1、考研数学（数学一）模拟试卷 472 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 极限 =( )2 设 f(x)是连续函数，F(x) 是 f(x)的原函数，则( )（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必是偶函数（B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数（D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必是单调增函数3 设当 x0 时，(1-cosx)ln(1+x 2)是比 xsinxm 高阶的无穷小，而 xsinxm 是比 ex2-1 高阶的无穷小，则正整数 m 等于( )（A）1（B） 2（C） 3（D）
2、44 点 P0(2，1，1)到平面 ：x+y-z+1=0 的距离 d=( )5 设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解，A *是 A 的伴随矩阵，则有( ) （A）A *x=0 的解均为 Ax=0 的解（B） Ax=0 的解均为 A*x=0 的解（C） Ax=0 与 A*x=0 无非零公共解（D）Ax=0 与 A*x=0 恰好有一个非零公共解6 设 3 维向量 4 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示，则必有( )（A）向量组 1， 2， 3 线性无关（B）向量组 1， 2， 3 线性相关（C）向量组 1+4， 2+4， 3+4 线性无关（D）向量组 1+4，
3、2+4， 3+4 线性相关7 设随机变量 X1 的分布函数为 F1(x)，概率密度函数为 f1(x)，且 E(X1)=1，随机变量 X 的分布函数为 F(x)=04F 1(x)+06F 1(2x+1)，则 E(X)=( )（A）06（B） 05（C） 04（D）18 设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本记 ，其中 a 为常数若 E(T)=2，则a=( )（A）（B）（C） -1（D）1二、填空题9 设曲线 y=f(x)与 y=x2-x 在点(1，0) 处有公共切线，则 =_.10 极限 =_.11 设 u=e-xsin 处的值为_12
4、 向量场 A=(x2-y)i+4zj+x2k 的旋度为_13 设A= ，那么行列式 A所有元素的代数余子式之和为_14 设 X 服从参数为 2 的指数分布，则 Y=1-e-2X 的概率密度 fY(y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(t)有二阶连续的导数，16 设 ，计算二重积分 Dsin(maxx2，y 2)d17 已知抛物线 y=ax2+bx+c，在其上的点 P(1，2)处的曲率圆的方程为，求常数 a，b，c 的值18 设 f(x)三阶可导，且 f(a)0， f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+fa+(x-a)(01) (*) 证明：19 设 f(
5、x)在-2 ，2 上具有连续的导数，且 f(0)=0，F(x)= -xx(x+t)dt.证明：级数绝对收敛20 设齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系为 1=(1，3，0，2) T， 2=(1，2，-1，3)T Bx=0 的基础解系为 1=(1，1，2，1) T， 2=(0，-3，1，a) T 若 Ax=0 和 Bx=0有非零公共解，求 a 的值并求公共解21 已知矩阵 A= 相似，求 a，b 的值及一个可逆矩阵P，使 P-1AP=B22 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0y1，yxy+1上服从均匀分布，令 Z=X-Y，求：()X 与 Y 的边缘概率密度函数并判断随机变量 X 与
6、 Y 的独立性；()随机变量函数 Z 的概率密度函数；()Cov(X ， Y)23 已知总体 X 的概率密度为 设X1，X 2，X n 为简单随机样本()求 的最大似然估计量；()判断这个估计量是否为 的无偏估计量考研数学（数学一）模拟试卷 472 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 利用洛必达法则及变上限定积分求导公式，直接计算即可故应选(D)2 【正确答案】 A【试题解析】 用排除法对于(B)选项，取 f(x)=cosx+1 为偶函数，则 F(x)=sinx+x+1 为 f(x)的一个原函数，但 F(x)不是奇函数，故排
7、除(B)项对于(C)选项，令 f(x)=sinx，则 f(x)是周期函数，且 f(x)的一个原函数是但 F(x)不是周期函数，故排除 (C)项对于(D)选项，令 f(x)=2x，显然 f(x)为单调增函数，但 f(x)的原函数 F(x)=x2 不是单调函数，因此排除(D) 项故应选(A)3 【正确答案】 B【试题解析】 由条件知综上知正整数 m=2故应选(B)4 【正确答案】 C【试题解析】 直接利用公式： ，其中平面方程为Ax+By+Cz+D=0，点的坐标是(x 0，y 0，z 0)由点到平面的距离公式，得故应选(C)5 【正确答案】 B【试题解析】 利用 Ax=0 的解的性质以及 A*的性
8、质，从而求得 A*x=0 解的性质 由题意 n-R(A)2，从而 R(A)n-2，由 R(A)与 R(A*)之间关系知 R(A*)=0，即A*=O，所以任选一个 n 维向量均为 A*x=0 的解 故应选(B)6 【正确答案】 B【试题解析】 对于(A) 、(B) 选项可以利用如下结论：若 1， m 线性无关，且， 1， ， m 线性相关，则 可由 1， m 线性表示对于(C)、(D)选项，可通过举反例加以排除4 个 3 维向量 1， 2， 3， 4 必线性相关若 1， 2， 3 线性无关，则 4 可由 1， 2， 3 线性表示，所以(B)正确对于(C)选项，取 1=，易知 4 不能由 1， 2
9、， 3 线性表示，但1+4， 2+4， 3+4 线性相关，故(C)不正确对于(D)选项，取 1=易知 4 不能由 1， 2， 3 线性表示，但1+4， 2+4， 3+4 线性无关，故(D)不正确故应选(B)7 【正确答案】 C【试题解析】 已知随机变量 X1 的分布函数为 F1(x)，概率密度函数为 f1(x)，可以验证 F1(2x+1)为分布函数，记其对应的随机变量为 X2，其中 X2 为随机变量 X1 的函数，且 X2= ，记随机变量 X2 的分布函数为 F2(x)，概率密度函数为 f2(x)，所以 X 的分布函数为 F(x)=04 F 1(x)+06F 2(x)两边同时对 x 求导，得
10、f(x)=0 4f1(x)+06f 2(x)于是 -+xf(x)dx=04 -+xf1(x)dx+06 -+xf2(x)dx即E(X)=04E(X 1)+06E(X 2)=04E(X 1)+06E =04故应选(C)8 【正确答案】 A【试题解析】 利用 因为 X 服从泊松分布 P()，则E(X)=D(X)=， 由 E(T)=2，可得故应选(A)二、填空题9 【正确答案】 -2【试题解析】 利用有公共切线求出 f(1)、f(1) ，再利用导数定义求出极限值因为曲线 y=f(x)与 y=x2-x 在点(1，0) 处有公共切线，所以 f(1)=0，f(1)=1，从而知故应填-210 【正确答案】
11、【试题解析】 显然乘积(n+1)(n+2)(n+n)无法表达，若简化放大、缩小却得不到相同的极限，只能往定积分方面考虑因为，取其对数，得因此可看成把0，1 分成 n 等份，小区间长度为 可视为函数ln(1+x)在分点 上的值，因此上式= 01ln(1+x)dx=xln(1+x) 01-01 =ln2-x-ln(1+x) 01=ln2-1+ln2=2ln2-1，所以，原式=e 2ln2-1=e2ln2e= 故应填11 【正确答案】 【试题解析】 先由函数关系式求出一阶、二阶偏导函数，再将点 的坐标代入即可于是 故应填12 【正确答案】 -4i-2xj+k【试题解析】 由旋度公式得 故应填-4i-
12、2xj+k13 【正确答案】 【试题解析】 先求伴随矩阵 A*，进而求得 A*所有元素之和，即为A的所有代数余子式之和由于 A*=(Aij)，只要能求出 A 的伴随矩阵，就可求出A ij因为A*=AA -1，而A= 又由分块矩阵求逆，有从而 A*= ，故故应填14 【正确答案】 【试题解析】 利用公式或一般方法求 y=g(X)的概率密度因为 X 服从以 2 为参数的指数分布，所以 X 的概率密度为 由 y=1-e-2X 得 x=h(y)=，所以 Y 的概率密度为故应填三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 ，所以利用对称性，【试题解析】 题中 g(x，y)是
13、 r 的复合函数，r 又是 x，y 的具体函数，运用多元复合函数的链式求导法则求出两个二阶偏导数并求和即可16 【正确答案】 D 是一块矩形域，如图 5-1 所示17 【正确答案】 曲线 L：y=ax 2+bx+c 经过点 P(1， 2)，从而 2=a+b+c曲率圆在点 P 处的切线的斜率为 与 L在此点的切线斜率相等故 y P=(2ax+b) P=2a+b=1又 L 在点 P 处曲率应与曲率圆的曲率相等，且曲率圆的曲率为 故所以 a=2当 a=2 时，b=1-2a=-3，c=2-a-b=3；当 a=-2 时，b=1-2a=5，c=2-a-b=-1 【试题解析】 利用曲线在点 P(1，2)处与
14、曲率圆在该点处二者的切线斜率、曲率相等便可求出 a，b ，c 的值18 【正确答案】 记 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+fa+(x-a) 把 f(x)在 x=a 处展为泰勒公式 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ (x-a)2+o(x-a)3) 其二阶导数为 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+o(x-a)，把 x=a+(x-a)代入上式，得 fa+(x-a)=f(a)+f(a)(x-a)+o(x-a) -整理，得 fa+(x-a)=f(a)+ (x-a)+o(x-a) 、 联立 (x-a)+o(x-a)=f(a)(x-a)+o(x-a)，即因此【试题解析】 先写出函数 f
15、(x)在 x=a 处的三阶带有佩亚诺型余项的泰勒展开式，再由 f(x)的已知表达式即可证得结论成立19 【正确答案】 因为由拉格朗日中值定理，得 又因为f(x)在-2 ，2上连续，则 f(x)在-2，2上有界，即存在正数 M0，有 f(x)M ，x -2，2因此又因为 收敛所以 绝对收敛【试题解析】 综合运用积分运算方法和性质推导出 再运用正项级数的比较判别法即可证得结论20 【正确答案】 () 假设可以，即 =k11+k22+k33，则(k 1，k 2，k 3，0) T 是 Ax=的解 从而(k 1，k 2，k 3，0) T-(-1，1，0，2) T=(k1+1，k 2-1，k 3，-2)
16、T 就是 Ax=0 的解 但是显然(k 1+1，k 2-1，k 3，-2) T 和(1 ，-1，2， 0)T 线性无关 所以 不可以由1， 2， 3 线性表示 ()因为(-1，1，0，2) T 是 Ax= 的解，则 =-1+2+24 又因为(1 ，-1，2，0) T 是 Ax=0 的解，则 1-2+3=0 所以， 和 3 都可由1， 2， 4 线性表示 又由 R(1， 2， 3， 4，)=R( 1， 2， 3， 4)=3，所以，1， 2， 4 是极大无关组【试题解析】 () 利用反证法；()由条件所给方程组的解，来确定向量之间的线性关系21 【正确答案】 () 二次型的矩阵为 A= ，则二次型
17、的正、负惯性指数都是 1，可知 R(A)=2，A= =-(a+2)(a-1)2=0，所以 a=-2，或 a=1，又 a=1 时，显然 R(A)=1，故只取 a=-2()此时E-A =(+3)(-3)，所以 A 的特征值是 3，-3，0当 1=3 时，解方程组(3E-A)x=0，得基础解系为1=(1， 0，1) T；当 2=-3 时，解方程组(-3E-A)x=0，得基础解系为 2=(1，-2，-1)T；当 3=0 时，解方程组 (0E-A)x=0，得基础解系为 3=(1，1，-1) T将 1， 2， 3单位化，得 故有正交阵 因此所求的正交变换为 所求的标准形为 3y1-1-3y2-1.()由于
18、 x=Qy，可知 xTx=(Qy)TQy=yTQTQy=yTy因此限制条件 xTx=2 也等价于yTy=y12+y22+y32=2由于二次型为 3y12-3y22，易知其在 y12+y22+y32=2 时，最大值为6，最小值为-6【试题解析】 先根据惯性指数求得 a，再求特征值及单位化的特征向量，将二次型标准化，最后借助标准形求得 f 的最值22 【正确答案】 () 如图 5-2 所示，由题设可得由(U，V) 有四个可能值：(0，0)，(0，1)，(1，0) ，(1，1)，则 PU=0，V=0=PXY，X2Y=PXY= PU=0，V=1=PXY，X2Y=0，PU=1，V=0=PXY ，X2Y=
19、P(YX2Y= PU=1，V=1=1- 故 U 和 V 的联合分布为()UV，U 和 V 的分布为于是有 E(U)=Cov(U，V)=E(UV)-E(U).E(V)=所以23 【正确答案】 设 Xi 表示第 i 周的需求量，i=1 ，2，3，则 X1，X 2，X 3 独立同分布( )令 U2=X1+X2，f 2(u)=-+f(x)f(u-x)dx=0u(ux-x2)e-udx=令 U3=X1+X2+X3，f 3(u)=-+f2(x)f(u-x)dx=()因为 Y=maxX1，X 2，X 3，所以 FY(y)=F(y)3，其中F(x)=0xf(t)dt= 故 fY(y)=FY(y)=3F(y)2f(y)=
