，z)|x 2+y2+z21，则 Z2dxdydz=_。13 设 n 阶方阵 A=(aij)的主对角线元素为 2，当|i-j|=1 时，a ij=-1，其他元素为 0，则|A*|=_。14 相互独立的随机变量 X1 和 X2 均服从正态分布 N(0，12)，则 D(|X1-X2|)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算二重积分 xarctanydxdy，其中积分区域 D 是由抛物线 y=x2 和圆 x2+y2=2 及x 轴在第一象限所围成的平面区域。16 求微分方程(1+x)y“=k
5、(x0)满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，其中常数k0。17 计算曲线积分 I= (y)cosx-ydx+(y)sinx-dy。其中 (y)具有连续的导数，曲线 为从 A(，2)到 B(3，4)在直线 AB 下方的任意路径，该曲线与直线 AB 所围成的区域面积为 2。18 计算曲面积分 ，其中 S 是曲面 x2+y2=R2 及两平面 z=R，z=-R(R 0)所围成的立体表面的外侧。18 设数列x n满足 x10， xn+1=sinxn，n=1，2， 。19 证明 xn 存在；20 计算 xn。21 当 a，b 取何值时，方程组 有唯一解，无解，有无穷多解?当方程组有解时，求通解。
6、22 已知 1=(1，2，1) T， 2=(1，1，a) T 分别是三阶实对称不可逆矩阵 A 的属于特征值 1=1 与 2=-1 的特征向量。若 =(8，0，10) T，试求 Ak。22 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求：23 (X， Y)的边缘概率密度 fX(x)，f Y(y)；24 Z=2X-Y 的概率密度 fZ(z)；25 PY12|X12的值。25 设总体 X 服从区间0，上的均匀分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本， Xi，X (n)=maxX1，X n。26 求 的矩估计量和最大似然估计量；27 求常数 a， b，使 =bX(n)的数学期望均为 ，并
7、求 D( )。考研数学（数学一）模拟试卷 459 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由题意得 (a2x+bx+c-cosx)=0，故得 c=1。又因为所以 a=-12，b=0。故选 C。2 【正确答案】 A【试题解析】 令 5-x=4+x，则 x=1-x，代入所给极限可得由 f(x)在点 x=4 处连续及上式可得 f(4)= f(4+x)=4，把 f(4)=4 代入(*)式，得=4，这表明 f(x)在 x=4 处可导，且 f(4)=4。由导数的几何意义即得曲线 y=f(x)在点(4，f(4)=(4，4)处的切线方程是 y=
8、f(4)+f(4)(x-4)，即 4x-y-12=0。3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 s(x)是正弦级数，所以此傅里叶级数是对 f(x)在(-1，0)内作奇延拓后展开的，于是和函数 s(x)在一个周期内的表达式为从而 s(-12)=-(-1 2) 2=14，故选 B。4 【正确答案】 B【试题解析】 令 f(x)=tanx-cosx。当 0x 6 时，f(x)=sec 2x+sinx0，则 f(x)在(0， 6)上单调递增，所以 f(x)f(6)= 0，即 tanxcosx。又因为当0x6 时， sinxxtanx，所以 sinxtanx cosx，于是sinxxtanxxcosxx，
9、由定积分的保不等式性可得 IK J。5 【正确答案】 C【试题解析】 由 A1=0 知 1+2-23+4=0， 由 A2=0 知 2+4=0， 因为 n-r(a)=2，所以 r(a)=2，所以可排除选项 D； 由知 2， 4 线性相关，故应排除选项 B； 把代入得 1-23=0，即 1， 3 线性相关，排除选项 A； 如果 2， 3线性相关，则 r(1， 2， 3， 4)=r(23， 2， 3，- 2)=r(2， 3)=1 与 r(a)=2 相矛盾，因此 2， 3 线性无关。故选 C。6 【正确答案】 D【试题解析】 由|E-A|= =(-3)(+3)可知，矩阵 A 的特征值是3，-3， 0，
10、故 r(A)=2，二次型 xTAx 的正、负惯性指数均为 1。选项 A 中的矩阵的秩为 1，不可能与矩阵 A 等价；选项 B 中矩阵的特征值为 1，4，0，正惯性指数为2，负惯性指数为 0，与矩阵 A 既不合同也不相似，但等价 (因为秩相等)；选项 C中矩阵的特征值为 3，-3，0，与矩阵 A 不仅等价、合同，而且也是相似的，不符合题意；对于选项 D，记其矩阵为 D，则有|E-D|= =(-1)(+1)，可知D 的特征值是 1，-1，0，x TAx 与 xTDx 的正、负惯性指数一样，所以它们合同但不相似(因为特征值不同) ，故选 D。7 【正确答案】 C【试题解析】 因为事件 A，B 发生时
11、，事件 C 一定发生，所以 AB C，于是 P(C)P(AB)，而 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)P(A)+P(B)-1，故 P(C)P(A)+P(B)1。故选C。8 【正确答案】 C【试题解析】 如果 XF(m，n)，则 1XF(n，m)。由题中条件知 m=n。于是X 与 1X 都服从分布 F(n，n)。事件X1与1X1相同，因此 PX1=P1X1=P 1。 又因 X 与 1X 同分布，因此 P1X1)=px1=P 2。 综上分析知，P 1=P2。故选 C。二、填空题9 【正确答案】 e -12【试题解析】 所以 I=e-12 。10 【正确答案】 - ln2【试题解析】 令
12、x=2t，则 I=204 ln(sin2t)dt=204 4(ln2+lnsint+lncost)dt= ln2+204 lnsint+204 lncostdt。令 u= -t，则 04 lncostdt=4 2 lnsinudu，所以 I= ln2+204 lnsintdt+24 4 lnsintdt= ln2+2I因此 I=- ln2。11 【正确答案】 -12【试题解析】 f(x 2)是二元函数 f(x，y)与一元函数 x=x，y=x 2 复合而成的一元函数，由 f(x，x 2)=1 及复合函数求导法则得 f(x，x 2)=fx(x，x 2)+fy(x，x 2)(x 2)=x+fy(x，
13、x 2)2x=0，因此 fy(x，x 2)=-12。12 【正确答案】 415【试题解析】 利用球面坐标。13 【正确答案】 (n+1) n-1【试题解析】 根据题意令 按行展开，得Dn=2Dn-1-Dn-2，且 D2=3，D 1=2，故|A|=D n=n+10，对 AA*=|A|E 两边取行列式得|AA*|=|A|n，故|A *|=|A|n-1=(n+1)n-1。14 【正确答案】 1-【试题解析】 随机变量 X1 和 X2 均服从正态分布 N(0，12)，记 Z=X1-X2，则ZN(0，1) ，因此有概率密度 (z)= D(|X1-X2|)=D(|Z|)=E(|Z|2)-E(|Z|)2=E
14、(Z2)-E(|Z|)2=D(Z)+E(Z)2-E(|Z|)2，其中 D(Z)=1，E(Z)=0，E(|Z|)= -+|z|(z)dz=-+|z| 因此可得 D(|X1-X2|)=1+0-三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 积分区域 D 的图形如图所示： 积分区域 D=(x，y)|0y1， ，则16 【正确答案】 令 p=y，则 y“=p，故有(1+x)p=k ，两边积分得 ln(p+ )=kln(1+x)+lnC1，即 p+ =C1(1+x)k。由 p(0)=y(0)=0 可知，C1=1，故 +p=(1+x)k，上式分子有理化，得 故由 r(0)=0 得 C
15、2=-，因此特解为17 【正确答案】 添加一条边 BA，则 I= (y)cosx-ydx+(y)sinx-dy+ (y)cosx-ydx+(y)sinx-dy。曲线与直线 AB 所围成的区域记为 D，由格林公式可得 (y)cosx-ydx+(y)sinx-dy 由于 D 的面积为 2，可知 dxdy=2。直线 AB 的方程为 y= +1，则从而 I=-62。18 【正确答案】 令 S1= 取外侧，则有 令 Dxy： 表示 S1，S 2 在xOy 面上的投影区域，则有令 Dyz：表示 S3 在 yOz 面的投影区域，则有19 【正确答案】 由于 x10，且-1sinx1，所以-1x 2=sinx
16、11。由数学归纳法可知对一切的 n=2，3，有-1x n1，则|x n|1，即数列|x n|有界。又因为|xn+1|=|sinxn|x n|，所以数列|x n|单调递减且有界。由单调有界准则可知， |xn|存在。设该极限为 a，对 |xn+1|=|sinxn|两边取极限，得 a=sina，显然 a=0，即|xn|=0，所以 xn=0。20 【正确答案】 由于数列x n的符号不确定，所以分以下三种情况考虑(k=1，2，3，)：当 x1=k 时，x n=0，则 xn=0；当 2(k-1)x 1(2k-1) 时，x n0；当(2k-1)， x 12k 时，x n0；对于和 ，考虑xn2。由上可知，当
17、 n时，x n0，故上式可变形为 因为xn2=1。综上所述21 【正确答案】 将增广矩阵用初等行变换化为阶梯形当 a=-1，b36 时，r(A)=3，r( )=4，方程组无解。 当 a-1 且 a6 时，r(A)=r( )=4，方程组有唯一解，其解为 当 a=-1，b=36 时，r(A)=r( )=3，方程组有无穷多解，此时方程组化为令 x4=0，有 x3=0，x 2=-12，x 1=6，即特解是 =(6，-12，0，0) T。令 x4=1，解齐次方程组有 x3=0，x 2=5，x 1=-2，即 =(-2，5，0，1) T是基础解系。所以通解为 +k=(6，-12 ，0，0) T+k(-2，5
18、，0，1) T，k 是任意常数。当 a=6 时，r(A)=r( )=3，方程组有无穷多解，此时方程组化为令 x3=0，有特解令 x3=1，齐次方程组基础解系 =(-2，1，1，0) T。所以通解为 +k=( )T+k(-2，1，1，0) T，k 是任意常数。22 【正确答案】 由 A 不可逆可知，A 有特征值 3=0，设特征值 0 对应的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T。注意到 A 为实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量必正交，故由 1T 2=0， 1T 3=0， 2T 3=0 可得 解得 =-3，x 1=7x3，x 2=-4x3。令 3=(7，-4，1) T，将 写成 1， 2，
19、 3 的线性组合，由初等行变换( 1， 2， 3，)可得 =31-22+3。由 Aki=iki(i=1，2，3) 得到 Ak=Ak(31-22+3)=3Ak1-2Ak2+Ak3=31k1-2k22=31-2(-1)k2=(3+2(-1)k+1，6+2(-1) k+1，3+6(-1) k)T，其中 k 为正整数。23 【正确答案】 根据边缘概率密度的定义24 【正确答案】 当 z0 时，F Z(z)=0；当 0z2 时，当 z2 时， FZ(z)=1。因此25 【正确答案】 X，Y 所围区域如图所示26 【正确答案】 总体 X 的密度函数、分布函数分别为E(X)=2，令 E(X)= ，解得 的矩估计量为 样本 X1，X n 的似然函数为 L(x1， ，x n；)=L()为 的单调减函数，且 0xi，即 要取大于 xi 的一切值，所以 的最小取值为 maxx1，x n， 的最大似然估计量 =maxX1，X n=X(n)。27 【正确答案】 由于 E(X)=2，D(X)= 212，所以 =E( )=E(X)=a2，则 a=2，且 X(n)的分布函数 F(n)(x)及密度函数 f(n)(x)分别为 F(n)(x)=PX(n)x= PXix=F(x)n，
