1、考研数学（数学一）模拟试卷 467 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则 x=0 是 f(x)的( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）不能判断连续性的点2 曲线 y= 的渐近线的条数为( ) （A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条3 设 f(x)= 则f(x)dx=( )4 设幂级数 an(x+1)n 在 x=一 3处( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不确定5 设 A 为三阶矩阵，令 P1= ，将 A 的第一、二两行对调，再将 A 的第三列的 2 倍加到第二列成矩阵 B，则
2、B 等于( ) （A）P 1AP2（B） P11AP2（C） P2AP1（D）P 11AP26 设 A 为 3 阶矩阵B=( 1， 2， 3) 1 为 AX=0 的解 2 不是 AX=0 的解，又r(AB)minr(A) ，r(B)，则 r(AB)=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）37 设 X1，X 2，X 3，X n 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机变量，X 是样本均值，记8 设 X，Y 为两个随机变量，其中 E(X)=2，E(Y)=一 1，D(X)=9，D(Y)=16，且X，Y 的相关系数为 =一 ，由切比雪夫不等式得 PX+Y110( )二、填空题9 若当 x0 时，(1+
3、2x) x 一 cosxax 2，则 a=_10 =_11 设 z=z(x，y)由 F(azby，bx 一 cz，cy 一 ax)=0 确定，其中函数 F 连续可偏导且 aF1 一 cF20，则 =_12 设函数 y=y(x)在(0 ，+)上满足 y= ，则 y(x)= _13 设矩阵 B= ，矩阵 A 满足 B1=B*A+A，则 A=_14 设随机变量 X ，则(X ，Y)的联合分布律为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 g(x)二阶可导，且 f(x)= ()求常数 a，使得 f(x)在 x=0处连续；()求 f(x)，并讨论 f(x)在 x=0 处的连续性16 设
4、 a 为实数，问方程 ex=ax2 有几个实根?17 计算曲线积 (x2+y2z2)dx+(y2+z2x2)dy+(z2+x2y2)dz 其中 为 x2+y2+z2=6y 与x2+y2=4y(z0)的交线，从 z 轴正向看去为逆时针方向18 设 f(x)为连续函数 =(x，y，z)x 2+y2+z2t2， z0， 为 的表面，D xy 为 在 xOy 平面上的投影区域，L 为 Dxy 的边界曲线，当 t0 时有求 f(x)19 设 un(x)满足 u n (x)=un(x)+ 的和函数。20 设 1= ()当 a，b 为何值时， 不可由1， 2， 3 线性表示；()当 a，b 为何值时， 可由
5、 1， 2， 3 线性表示，写出表达式21 设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ=且 A*= ()求正交矩阵 Q； ()求矩阵 A22 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，令 Y= 求：(I)PX+Y=0； ()随机变量 Y 的分布函数；()E(Y)23 设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为i(i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到X1，X 2，X n设 E(Xi)=(i=1，2，n) ，问 k1，k 2，k n 应取何值，才能在使用 最小?考研数学（数学一）模拟试卷 467 答案与解析一、选择题下列每题给出
6、的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，f(x)=，f(0 一 0)=0，所以 x=0 为 f(x)的第一类间断点选 (B)2 【正确答案】 C【试题解析】 因为=0，得曲线有一条斜渐近线，选(C)3 【正确答案】 C【试题解析】 当 x一 1 时，f(x)=x+C 1；当 x1 时，f(x)=x+C 2；4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 an(2x 一 1)2N 在 x=一 4 处条件收敛，所以收敛半径为 R=3 当 x=一 3 时，因为一 3+1=2 R 一 3，所以当 x=一 3 时，级数 an(x+1)N 绝对收敛，应选(A)5 【
7、正确答案】 D【试题解析】 即 B=P11AP21，选(D)6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 2 不是 AX=0 的解，所以 AB0，从而 r(AB)1； 显然 1， 2不成比例，则 r(B)2， 由 r(AB)小于 minr(A)，r(B)得，r(AB)r(A) ， 从而 B不可逆，于是 r(B)3，故 r(B)=2 再由 r(AB)r(B)得 r(AB)=1，选(B)7 【正确答案】 B【试题解析】 8 【正确答案】 B【试题解析】 令 Z=X+Y，则 E(Z)=E(X)+E(Y)=1， D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13，则 PX+Y110=P Z
8、 一 E(Z)101 一，选(B)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 因为当 x0 时，(1+2x) x 一 1=exln(12x)一 1xln(1+2x)2x 2， 所以(1+2x)xcosx=(1+2r)一 1+1 一 cosx2x 2+ 10 【正确答案】 2(1 一 ln2)【试题解析】 11 【正确答案】 b【试题解析】 F(azby ， bx 一 cz，cy 一 ax)=0 两边对 x 求偏导得12 【正确答案】 x(1 一 cosx)【试题解析】 由可微的定义，函数 y=y(x)在(0，+)内可微，且 y=xsinx，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得13 【正确答案】
9、【试题解析】 B= =2，B 1=B*A+A 两边左乘 B 得 E=2A+BA，即B(B+2E)A=E，则 A=(B+2E) 1= 14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 当 f(x)在 x=0 处连续时，g(0)=1，所以 f(x)在 x=0 处连续16 【正确答案】 当 a=0 时，方程无解；当 a0 时，令 (x)=x2ex 一 由 (x)=2xex 一 x2ex=x(2 一 x)ex=0 得 x=0 或 x=2当 x0 时，(x)0；当 0x2时，(x)0；当 x2 时， (x)0，17 【正确答案】 设为 x2+y
10、2+z2=6y 位于交线上方的部分，取上侧，由斯托克斯公式得18 【正确答案】 令 1：x 2+y2+z2=t2(z0)， 2：z=0(x 2+y2t2)，则19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 () 显然 A 的特征值为 1=2=一 1， 3=2，A *的特征值为 1=2=一 2， 3=1 因为 为 A*的属于特征值 3=1 的特征向量，所以 是 A 的属于特征值 3=2 的特征向量，令 =3 令 A 的属于特征值 1=2=一 1 的特征向量为 =，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以一 x1 一 x2+x3=0，则A 的属于特征值 1=2=一 1 的线性无关的特征向22 【正确答案】 ()PX+Y=0=PY= 一 X=PX 1 =1 一 PX1=1 一(1一 e)=e ()F Y(y)=PYy=PYy，0X1+PYy，X1 =PXy，0X1+PX一 y，X1当 y一 1 时，F Y(y)=PX一 y=1 一PX一 y=ey；当一 1y0 时，F Y(y)=PX1=e ；当 0y1 时，F Y(y)=P0Xy+PX1=1 一 ey+e；当 y1 时，F Y(y)=P0X1+PX1=1 23 【正确答案】
