1、考研数学（数学一）模拟试卷 461 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 D 为有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内满足：0，则( )（A）f(x，y)在 D 内取到最小值和最大值（B） f(x，y)在 D 内取到最小值但取不到最大值（C） f(x，y)在 D 内取到最大值但取不到最小值（D）f(x，y)在 D 内既取不到最大值又取不到最小值2 当 x0 时，f(lnx)= ，则 2axf(x)dx 为( )3 当 x0 时，无穷小的阶数最高的是( )（A）（B） tanx 一 x（C） (1+tanx)ln(1+2
2、x)一 1（D）(1 一 )arcsinx4 设为由直线 绕 x 轴旋转产生的曲面，则上点 P=(一 1，1，一 2)处的法线方程为( ) 5 设 A 为三阶矩阵，特征值为 1=2=1， 3=2，其对应的线性无关的特征向量为1， 2， 3，令 P1=(13， 2+3， 3)，则 P1A*P1=( )6 设 A，B 为 n 阶方阵，令 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，则下列命题正确的是( )（A）若矩阵 A，B 等价，则向量组 1， 2， n 与向量组 1， 2， n 等价（B）若 A，B 的特征值相同，则 A，B 等价（C）若 AX=0 与 BX=0 同解，则 A，B 等价（
3、D）若 A，B 等价，则 AX=0 与 BX=0 同解7 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（A）是阶梯函数（B）恰有一个间断点（C）至少有两个间断点（D）是连续函数8 设 X1，X 2，X 3，X 4，X 5，是来自总体 N(1，4)的简单随机样本，F(1，3) ，则 a=( )（A）2（B）（C）（D）1二、填空题9 设由 ey+x(yx)=1+x 确定 y=y(x)，则 y“(0)=_10 设 =(x，y，z)x 2+y2+(z1)21，x0，y0)，则=_11 设 t0，D 1=(x，y) 0xy，ty1)，则 =_12 微分方程
4、y“一 3y+2y=2ex 满足 =1 的特解为_13 已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，一3，0，则B 1+2E=_14 设 XE()，YE()且 X，Y 相互独立，Z=minX，Y，则 PZE(Z)= _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 =2证明：()存在 c(0，1)，使得 f(c)=0；() 存在 (0，1)，使得 f“()=f()；()存在(0，1) ，使得 f“()一 3f()+2f()=016 计算 I= (x2+y2)zdxdyydzdx，其中三为 z=x2+y
5、2 被 z=0 与 z=1 所截部分的下侧17 设方程 =0，求常数 a18 将函数 f(x)= 19 设曲线 y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与 x 轴相切，P(x ，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为 l1，点 P 处的切线与 y 轴交于点 A，点 A，P 之间的距离为 l2，又满足 x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲线 y=y(x)20 设 A= 讨论当 a，b 取何值时，方程组 AX=b 无解、有唯一解、有无数个解，有无数个解时求通解21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32 一 2x1x2 一 2x1x3+2ax2x3(a0)通过正交变换
6、化为标准形 2y12+2y22+by32 ()求常数 a，b； ()求正交变换矩阵； ()当X=1 时，求二次型的最大值22 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，其中 PX=i)= ，i=1，2，3 令U=maxX，Y，V=minX ，Y()求(U ，V)的联合分布；()求 P(U=V)；()判断 U，V 是否相互独立，若不相互独立，计算 U，V 的相关系数23 设 X 的密度为 f(x)= 其中 0 为未知参数 ()求参数 的最大似然估计量 () 是否是参数 的无偏估计量?考研数学（数学一）模拟试卷 461 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正
7、确答案】 D【试题解析】 对区域 D 内任意一点(x，y)，所以 D 内任意一点都不是最值点，故f(x，y)在 D 内既取不到最小值又取不到最大值，应选(D) 2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 由(1+tanx) ln(1+2x)一 1=eln(1+2x)ln(1+tanx)ln(1+2x)ln(1+tanx)2x 2 得 (1+tanx) ln(1+2x)为 2阶无穷小；由 arcsinx 为 3 阶无穷小，故选(A)4 【正确答案】 D【试题解析】 设 M(x，y ，z) 为曲面上的任意一点，过 M 点且垂直于 z 轴的圆交直线于点 M0(x，y 0，z
8、0)，圆心为 T(x，0，0)，由MT=M 0T得y2+z2=y02+z02 因为 ，所以 y0=一 x，z 0=2x，故曲面的方程为 5x2一 y2 一 z2=0 曲面上点 P(一 1，1，一 2)处的法向量为 n=10x，一 2y，一 2zP=一 10，一 2，4 ， 法线为 ，选(D)5 【正确答案】 A【试题解析】 A *的特征值为 2，2，1，其对应的线性无关的特征向量为1， 2， 3，选(A)6 【正确答案】 C【试题解析】 由 A，B 等价得 r(A)=r(B)，从而向量组 1， 2， n 与向量组1， 2， n 的秩相等，但两向量组秩相等不一定可相互线性表示，即不一定等价，不选
9、(A) ； 若 A，B 特征值相同，r(A)与 r(B)不一定相等，从而 A，B 不一定等价， 如：A= ，显然 A，j6I 的特征值相同，但 r(A)=1r(B)=2，故 A，B 不等价，不选(B)； 若方程组 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B)，从而 A，B 等价，反之不对，应选(C)7 【正确答案】 B【试题解析】 F Y(y)=PYy=PminX，2y)=1 一 PminX，2y =1 一PXy，2y=1 一 PXy)P2 y， 当 y2 时，F Y(y)=1；8 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 一 3【试题解析】 当 x=0 时，y=0，
10、e y+x(yx)=1+x 两边对 x 求导得 一 eyy+yx+x(y一 1)=1，代入得 y(0)=一 1； 一 eyy+yx+x(y一 1)=1 两边再对 x 求导得 ey(y)2 一 eyy“+2y一 2+xy“=0，代入得 y“(0)=一 310 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 y=一 3ex+3e2x 一 2xex【试题解析】 特征方程为 2 一 3+2=0，特征值为 1=1， 2=2，y“一 3y+2y=0 的通解为 y=C 1ex+C2e2x令原方程的特解为 y0(x)=Axex，代入原方程为 A=一 2，原方程的通解为 y=C
11、 1ex+C2e2x 一 2xex 由 =1 得 y(0)=0，y(0)=1，代入通解得C1=一 3，C 2=3，特解为 y=一 3ex+3e2x 一 2xex13 【正确答案】 一 8【试题解析】 因为 A 的特征值为 3，一 3，0，所以 AE 的特征值为 2，一 4，一1，从而 AE 可逆，由 E+BAB 得(AE)BE ，即 B 与 AE 互为逆阵，则 B的特征值为 ，一 1，B 1 的特征值为 2，一 4，一 1，从而 B1+2E 的特征值为 4，一 2，1，于是B 1+2E= 一 814 【正确答案】 【试题解析】 服从参数为 的指数分布的随机变量的分布函数为Z 的分布函数为 FZ
12、(z)=PZz=1 一 PZz=1 一PXz，Y z =1 一 PXzPY z=1 一1 一 F(z)1 一 F(z)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 由 =2 得 f(0)=0 ，f +(0)=1，f(1)=0 ，f (1)=2由 f+(0)0，存在 x1(0，1)，使得 f(x1)f(0)=0；由 f(1)0，存在x2(0，1)，使得 f(x2)f(1)=0因为 f(x1)f(x2)0，所以由零点定理，存在c(0，1)，使得 f(c)=0 ()令 h(x)=exf(x)，因为 f(0)=f(c)=f(1)=0，所以 h(0)=h(c)=h(1)=0
13、，由罗尔定理，存在 1(0，c) ， 2(c，1)，使得 h(1)=h(2)=0，而 h(x)=exf(x)+f(x)且 ex0，所以 f(1)+f(1)=0，f( 2)+f(2)=0 令 (x)=exf(x)+f(x)，因为 (1)=(2)=0，所以存在 (1， 2) (0，1) ，使得 ()=0，而 (x)=exf“(x)一 f(x)且 ex0，于是 f“()=f() ( )令 h(x)=exf(x)，因为 f(0)=f(c)=f(1)=0，所以 h(0)=h(c)=h(1)=0 由罗尔定理，存在 1(0，c)， 2(c，1)，使得 h(1)=h(2)=0，而 h(x)=exf(x)一 f
14、(x)且 ex0，所以 f(1)一 f(1)=0，f( 1)一 f(2)=0 令(x)=e2xf(x)一 f(x)，因为 (1)=(2)=0，所以存在 (1， 2) (0，1)，使得()=0，而 (x)=e2xf(x)一 3f(x)+2f(x)且 e2x0，于是 f“()一 3f()+2f()=016 【正确答案】 令 1：x 2+y21，取上侧，17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 由已知条件得 y(0)=0，y(0)=0 ，l 1= ；P(x，y)处的切线为 Yy=y(Xx)，令 X=0，则 Y=yxy，A 的坐标为(0，yxy)，20 【正确答案】 情形一：a0 当 a0 且 ab+10 时，方程组有唯一解；当 a0 且 ab+1=0 时，方程组有无数个解，21 【正确答案】 () 令 A= ，则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX因为二次型经过正交变换化为 2y12+2y22+by32，所以矩阵 A 的特征值为1=2=2， 3=b由()因为 Q 为正交矩阵所以X=1 时，Y=1 ，当Y=1 时，二次型的最大值为 222 【正确答案】 (1)U ，V 的可能取值为 12，3显然 P(UV)=023 【正确答案】 () 似然函数为
