1、考研数学（数学一）模拟试卷 465 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，无穷小 =的阶数由高到底的次序为( )（A），（B） ， ，（C） ， ，（D）， 2 下列命题正确的是( ) （A）若 f(x)在 x0 处可导，则一定存在 0，在 x 一 x0 内 f(x)可导（B）若 f(x)在 x0 处连续，则一定存在 0，在xx 0 内 f(x)连续（C）若 存在，则 f(x)在 x0 处可导（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导， f(x)在 x0 处连续，且3 设 f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且 f(x)=lncosx+0
2、xg(x 一 t)dt， =一 2，则( )（A）f(0)为 f(x)的极大值（B） f(0)为 f(x)的极小值（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点4 当 x=一 2 时，级数 的收敛半径为( )（A）R=2（B） R=4（C） R=1（D）R=5 设 A 为可逆矩阵，令 P1= ，则 A1P1100AP21 等于( )6 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=2， 3=4，对应的特征向量为 1， 2， 3，令 P=(一 31， 22，5 3)，则 P1(A*+2E)P 等于( )7 下面 4 个随机
3、变量的分布中，期望值最大，方差最小的是( )（A）XN(5， )（B） YU(5，7)，即区间(5，7)上的均匀分布（C） Z 服从指数分布 f(z)=（D）T 服从指数分布 f(t)=8 设总体 X 服从标准正态分布，(X 1，X 2，X n)为总体的简单样本，则( )二、填空题9 =_10 设函数 y=y(x)由 xy= =_11 设由 x=zey+z 确定 z=z(x，y)，则 dz(e，0)=_12 y“一 2y一 3y=ex 的通解为 _13 设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(m，一 m，1) T 是方程组 AX=0 的解，2=(m， 1，1 一 m)T 是方程组 (A+E)X=0
4、的解，则 m=_14 设总体 XN(0， x)，且 X1，X 2，X 15 为来自总体 X 的简单随机样本，则统计量 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 un(x)满足 un(x)=un(x)+xn1ex(n=1，2，) ，且 un(1)= un(x)的和函数16 设函数 f(x)和 g(x)在区间 a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0g(x) 0，试证明存在(a，b) 使17 设 L： +y2=1(x0，y0)，过 L 上一点作切线求切线与抛物线所围成面积的最小值18 设 u=f(x， y)满足 du=y2dx+(2xy+1)dy，且
5、f(0，0)=1，计算被 x2+(y 一 1)2=1 所截的部分19 飞机以匀速 u 沿 y 轴正向飞行，当飞行到原点时被发现，随即从 x 轴上点(x0，y 0)处发射导弹向飞机击去，其中 x00若导弹的速度方向始终指向飞机，其速度大小为常数 2u ()求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件； ()求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间 T20 设 1= 的一个特征向量 () 求常数 a，b 的值及 1 所对应的特征值；( )矩阵 A 可否相似对角化? 若 A 可对角化，对 A 进行相似对角化；若 A 不可对角化，说明理由21 当常数 a 取何值时，方程组 无解、有无穷多个解?在
6、有无穷多个解时，求出其通解22 设随机变量 X 在(1，4)上服从均匀分布，当 X=x(1x4)时，随机变量 Y 的条件密度函数为 fYX (yx)= ()求 Y 的密度函数；()求X，Y 的相关系数；() 令 Z=XY，求 Z 的密度函数23 设总体 X 的密度函数为 f(x)= (未知参数 0)，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，令 Y= Xi ()求Y 的分布函数； () 讨论 Y= Xi作为参数 的估计量是否具有无偏性考研数学（数学一）模拟试卷 465 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 应选(
7、B) 2 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=0 得 f(x)在 x=0 处可导(也连续) 对任意的 a0，因为 不存在，所以 f(x)在 x=a 处不连续，当然也不可导，即 x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点，(A)，(B)不对； 令 f(x)= =0f(0)，所以 f(x)在 x=0 处不连续，当然也不可导，(C)不对； 因为 f(x)在 x0 处连续且在 x0 的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有3 【正确答案】 C【试题解析】 故(0，f(0)为 y=f(x)的拐点，应选(C)4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 P 1=E23，因为 Ei
8、j1=Eij，所以 Eij2=E，即 P1100=EP 2=E13(4)，因为Eij1(k)=Eij(一 k)，所以 P21= ，于是 A1P1100AP21=P21，选(B)6 【正确答案】 B【试题解析】 A *+2E 对应的特征值为 1=10， 2=一 2， 3=0，对应的特征向量为1， 2， 3，则一 31，2 2，5 3 仍然是 A*+2E 的对应于特征值 1=一2， 2=10， 3=0 的特征向量，于是有 P1(A*+2E)P= ，选(B)7 【正确答案】 B【试题解析】 8 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 一 2【试题解
9、析】 x=0 代入，得 y=011 【正确答案】 【试题解析】 将 x=e，y=0 代入得 z=1x=ze y+z 两边求微分得 dx=zeyzdy+(z+1)ey+zdz，将 x=e，y=0，z=1 代入得 dz(e，0)= dy12 【正确答案】 y=C 1ex+C2e3x 一 ex【试题解析】 特征方程为 2 一 2 一 3=0，特征值为 1=一 1， 2=3，则方程 y“一2y一 3y=0 的通解为 y=C1ex+C2e3x 令原方程的特解为 y0(x)=Axex，代入原方程得 A=一 ，于是原方程的通解为 y=C 1ex+C2e3x 一 ex13 【正确答案】 1【试题解析】 由 A
10、X=0 有非零解得 r(A)3，从而 =0 为 A 的特征值， 1=(m，一m，1) T 为其对应的特征向量； 由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+E)小于3，A+E =0，=一 1 为 A 的另一个特征值，其对应的特征向量为 2=(m，1，1一 m)T，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 的不同特征值对应的特征向量正交，于是有 m=114 【正确答案】 t(5)【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 un(x)=un(x)+xn1ex，即 un(x)一 un(x)=xn1ex 得16 【正确答案】 令 (x)=f(x)xbg(t)dt+g(x
11、)axf(t)dt，显然函数 (x)在区间a，b上连续，函数 (x)在区间(a， b)内可导，且 (x)=f(x) xbg(f)dt 一 f(x)g(x)+g(x)f(x)+g(x)axf(f)dt =f(x)xbg(t)dt+g(T)axf(t)dt 另外，又有 (a)=(b)=0 所以根据罗尔定理可知存在 (a，b) 使 ()=0，即 f() bg(f)dt+g()af(t)dt=0， 由于 g(b)=0 及g(x)0，所以区间(a，b)内必有 g(x)0，从而就有 xbg(t)dt0，于是有17 【正确答案】 首先求切线与坐标轴围成的面积18 【正确答案】 由 du=y2dx+(2xy+1)dy=y2dx+2xy dy+dy=d(xy2+y)得 f(x，y)=xy2+y+C，由 f(0，0)=1 得 C=1，从而 f(x，y)=xy 2+y+119 【正确答案】 () 设导弹在 t 时刻的坐标为 A(x(t)，y(y)，其运行轨迹方程为y=y(x)在某时刻 t0，飞机的位置为 B(0，vt)，因为导弹的速度方向始终指向飞机，从而在 t 时刻，导弹运行轨迹曲20 【正确答案】 21 【正确答案】 原方程组的通解为 X=k(1，1，1) T+(2，2，0) T(k 为任意常数)22 【正确答案】 23 【正确答案】
