1、考研数学（数学一）模拟试卷 473 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y=(x-1)2(x-3)2 的拐点个数为( ) （A）0（B） 1（C） 2（D）32 设函数 y=y(x)由参数方程 =( )。3 直线 l：x-1=y=1-z 在平面 ：x-y+2z-1=0 上的投影直线 l0 的方程为( )4 设级数 (-1)nan2n 收敛，则级数 an( )（A）敛散性不定（B）条件收敛（C）发散（D）绝对收敛5 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆
2、，则 A+B 可逆； A-E 恒可逆正确的有( )个（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 3 维列向量组 1， 2， 3 线性无关， 1=1+2-3， 2=31-2， 3=41-3， 4=21-22+3，则向量组 1， 2， 3， 4 的秩为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设 X 为随机变量，若矩阵 A= 的特征值全为实数的概率为05，则( ) （A）X 服从区间0，2 的均匀分布（B） X 服从二项分布 B(2，05)（C） X 服从参数为 1 的指数分布（D）X 服从正态分布8 设 0P(A)1，0P(B)1，P(AB)+ =1，则( )（A）事件 A 和 B 互不相容
3、（B）事件 A 和 B 互相对立（C）事件 A 和 B 互不独立（D）事件 A 和 B 相互独立二、填空题9 曲线 在点(0，1)处的法线方程为_10 设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=-1 ，已知曲线积分 Lxe2x-6f(x)sinydx-5f(x)-f(x)cosydy 与路径无关，则 f(x)=_11 设曲线的方程为 x=a.cost，y=asint ，z=kt，其中 0t2，其线密度为 (x，y，z)=x2+y2+z2，则该曲线关于 z 轴的转动惯量 Iz=_12 已知 y1=xe+e2x，y 2=xex-e-x，y 3=xex+e2x-e-x 是某二阶线
4、性常系数非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为_13 设 n 阶方阵 A 与 B 相似，A 2=2E，则A+A-B-E =_14 设随机变量 XU(0，1)，YE(1) ，且 X 与 Y 相互独立，则 PYX=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 f(x)= ，且 f(0)=g(0)=0，试求16 计算曲线积分 I=L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz，其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面x+y =1 的交线，从 z 轴正向看去，L 为逆时针方向17 设 f(x，y)=x 3+y3=3x2-3y2，求 f(x，y)的极值及其在 x2
5、+y216 上的最大值18 设函数 f(x)连续，证明： 0af(x)dxxa(y)dy= 0af(x)dx2.19 设有方程组 ()求方程组(i)与(ii)的基础解系与通解；() 求方程组(i)与(1i)的公共解20 已知矩阵 A= 相似()求 x，y，z 的值；()求可逆矩阵 P，使 P-1AP=B21 设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，在 X=x(0x1)的条件下，随机变量 y 在区间(0，x) 上服从均匀分布，求()随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；()Y 的概率密度；()概率 PX+Y122 设有两台仪器，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布首先开动一台，
6、发生故障时停用而另一台自动开动，求两台仪器无故障工作的总时间 T 的：()概率密度 f(t)；()数学期望和方差考研数学（数学一）模拟试卷 473 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 y=2(x-1)(x-3) 2+2(x-1)2(x-3)，y=4(3x 2-12x+11)=0 解得 y=0 的两个根，且两根两侧二阶导数符号都变号 故应选(C)2 【正确答案】 B【试题解析】 由所给参数方程，得当 x=9 时，由 9=x=1+2t2 知 t=2(因为t1)，则 故应选(B)3 【正确答案】 A【试题解析】 先求出过直线 l
7、且与已知平面 垂直的平面 1 的方程，然后由平面1 与两面 的方程即可得直线 l0 的方程设经过 l 且垂直于平面 的平面方程为 1： A(x-1)+By+C(z-1)=0，则由条件可知 A-B+2C=0，A+B-C=0，由此解得A：B：C=-1：3：2，于是 1 的方程为 x-3y-2z+1=0从而 l0 的方程为4 【正确答案】 D【试题解析】 由级数收敛的必要条件推出 an22=0，再由正项级数的比较判别法推导 a n收敛因为级数 (-1)nan2n 收敛，故 (-1)nan2n=0，即 a n 2n=0，于是有 =0，又因为级数 收敛，所以 a n收敛，即 an 绝对收敛故应选(D)
8、5 【正确答案】 D【试题解析】 命题、 、是借助行列式来判别，而是利用定义来判别由于(A-E)B=AB-B=A+B-B=A，若 A 可逆，则 B 可逆，即正确若 A+B 可逆，则 AB =A+B0，则B0，即 B 可逆，正确由于 A(B-E)=B，AB-E=B ，若 B 可逆，则 A0，即 A 可逆，从而 A+B=AB 可逆， 正确对于，由 AB=A+B，可得 (A-E)(B-E)=E，故 A-E 恒可逆故应选(D)6 【正确答案】 B【试题解析】 利用 1， 2， 3， 4 与 1， 2， 3 之间的线性表示关系求解B=( 1， 2， 3， 4)=(1， 2， 3) =AC由 1， 2，
9、3线性无关，A 可逆，所以，R(B)=R(C)故R(B)=R(C)=2故应选(B)7 【正确答案】 A【试题解析】 利用特征值概念以及重要分布的性质做判断由E-A=(-2)(2+2+X)，其特征值全为实数的概率为 P22-4X0=PX1=05，可见当 X 服从0，2上均匀分布时成立故应选(A) 8 【正确答案】 D【试题解析】 利用条件概率公式及独立定义得结论因为即 P(AB)= 由条件概率公式得 ，所以 P(AB)1-P(B)=P(B) ， P(AB)=P(B)P(AB)+ =P(B)P(A)所以 A 和 B 相互独立故应选(D)二、填空题9 【正确答案】 2x+y-1=0【试题解析】 当
10、x=0 时，t=0， 所以法线斜率 k=-2，则曲线在点 (0，1)处的法线方程为 y-1=-2x，即 2x+y-1=0故应填 2x+y-1=010 【正确答案】 x(x+2)e2x【试题解析】 曲线积分与路径无关 ，故有 f(x)-5f(x)cosy= xe2x-6f(x)siny，即f(x)-5f(x)cosy=xe 2x-6f(x)cosy，消去 cosy，整理得 f-5f+6f=xe2x，对应齐次方程的特征方程为 r2-5r+6=(r-2)(r-3)=0，对应齐次方程的通解为 Y=C1e2x+C2e3x，由于 =2 是特征根，故设 f=x(Ax+B)e2x，代入方程可求出 A=，B=-
11、1 ，于是方程的通解为 f(x)=C1e2x+C2e3x- x(x+2)e2x，再由 f(0)=0 及 f(0)=-1，可求出 C1=C2=0，因而所求函数为 f(x)= x(x+2)e2x故应填 x(x+2)e2x11 【正确答案】 a2(3a2+42k2)【试题解析】 令所设曲线为 ，则 ：x=acost，y=asint，z=kt(0t2)，且 关于 z 轴的转动惯量 Iz 为 Iz=(x2+y2).(x，y，z)ds= (x2+y2).(x2+y2+z2).ds=02a2(a2+k2t2) = a2(3a2+42k2) 故应填 a2(3a2+42k2)12 【正确答案】 y=xe x+C
12、1e2x+C2e-x【试题解析】 由解的结构定理可得 y1-y2=e-x，y 3-y2=e2x 是对应齐次微分方程的两个解，而 e-x 与 e2x 线性无关，于是该方程对应的齐次线性微分方程的通解为Y= e2x+C2e-x( ，C 2 为任意常数)从而原方程的通解为y=y1+y=xex+e2x+ e2x+C2e-x=xex+C1e2x+C2e-x(C1=1+ )故应填 y=xex+C1e2x+C2e-x13 【正确答案】 1【试题解析】 AB+A-B-E=(A-E)B+A-E=(A-E)(B+E) 又因为 A2=2E，得(A-E)(A+E)=E 再由 A，B 相似，得 A+E 和 B+B 相似
13、，从而A+E=B+E 于是， AB+A-B-E =A-E .B+E =A-E.A+E= E=1 故应填114 【正确答案】 e -1【试题解析】 f X(x)= 所以联合概率密度为故 PYX= f(xy)dxdy= 01dx0xe-ydy=01(1-e-x)dx=1+(e-1-1)=e-1故应填 e-1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 f(x)=，又因为 f(0)=0，代入表达式得 C=0，故 同理，由 g(x)= 及 g(0)=0，得 g(x)=ln(1+x)于是【试题解析】 先积分，求出 F(x)和 g(x)的表达式，再求极限注意在求极限时应尽量利
14、用无穷小量的等价代换简化计算过程16 【正确答案】 取为平而 x+y+z=2 的上侧被 L 所围成的部分，的单位法向量为 n= (1，1，1)，即 cos=cos=cos)= 由斯托克斯公式，得其中在 xOy 面上的投影域 D 为x+ y1(如图 1-2 所示)在上：z=2-x-y，(x，y) D，因此【试题解析】 空间曲线积分主要有两种计算方法：一是参数法，即将空间曲线用参数方程表示，再将空间曲线积分转化为定积分；二是用斯托克斯公式，将问题转化为第二类曲面积分显然，本题用斯托克斯公式最方便17 【正确答案】 根据题意可得 解得x1=0， x2=2， y1=0，y 2=2即共有 4 个极值可疑
15、点： (0，0)，(0，2)，(2，0)，(2，2)又因为 则在点(0，0)处， B 2-AC=0-(-6)(-6)=-360 且 A=-60所以点(0，0)是一个极大值点且极大值为 f(0，0)=0同理，f(2，2)=-8 是一个极小值；而 f(0，2)与 f(2，0)不是极值由上面讨论可知，f(x，y)在闭域 D 上的最大值，若在 D 内达到，必是在(0，0)点取得，但也可能在 D 的边界上，故建立拉格朗日函数令 L(x，y，)=x3+y3-3x2-3y2+(x2+y2-16)，则有 解得：x=0，y=4 或x=4，y=0 或 x= 因此 f(x，y)在 D 上的最大值为【试题解析】 先求
16、出函数 f(x，y)在区域 D：x 2+y216 内的极值可疑点(x i，y i)(i=1，2，m) ；再利用极值的充分判别法判断每个点是否为极值点，若是极值点，则求出对应的极值；最后由拉格朗日乘数法求得 f(x，y)在 D 的边界上的可疑极值，将以上所得函数值进行比较，便可得到结果18 【正确答案】 如图 1-3 所示， 0af(x)dxxaf(y)dy=0axaf(x)f(y)dydx =D1(x)f(y)dydx(由对称性)= 0a0af(x)f(y)dydx= 0af(x)dx0af(y)dy= 0af(x)dx2【试题解析】 所证等式的右边是定积分，左边是累次积分，而且发现式子左边无
17、论是先对 y 还是先对 x 积分，里层的积分均无法积出，因此要另辟蹊径若把左边看成二重积分： 0axaf(x)f(y)dydx，右边亦视为二重积分： 0a0af(x)f(y)dydx，则显然就能找到它们之间的联系19 【正确答案】 先求 Ax=0 的基础解系 由于 2， 3， 4 线性无关，且 1=22-3，得 R(A)=3又因为 1-22+3+0.4=0， 故 Ax=0 基础解系为(1，-2，1，0) T 再求 Ax= 的一个特解 由于 =1+2+3+4，故(1 ，1，1，1) T 为一个特解所以，Ax= 的通解为 (1，1，1，1) T+k(1，-2 ，1，0) T，k 为常数20 【正确
18、答案】 () 设 是 A 的特征值，由于 A2=A，所以 2=，且 A 有两个不同的特征值，从而 A 的特征值为 0 和 1又因为 A2=A，即 A(A-E)=O，故 R(A)+R(A-E)=n.事实上，因为 A(A-E)=O，所以 R(A)+R(A-E)n另一方面，由于 E-A与 A-E 的秩相同，则有 n=R(E)=R(E-A)+AR(A)+R(E-A)=R(A)+R(A-E)，从而 R(A)+R(A-E)=n当 =1 时，因为 R(A-E)=n-R(A)=n-s，从而齐次线性方程组(E-A)x=0 的基础解系含有 s 个解向量，因此，A 属于特征值 1 有 s 个线性无关特征向量，记为
19、1， 2， s当 =0 时，因为 R(A)=s，从而齐次线性方程组(0.E-A)x=0 的基础解系含 n-s 个解向量因此，A 属于特征值 0 有行一 s 个线性无关的特征向量，记为 s+1， s+2， n于是 1， 2， n 是 A 的 n 个线性无关的特征向量，所以 A 可对角化，并且对角阵为 ()令 P=(1， 2， 3， n)，则A=PAP-1，所以A-2E=PAP -1-2E=A-2E = =-E s-2En-s =(-1)s(-2)n-s=(-1)n2n-s【试题解析】 利用非齐次线性方程组解的结构求解先求对应导出组的基础解系，再求一个特解21 【正确答案】 ()(U ， V)的可
20、能取值为(1，1)、 (1，2)、(2，1)、(2，2)，则PU=1，V=1=PX=1 ，Y=1=PX=1PY=1= PU=1，V=2=0；PU=2，V=1=PX=2，Y=1)+PX=1 ，Y=2 =PX=2)PY=1+PX=1)PY=2= PU=2，V=2=PX=2，Y=2=PX=2PY=2= 故(U，V) 的概率分布为(II)由(U， V)的概率分布可得 所以 Cov(U，V)=E(UV)-E(U)E(V)=22 【正确答案】 ()E(X)=令为 的矩估计量()似然函数为对数似然函数为对数似然方程为其最大似然估计值为 ，即 的最大似然估计量为【试题解析】 利用 E(X)= 求出矩估计；构造似然函数并求其最大值点
