1、考研数学（数学一）模拟试卷 477 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 g(x)可微， f(x)=ln2(1+g(x)+21n(1+g(x)，f(1)=1，g(1)= ，则 g(1)=（A）1（B） 0（C） 2（D）2 设 F(x)=0tf(t)dt，则 F(x)在0,2上（A）有界，不可积（B）可积，有间断点（C）连续，有不可导点（D）可导3 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，且 f(x)的傅里叶级数为则 n1 时，a n=_4 下列二元函数在点(0，0)处可微的是 5 设 A 是 54 矩阵，r(A)=4，则下列命题中错误的为（A）AX=
2、0 只有零解（B） AATX=0 有非零解（C）对任何 5 维向量 ， AX= 都有解（D）对任何 4 维向量 ，A TX= 都有无穷多解6 设 则下列矩阵中与 A 合同但不相似的是7 设事件 A，B，C 是一个完备事件组，即它们两两互不相容且其和为 ，则下列结论中一定成立的是（A）A，B，C 是一个完备事件组（B） A，B ， C 两两独立（C）（D） 是两两对立事件8 设 XN(0 ，1) ，X 1，X 2，X 7 是取自 X 的简单随机样本 服从 t(n)分布，则 (c，n) 为二、填空题9 设10 设 =(x，y)满足 则 (x，y)=_11 函数 的值域区间是_12 设 L 为曲线x
3、+y =1 ，则 Lxds=_13 设实对称矩阵 要使得 A 的正，负惯性指数分别为 2，1，则 a 满足的条件是_14 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 Emin(X，Y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在 x=0 的某邻域内有定义，且满足16 设 xOy 平面第一象限中有曲线 ：y=y(x)，过点 ，y(x)0又M(x，y) 为 上任意一点，满足：弧段()导出 y=y(x)满足的积分、微分方程；() 导出 y(x)满足的微分方程和初始条件；()求曲线 的表达式17 设函数 z=z(x，y)由方程 ()求 dz()求曲
4、面 z=z(x，y)上任意点(x，y，z) 处的切平面方程及该切平面在 Oz 轴上的截距18 ()设 f(x)在(0 ，+)可导，f(x)0(x(0 ，+)，求证 f(x)在(0，+)单凋上升( )求证： 在(0，+)单调上升，其中 n 为正数()设数列19 设 ()求 () 求J1=L(x，y)dx+Q(x，y)dy，其中 L 是椭圆周 2x2+3y2=l，取逆时针方向() 求J2=C(x，y)dx+Q(x，y)dy ，其中 C 是圆周 x2+y2=32，取逆时针方向20 设 4 阶矩阵 A=(1， 2， 3， 4)，方程组 Ax= 的通解为(1，2，2，1) T+c(1，一2，4，0) T
5、，c 任意 记 B=(3， 2， 1， 一 4)求方程组 Bx=1 一 2 的通解21 设 A 为 n 阶实对称矩阵，满足 A2=E，并且 r(A+E)=kn () 求二次型 xTAx的规范形 () 证明 B=E+A+A2+A3+A4 是正定矩阵，并求 B22 已知(x ，y)为一个二维随机变量，X 1=X+2Y，X 2=X 一 2Y(X 1，X 2)的概率密度为 f(x1，x 2) ()分别求出 X 和 Y 的密度函数；() 求 X 和Y 的相关系数，并由此写出(X，Y)的联合密度23 进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是p(0p 1) 现进行 10 批试验，其各
6、批试验次数分别为5，4，8，3，4，7，3，1，2，3求：( )试验成功率 p 的矩估计值； ()试验失败率 q 的最大似然估计值考研数学（数学一）模拟试卷 477 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=(ln(1+g(x)+1) 21=即 g(1)=ln(1+g(1)=g(1)=0 选B2 【正确答案】 C【试题解析】 先求出分段函数 f(x)的变限积分当 0x1 时， F(x)= 0xf(t)dt=0xcostdt=sinx； 当 1x2 时， F(x)= 01f(t)dt+1xf(t)dt=01costdt+1
7、x(t-1)dt易验证 F(x)在0，2上连续当 x1 时显然 F(x)可导，且 F-(1)=(sinx) x=1=cosx x=1=一 ， F +(1)=( (x-1)2) x=1=(x-1) x=1=0， F +(1)F-(1)=F(x)在点 x=1 处不可导故应选 C3 【正确答案】 C【试题解析】 这是求傅里叶系数的问题若 f(x)以 2l 为周期，按公式取 l=1，得 a n=-11f(x)cosnxdx=02f(x)cosnxdx (周期函数积分性质) = 01f(x)cosnxdx+12f(x)cosnxdx =01f(x)cosnxdx故选 C4 【正确答案】 B【试题解析】
8、本题中的这 4 个函数均有 f(0，0)=0按可微定义，若 f(0，0)=0 ，则f(x，y)在点(0，0)处可微，且 f(x，y)=o() (0) B 中的 f(x，y)满足：因此，B 中的 f(c，y)在点(0，0)处可微故应选B5 【正确答案】 C【试题解析】 A 对，因为 rA=未知数个数 4B 对，因为 AAT 是 5 阶矩阵，而r(AAT)5C 错，因为存在 5 维向量 不可用 A 的列向量组表示，使得 AX= 无解D 对，因为 r(AT)=方程个数 4，对任何 4 维向量 ，r(A T)不会大于 46 【正确答案】 D【试题解析】 首先可排除 A，因为 rA=2，而 A 矩阵的秩
9、为 1，所以它与 A 不合同两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样(即正，负数的个数对应相等)而相似的充分必要条件是它们的特征值相同因此应该从计算特征值下手求出E 一 A=(+3)( 一 3)，A 的特征值为 0，一 3，3显然 C 中矩阵的特征值也是 0，一 3，3，因此它和 A 相似，可排除。剩下 BD 两个矩阵中，只要看一个D 中矩阵的特征值容易求出，为 0，一1，1，因此它和 A 合同而不相似 (也可计算出 B 中矩阵的特征值为 0，1，4，因此它和 A 不合同)7 【正确答案】 C【试题解析】 而任何事件与概率为 1 的事件都独立，因此应选 C 进一步分析，由于
10、ABC=，若相容；若不会两两互不相容，它们不能构成一个完备事件组，也不能两两对立，即选项 A、D均不正确其实，用文氏图判断 A、D 不正确，更是一目了然又因 A，B ，C 两两互不相容，于是有 P(AB)=P(AC)=P(BC)=0，只要 A，B，C 中有两个事件的概率大于零，A，B，C 就不可能两两独立因此也不能选 B8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 XiN(0，1)且相互独立，故 X52+X62+X72 一2(3)且相互独立，二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 简单的放大、缩小法不能解决问题，再看 xn 是否是某函数在某区间上的一个积分和 这是在0，1 上的一个积分和(将区间0
11、 ，1n 等分)因此10 【正确答案】 ，c(y)为 y 的任意函数【试题解析】 偏导数实质上是一元函数的导数当 y 任意给定时就是一阶线性常微分方程11 【正确答案】 【试题解析】 由题设知 F(x)是( 一 ，+)上连续的偶函数，且由由于 F(0)=0，又因此，函数F(x)的值域区间是12 【正确答案】 【试题解析】 L 是正方形的边界线，见图， 因 L 关于x，y 轴对称，被积函数关于 y 与 x 均为偶函数，记 L1 为 L 的第一象限部分，则13 【正确答案】 a 0 或 4【试题解析】 A 的正，负惯性指数分别为 2 和 1 的充分必要条件是 A0(A 的对角线元素有正数，不可能特
12、征值都负)求出 A=一 a2+4a， 得答案14 【正确答案】 【试题解析】 由题设 X，Y 独立，则有 Z=XYN(0 ，2 2)，于是三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 () 先求出 在点 M(x，y)处的切线方程 Y 一 y(x)=y(x)(X 一 x)， 其中(X，Y) 是切线上点的坐标在切线方程中令 Y=0，得 x 轴上的截距这是 y(x)满足的积分、微分方程() 两边对 x 求导，就可转化为二阶微分方程：又由条件及式中令 x=0 得y(0) =1因此得 y(x)满足的二阶微分方程的初值问题问题与是等价的 ()下面求解这是不显含
13、x 的二阶方程，作变换 p=y，并以y 为自变量得则就是所求曲线 的表达式17 【正确答案】 () 将方程两边求全微分得()切平面上点的坐标为(X，Y，Z) ，曲面 z=z(x，y) 上 点(x，y，z)处的切平面方程是其中 分别是 dz 中 dx 与 dy 的系数，代入得切平面方程 因此切平面在 Z 轴上的截距为18 【正确答案】 ()f(x2)一 f(x1)=f()(x2 一 x1)0 = f(x 2)f(x 1)()用()的结论对 xn 进行适当放大与缩小19 【正确答案】 () ()可考虑用格林公式求 J1曲线 L： 围成区域记为 D1.P(x，y)，Q(x，y)当(x，y)( 一 l
14、， 0)时处处有连续偏导， (一 1，0)D 1，又 于是在D1 上可用格林公式得()因为也考虑用格林公式计算 J2因为 P，Q 在点(一 1，0)处没定义，所以不能在 C 围成的区域 D2 上直接用格林公式但可在 D2 中挖掉以(一1，0)为圆心，0 充分小为半径的圆所余下的区域中用格林公式见图求解如下： 以(一 1，0)为圆心 0 充分小为半径作圆周C-(取顺时针方向) ，C 与 C 围成的区域记为 D，在 D上用格林公式得其中 C+取逆时针方向 用“挖洞法” 求得(*)式后，可用 C的方程 (x+1) 2+y2=2 简化被积表达式，然后用格林公式得其中 D*是 C+所围的区域20 【正确
15、答案】 首先从 AX= 的通解为(1，2，2，1) T+c(1，一 2，4，0) T 可得到下列讯息： Ax=0 的基础解系包含 1 个解，即 4 一 r(A)=1， 得 r(A)=3即 r(1， 2， 3， 4)=3 (1，2，2，1) T 是 Ax= 解，即 1+22+23+4= (1，一 2，4，0) T 是 Ax=0 解，即 122+43=0 1， 2， 3 线性相关，r( 1， 2， 3)=2 显然 B(0，一 1，1，0) T=1 一 2，即 (0，一 1，1，0) T 是 Bx=1 一 2 的一个解 由， B=(3， 2， 1， 一 4)=(3， 2， 1， 1+22+23)，
16、于是 r(B)=r(3， 2， 1， 1+22+23)=r(1， 2， 3)=2 则 Bx=0 的基础解系包含解的个数为 4 一 r(B)=2 个 122+43=0 说明(4，一 2，1，0) T 是 Bx=0 的解；又从B=(3， 2， 1， 1+22+23) 容易得到 B(一 2，一 2，一 1，1) T=0，说明(一 2，一2，一 1，1) T 也是 Bx=0 的解于是 (4，一 2， 1，0) T 和(一 2，一 2，一 1，1) T 构成 Bx=0 的基础解系 Bx=1 一 2 的通解为： (0，一 1，1，0) T+c1(4，一 2，1，0)T+c2(一 2，一 2，一 1，1)
17、T，c 1，c 2 任意21 【正确答案】 由于 A2=E，A 的特征值 应满足 2=1，即只能是 1 和一1于是 A+E 的特征值 只能是 2 和 0A+E 也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵， 的秩等于 r(A+E)=k于是 A+E 的特征值是 2(后重)和 0(nk 重)，从而 A 的特征值是 1(k 重) 和一 1(n 一 k 重) A 的正， 负关系惯性指数分别为 k 和 n 一k，x TAx 的规范形为 y 12+y22+yk2 一 yk+12 一一 yn2 B 是实对称矩阵由A2=E，有 B=3E+2A，B 的特征值为 5(k 重)和 1(1 一 k 重)都是正数因此 B 是正定矩阵 B=5 k22 【正确答案】 () 由(X 1，X 2)的联合密度可知 X1 与 X2 相互独立，且 X1N(4 ，3)， X 2N(2， 1) 由正态分布的性质可知，X 1，X 2 的线性组合仍服从正态分布，而由 X1=X+2Y， X2=X 一 2Y 得 根据期望和方差的性质有 ()由 X1=X+2Y 可知， DX1=DX+4DY+4cov(X，Y)故由二维正态分布密度函数23 【正确答案】 ()()最大似然函数 L(x1， ，x 10；p) ，简记为 L，则于是试验成功率 p 的最大似然估计值 根据最大似然估计的不变性，其试验失败率 q 的最大似然估计值为
