1、考研数学（数学一）模拟试卷 463 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则 f(x)有( ) （A）两个可去间断点（B）两个无穷间断点（C）一个可去间断点，一个跳跃间断点（D）一个可去间断点，一个无穷间断点2 若 f“(x)在(0，2) 上连续， ，则( )（A）点(1 ，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(1)是函数 y=f(x)的极小值（C） f(1)是函数 y=f(x)的极大值（D）点(1 ，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点，f(1)也不是函数 y=f(x)的极值3 下列反常积分收敛的是( )4 设正项级数 发散，
2、令 Sn=a1+a2+an，则下列结论正确的是 ( )5 设 A 为 m 阶可逆矩阵，B 为 n 阶可逆矩阵，A =a，B=b，则 等于( )6 设 A=(1， 2， 3， 4)为四阶方阵，且 1， 2， 3， 4 为非零向量组，设 AX=0的一个基础解系为(1，0，一 4，0) T，则方程组 A*X=0 的基础解系为( )（A） 1， 2， 3（B） 1， 3， 1+3（C） 1， 3， 4（D） 1+2， 2+24， 47 设 XN(1 ，4) ，YN(3，16)，PY=aX+b=1，且 XY=一 1，则( )（A）a=2 ，b=5（B） a=一 2，b=一 5（C） a=一 2，b 一
3、5（D）a=2 ，b=一 58 设 X，Y 相互独立，且都服从参数为 的指数分布，下列结论正确的是( )（A）X+YE(2)（B） XYE(2)（C） minX，Y)E(2)（D）maxX，Y)E(2)二、填空题9 微分方程 x2y“+3xy+y=0 有极值 y(1)=2 的特解 y(x)，则 y(x)= _10 +0tdxxtsin(xy)2dy=_11 设 为过直线 L： 且与平面 x 一 2y+z 一 3=0 垂直的平面，则点 M(3，一 4，5)到平面 的距离为_12 设：x 2+y2+z2=4 取内侧，又函数 u=u(x，y，z)满足=_13 设 1= 为三维空间的两组不同的基，令
4、=1+2233，则 在基 1， 2， 3 下的坐标为_14 设 XN(1，4) ，YB(3 ， )且 X，Y 相互独立，则 PXY+1X+Y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x，y)在(2，一 2)处可微，满足 f(sin(xy)+2cosx，xy 一 2cosy)=1+x2+2y+o(x2+y2)， 这里 o(x2+y2)表示比 x2+y2 为高阶无穷小(x，y)(0 ，0)时)，试求曲面 z=f(x，y)在点(2，一 2，f(2，一 2)处的切平面16 设 f(x)=1+x(0x1)() 将 f(x)展开成余弦级数，并求 ；()将 f(x)展开成正弦级
5、数17 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(0ab )证明：存在 ， (a，b)，使得18 设 f(x)在1，+)上有连续的二阶导数，f(1)=0， f(1)=1，且二元函数 z=(x2+y2)f(x2+y2)满足 =0，求 f(x)在1，+) 的最大值19 计算曲面积分 I= 2x3dydz+2y3dzdx+3(x21)dxdy，其中三为曲面 z=1 一 x2 一y2(z)的上侧20 a，b 取何值时，方程组 有唯一解、无解、有无穷多个解?有无穷多个解时，求出其通解21 设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 为三维列向量且 10，若A1=1，A 2=1+2，A 3=2+3 ()
6、证明：向量组 1， 2， 3 线性无关 ()证明：A 不可相似对角化22 有甲、乙、丙三个盒子，第一个盒子里有 4 个红球 1 个白球，第二个盒子里有3 个红球 2 个白球，第三个盒子里有 2 个红球 3 个白球，先任取一个盒子，再从中先后取出 3 个球，以 X 表示红球数()求 X 的分布律；()求所取到的红球不少于 2 个的概率23 设总体 X 的密度函数为 f(x；)= (一 x+)， 其中 0 为未知参数，(X1，X 2，X n)为来自总体 X 的简单随机样本，求参数 的矩估计量和极大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 463 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选
7、项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 x=0，x=1 为 f(x)的间断点由 f(1 一 0)f(1+0)，得 x=1 为 f(x)的跳跃间断点，应选 (C)2 【正确答案】 C【试题解析】 由0， 当x(1 一 ，1)时，f(x)0 ；当 x(1，1+)时，f(x) 0，从而 x=1 为 f(x)的极大值点；由 0，从而 f“(x)0，即(1 ，f(1) 不是 y=f(x)的拐点，应选(C)3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 选(D)6 【正确答案】 D【试题解析】 由 r(A)=3 得 r(A*)=1，则
8、A*X=0 的基础解系由三个线性无关的解向量构成 由 1 一 43=0 得 1， 3 成比例，显然(A)、(B)、(C)不对，应选(D) 7 【正确答案】 C【试题解析】 由 E(Y)=aE(X)+b 得 a+b=3， 再由 D(Y)=a2D(X)得 4a2=16， 因为XY=一 1，所以 a0，于是 a=一 2，b=5，应选(C)8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 XE()，YE() ，所以 FX(x)=令 Z=minX，Y ，则 F Z(z)=PZz=1 一PZz=1 一 PXz，Yz =1 一 PXz)PY z=1 一1 一 PXz1 一PYz =1 一 1 一 FX(z)1 一 F
9、y(z)当 z0 时，F Z(z)=0；当 z0 时，F Z(z)=1一 e2z于是 FZ(z)= 即 ZE(2)，选(C)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 交换积分次序得 0tdxxtsin(xy)dy=0tdy0ysin(xy)dx11 【正确答案】 【试题解析】 过直线 L： 的平面束为 (2xz 一 4)+(2y+3z+2)=0，即 2x+2y+(3 一 1)z+2 一 4=0，由2，2 ， 311，一 2，1=0 得=1，从而 ：x+y+z 一 1=0，于是 d= 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 (4，2，2)【试题解析
10、】 由( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)Q，可得 Q=(1， 2， 3)1(1， 2， 3)=，= 1+2233=(1， 2， 3)(1，2，一 3)T=(1， 2， 3)Q(1， 2，一 3)T=(1， 2， 3) =一 4122+23，则 在基 1， 2， 3 下的坐标为(一 4，一 2，2)14 【正确答案】 【试题解析】 PXY+1 X+Y=P(X 一 1)(Y 一 1)0 =PX1，y1PX1，y1 =PX1Py 1+P(X1Py1 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 f(x，y)在(2 ，一 2)处可微，所以 f(x，y)在(2，一 2
11、)处连续取(x，y)=(0，0)得 f(2，一 2)=1因为 f(x，y)在(2，一 2)处可微，所以 f(x，y)在(2 ，一 2)处可偏导，令 y=0 得 f(2cosx，一 2)=1+x2+o(x2)，故曲面：z=f(x，y)在点(2，一 2，1)处的法向量为 n=1，一 1，1 ，切平面方程为：(x 一 2)一 (y+2)+(z 一 1)=0，即 ：xy+z 一 5=016 【正确答案】 () 将 f(x)进行偶延拓和周期延拓，则 a0= 201f(x)dx=201(1+x)dx=3， an=201f(x)cosnxdx=201cosnxdx()将 f(x)进行奇延拓和周期延拓，则 a
12、n=0(n=0，1，2，)，b n=201f(x)sinnxdx=201(1+x)sinnxdx17 【正确答案】 令 g(x)=一 cosx， g(x)=sinx0(axb)，18 【正确答案】 19 【正确答案】 补充 0：z=0(x 2+y21)，取下侧，20 【正确答案】 当 a=1，b=一 1 时，方程组有无穷多个解，通解为 X=k 1(1，一 2，1，0) T+k2(1，一 2，0，1)T+(一 1，1，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)21 【正确答案】 () 由 A1=1 得(AE) 1=0，由 A2=1+2 得(A E)2=1，由A3=2+3 得(A E)3=2令 k
13、11+k22+k33=0， 1)两边左乘以(A E)得 k21+k32=0， 2)两边再左乘(AE) 得 k31=0，由 10得 k3=0，代入 2)得 k21=0，则 k1=0，再代入 1)得 k11=0，从而 k1=0，于是 1， 2， 3 线性无关(2)令P=(1， 2， 3)，由(A 1，A 2，A 3)=(1， 1+2， 1+3)得 AP=B，由E 一 A=E 一 B=( 一 1)3=0 得 A 的特征值为 =1，EB= ，因为 r(EB)=2，所以 B只有一个线性无关的特征向量，即 B 不可相似对角化，而 AB，故 A 不可相似对角化22 【正确答案】 () 令 Ak=所取为第尼个盒子)(k=1，2，3)，则 P(A1)=P(A2)=P(A3)= ，随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，由全概率公式得23 【正确答案】 E(X)=0，
