1、考研数学（数学一）模拟试卷 464 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）连续，但不可偏导（B）可偏导，但不连续（C）连续、可偏导，但不可微（D）可微2 设 f(x)= 且 f“(0)存在，则( )（A）a=2 ，b=2，c=1（B） a=一 2，b=一 2，c= 一 1（C） a=一 2，b=2，c=1（D）a= 一 2，b=2，c=一 13 设 f(t)= 为( )4 设 f(x)满足： =0，x 2f“2(x)一 x2f2(x)=1 一 e2x 且 f(x)二阶连续可导，则( )（A）
2、x=0 为 f(x)的极小值点（B） x=0 为 f(x)的极大值点（C） x=0 不是 f(x)的极值点（D）(0 ，f(0) 是 y=f(x)的拐点5 设 A，B 及 A*都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB=O，则 r(B)=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）设 r(A)=r，则 A 有 r 个非零特征值，其余特征值皆为零（B）设 A 为非零矩阵，则 A 一定有非零特征值（C）设 A 为对称矩阵，A 2=2A，r(A)=r，则 A 有 r 个特征值为 2，其余全为零（D）设 A，B 为对称矩阵，且 A，B 等价，则 A，B
3、特征值相同7 设二维随机变量(x，y) 的联合密度函数为 f(x，y)= 则k 值为( ) （A）2（B） 4（C） 6（D）88 已知 E(X)=1，E(X 2)=3，用切比雪夫不等式估计 P一 1X4a，则 a 的最大值为( )二、填空题9 设 f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为=_10 =_。11 过(2 ，3) 作曲线 y=x2 的切线，该曲线和切线围成的图形的面积为_12 设 f(x)在区间一 3，0)上的表达式为 f(x)= 则其正弦级数在点 x=20 处收敛于_13 设 A 为三阶实对称矩阵，= 为方程组(2EA)X=0 的一个解，E+A=0 ，则 A=_14 设总
4、体 XE()，且 X1，X 2，X n 为总体 X 的简单随机样本，令 S12=，则 E(S12)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)连续， 16 求二重积分 x 2+y2 一 xdxdy，其中 D：(x，y)0y1x，0x117 求 x=cost(0t)将方程(1 一 x2)y“一 xy+y=0 化为 y 关于 t 的微分方程，并求满足 y x=0=1，y x=0=2 的解18 计算曲面积分 I=(1x3)绕 x轴旋转一周所得的旋转曲面，上任一点的法向量与 x 轴正向夹角大于 19 设 f(x)在0，1上连续可导， f(1)=0， 01xf(x)dx=2，
5、证明：存在 0，1，使得f()=420 设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)= ()证明方程组AX=b 有且仅有 n 一 r+1 个线性无关解；()若 有三个线性无关解，求 a，b 及方程组的通解21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+ax22+3x32 一 2x1x2+6x1x3 一 6x2x3 的矩阵合同于() 求常数 a；()用正交变换法化二次型 f(x1，x 2，x 3)为标准形22 设随机变量 XU(0，1)，YE(1) ，且 X，Y 相互独立，求 Z=X+Y 的密度函数fZ(z)23 设总体 X 的密度函数为 f(x)= 其中 一 1 是未知参数，X1，X 2，X n
6、 是来自总体 X 的简单随机样本()求 的矩估计量；()求 的最大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 464 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故 f(x，y)在(0， 0)处可微2 【正确答案】 C【试题解析】 f(00)=f(0)=c，f(0+0)=1，由 f(x)在 x=0 处连续得 c=1，因为 f“(0)存在，所以 a=一 2，选(C)3 【正确答案】 C【试题解析】 选(C)4 【正确答案】 A【试题解析】 故 x=0 为 f(x)的极小点，应选 (A)5 【正确答案】 B【试题解析】 由 B 为非零矩阵得
7、r(A)n，从而 r(A*)=0 或 r(A*)=1， 因为 A*为非零矩阵，所以 r(A*)=1，于是 r(A)=n 一 1， 又由 AB=O 得 r(A)+r(B)n，从而 r(B)1，再由 B 为非零矩阵得 r(B)1， 故 r(B)=1，应选 (B)6 【正确答案】 C【试题解析】 取 A= ，显然 A 的特征值为 0，0，1，但 r(A)=2，(A)不对；设 A= ，显然 A 为非零矩阵，但 A 的特征值都是零，(B)不对； 两个矩阵等价，则两个矩阵的秩相等，但特征值不一定相同，(D)不对；应选(C) 事实上，令 AX=X，由 A2=2A 得 A 的特征值为 0 或 2， 因为 A
8、是对称矩阵，所以 A一定可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值中有 r 个 2，其余全部为零7 【正确答案】 C【试题解析】 由 +dx+f(x，y)dy=k 0+dx0+xex(2y+3)dy 得 k=6，选(C) 8 【正确答案】 C【试题解析】 D(X)=2，由切比雪夫不等式得二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 设切点坐标为(a，a 2)，由已知条件得 =2a，解得 a=1 及 a=3，切点分别为(1，1) 及(3，9)，两条切线分别为 L1：y 一 1=2(x 一 1)，即 L1：y=2x一 1；L 2：y
9、 一 9=6(x 一 3)，即 L2：y=6x 一 9，所围成的面积为 A=12x2 一(2x 一1)dx+23x2 一(6x 一 9)dx=12(x1)2dx+23(x3)2dx=12 【正确答案】 2【试题解析】 对 f(x)进行奇延拓和周期延拓，则正弦级数的和函数 S(x)是以 6 为周期的奇函数，S(20)=S(2)=一 S(一 2)=一 f(一 20)+f(一 2+0)=213 【正确答案】 【试题解析】 显然 1= 为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为1=0， 2=2，因为 A 为实对称阵，所以 1T2=k2 一 2k+1=0，解得 k=1，于是 1=又因为E+A=0，所以 3
10、=一 1 为 A 的特征值，令 3=一 1 对应的特征向量为14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 如图(1)，在区域 D 内作圆 x2+y2=x，将区域 D 分为 D1，D 2，则17 【正确答案】 18 【正确答案】 曲面：x=y 2+z2+1(1x3)，补充曲面：x=3(y 2+z22)，19 【正确答案】 由分部积分，得 01xf(x)dx=xf(x) 01 一 01f(x)dx=一 01f(x)dx=2，于是 01f(x)dx=一 2由拉格朗日中值定理，得 f(x)=f(x)一 f(1)=f()(x
11、一 1)，其中(x，1) ，f(x)=f()(x 一 1)两边对 x 从 0 到 1 积分，得 01f(x)dx=01f()(x 一 1)dx=一 2因为 f(x)在0，1 上连续，所以 f(x)在0 ，1上取到最小值 m 和最大值 M，由 M(x 一 1)f()(x 一 1)m(x 一 1)两边对 x 从 0 到 1 积分，得一，即 m4M，由介值定理，存在 0，1，使得f()=420 【正确答案】 () 令 1， 2， nr 的基础解系， 0 为 AX=b 的特解，显然0=0， 1=1+0， nr=nr+0 为 Ax=b 的一组解，令 k00+k11+knrnr=0，即 k11+k22+k
12、nrnr+(k0+k1+knr)0=0 上式左乘 A 得(k 0+k1+knr)b=0，因为 b0 时，k 0+k1+knr=0，于是 k11+k22+knrnr=0，因为1， 2， nr 为 AX=0 的基础解系，所以 k1=k2=knr=0，于是 k0=0，故0， 1， nr 线性无关 若 0， 1， nr+1 为 AX=b 的线性无关解，则1=1 一 0， nr+1=nr+1 一 0 为 AX=0 的解，令 k11+k22+knr+1nr+1=0，则 k 11+k22+knr+1nr+1 一(k 1+k2+knr+1)y0=0 因为0， 1， ， nr+1 线性无关，所以 k1=k2=k
13、nr=0，即 1， 2， nr+1 为AX=0 的线性无关解，矛盾，故方程组 AX=b 恰有 n 一 r+1 个线性无关解()令A= ，化为AX=因为 AX= 有三个非零解，所以 AX=0 有两个非零解，故 4 一 r(A)2，r(A)2 ，又21 【正确答案】 22 【正确答案】 X，Y 的边缘密度分别为当 z0 时，FZ(z)=0；当 0z1 时，F Z(z)=0zdx0zxeydy=0z(1 一 ez)dx =zez(ez 一 1)=z+ez 一 1；当 z1 时，F Z(z)=01dx0zxeydy=01(1 一 exz)dx =1 一 ez(e 一 1)=1+ez 一e1z，即 FZ(z)=23 【正确答案】
