1、考研数学（数学一）模拟试卷 481 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y ln(1e )的渐近线条数为( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条2 设函数 f()在( ， )上连续，则( )（A）函数 0t2f(t)f( t)dt 必是奇函数。（B）函数 0t2f(t)f(t)dt 必是奇函数。（C）函数 0f(t)3dt 必是奇函数。（D）函数 0f(t3)dt 必是奇函数。3 若 ye 是微分方程 y2yay bc 的解，则 ( )（A）a1， b1，c 1。（B） a1，b1，c 2。（C） a3，b3，c0。（D）a3
2、，b1，c 1。4 设有命题 若正项级数 un 满足 1，则级数 un 收敛。 若正项级数un 收敛 1。 若 1，则级数 an 和 bn 同敛散。 若数列a n收敛，则级数 (an+1a n)收敛。 以上四个命题中正确的个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个5 设矩阵 Amn 经过若干次初等行变换后得到 B，现有 4 个结论，其中正确的是( ) A 的行向量均可由 B 的行向量线性表示； A 的列向量均可由 B 的列向量线性表示； 的行向量均可由 A 的行向量线性表示； B 的列向量均可由 A 的列向量线性表示。（A）、（B） 、（C） 、（D）、6 已知线性方程组
3、 Ak 1 2 有解，其中则 k( )（A）1（B） 1（C） 2（D）27 设 A，B，C 是三个随机事件， P(ABC)0，且 0P(C) 1，则一定有( )（A）P(ABC)P(A)P(B)P(C)。（B） P(AB)CP(A C)P(BC)。（C） P(ABC)P(A)P(B)P(C) 。（D）P(AB) P(A )P(B )。8 假设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X 10 是来自总体 X 的简单随机样本，Y 2，则( )（A）X 2 2(1)（B） Y2 2(10)。（C） t(10)（D） F(10,1)二、填空题9 _。10 设(，y，z)e y 2z，其中 zz(，y
4、)是由方程 yzyz0 所确定的隐函数，则 f(0，1，1)_。11 函数 f(，y，z) 2y 2z 2 在点(1 ，1，0)处沿球面 2y 2z 22 在该点的外法线方向的方向导数 _。12 设 yy()由方程 确定，则 _。13 已知 (，1，1) T 是矩阵 A 的逆矩阵的特征向量，那么a_。14 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 D(X)4D(Y)，则随机变量 2X3Y，与2X3Y，的相关系数为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 设 z ，其中 f(u)具有二阶连续导数 f(0)f(0)0，且求 f(u)。17 证明不等式 3tan2sin，(
5、0 ， )18 计算曲线积分 ，其中 L 为从点(2，0)到(2，0)的下半圆。19 求幂级数 的收敛域与和函数。20 已知线性方程组 有无穷多解，求 a，b 的值并求其通解。21 设二次型 TAa 122 22 328 122b 132c 23，实对称矩阵 A 满足ABO，其中 B ()用正交变换将二次型化为标准型，并写出所作的正交变换； () 判断矩阵 A 与 B 是否合同，并说明理由。22 已知随机变量 X 的概率密度为 fX()a 。 ()求 a； ()令YmaxX，X 2，试求 Y 的概率密度函数。23 设总体的概率密度为 f(；) X1，X n 为来自总体X 的简单随机样本，求 的
6、矩估计量与最太似然估计量。考研数学（数学一）模拟试卷 481 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 首先，0 和 1 是两个明显的间断点，且 y， y ，所以 0 和 1 是两条垂直渐近线； 其次， y， y0，所以沿方向没有水平渐近线，沿 方向有一条水平渐近线 y0。 最后，所以沿着 方向有一条斜渐近线 y，沿着 方向，由于有一条水平渐近线，因此没有斜渐近线。 综上所述，曲线共有 4 条渐近线，故选 D。2 【正确答案】 A【试题解析】 令 F() 2f()f()，由题设知 F()是(，)上的连续函数，且 F() () 2f
7、()f() 2f()f() F()， 即 F()是偶函数，于是对任意的 (，)， G() 0t2f(t)f( t)dt 0f(t)dt， 满足 G() 0 F(t)dt 0F(u)(du) F(u)duF(u)duG()， 即 G()是奇函数，故选项 A 正确。3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 ye 是微分方程 y2yaybc 的解，则 e是对应齐次方程的解，其特征方程 r22r a0 有二重根 r1r 21，则 a1； 是非齐次方程的解，将 y 代入方程 y2yaybc 知 b1，c2。故选B。4 【正确答案】 A【试题解析】 是正确的，因为级数 (an+1a n)的部分和数列为 S
8、n(a 2a 1)(a 3 a2) (a n+1a n)a n+1a 1， 因数列a n收敛， an0， Sn 存在，级数 (an+1a n)收敛。 不正确。例如 ，满足 1，但是并不收敛。 不正确。正项级数 un 收敛，但极限 不一定存在，如 是收敛的，事实上，但是 不存在。 不正确。 例如容易验证 1，但级数 bn 收敛， 而是发散的。 故选A。5 【正确答案】 B【试题解析】 由 A 经初等行变换得到 B 知，有初等矩阵 P1，P 2，P s 使得PsP2P1AB 。记 PP sP2P1，则 P=(p ij)mm 是可逆矩阵，将 A，B 均按行向量分块有 这表明pi11p i22p im
9、m i(i1，2，m)，故 B 的行向量均可由 A 的行向量线性表出，因 P(P ij)mm 是可逆矩阵，所以两边同乘 P-1 得 故 A 的行向量均可由 B 的行向量线性表出。故选 B。6 【正确答案】 D【试题解析】 将 Ak 1 2 的增广矩阵作初等行变换，Ak 1 2 有解 r(A)r(A ，k 1 2)，得 k2，故选 D。7 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A：由于不知道 P(A)或 P(B)是否为零，因此选项 A 不一定成立。选项 B：P(A B)CP(ACBC)P(AC) P(BC)P(ABC) P(AC)P(BC)， P(AB)C P(AC)P(B C)。 可见选项 B
10、正确。 选项 C：P(ABC)P(A) P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)， 由于不能确定 P(AB)，P(AC)，P(BC)的概率是否全为零，因此选项 C 不一定成立。 选项 D：而P(AB )P(AB)P(ABC)，其值是否为零不能判断，因此选项 D 也不一定成立。 故选 B。8 【正确答案】 C【试题解析】 由总体 XN(0， 2)可知 XiN(0 ， 2)，故 N(0 ，1)，且相互独立，由 2 分布，F 分布，t 分布的典型模型可知，选项 A，B 不成立。 事实上， 2(1)，故 A 不成立； 2(10)，故(B)不成立； ，故 D 不成立；而 所以 C 成立
11、。故选 C。二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 1【试题解析】 根据 f(，y，z) e y 2z 可知，f (，y，z) e y 2z，等式yzyz0 两边对 求偏导可得 1z yzyz 0， 令O ，y1，z1 得 z0。 则 f(0，1，1) e 01。11 【正确答案】 【试题解析】 球面 2y 2z 22 在(1，1，0) 点的外法线向量为 n(1，1，0)。其方向余弦为 所以12 【正确答案】 2【试题解析】 已知 ，将 0 代入得 y1，再将所给方程两边对 求导，得 1sin 2 (y).(y1)。 于是 ycsc 2 (y)1。从而将 0，y1 代入得
12、 y 0 3，y 0 2。13 【正确答案】 1【试题解析】 设 是矩阵 A-1 属于特征值 0 的特征向量，由定义 A-1 0，知 0A.，即 解得 0 ，a1。14 【正确答案】 028【试题解析】 记 Z12X3Y，Z 22X3Y，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 根据等价无穷小替换公式，16 【正确答案】 z ，其中 f(u)具有二阶连续导数，代入方程 即 f(u)f(u)u。 求解该二阶微分方程可得， f(u)C 1e-uC 2euu， 将 f(0)f(0)0 代入上式，可解得C1 ，C 2 ，故 f(u) u。17 【正确答案】 设 f()tan
13、 2sin3 ，(0， )， 则 f()sec 22cos3， f()2sec 2tan2sin2sin(sec 31)， 由于当 (0， )时sin0，sec 30，则 f() 0，函数 f()sec 22cos3 为增函数，且 f(0)0，因此 (0， )时， f()sec 22cos30， 进一步得函数 f()为增函数，由于 f(0)0，因此 f()tan2sin3f(0)0，(0， )， 即不等式3tan2sin，(0， )成立。18 【正确答案】 可知，因此积分 与路径无关。 故选取路径 L：4 2y 216，方向由点(2，0) 到点(2，0) ，则将曲线 L改写为参数方程为2cos
14、t，y4sint ，t：0 ，则 Ldyyd 08(cos2tsin 2t)dt8 ， 故19 【正确答案】 1，故该级数的收敛半径为 r1，收敛区间为(1， 1)，1 时，该级数变为常数项级数显然， (1) n2 发散， 条件收敛，故 发散，则收敛域为(1，1) 。记 S1() (1) n22n，则逐项求导可得， 令 0，可得 C0，故 S2() ，0 ；0 时，S 2(0)0。故故原级数的和函数为20 【正确答案】 由题设可知线性方程组的系数矩阵为 A ，增广矩阵为 对增广矩阵作初等行变换方程有无穷多解，则 r(A)r(A，b)3，所以 a2，b3。 下面求线性方程组的通解，将增广矩阵化为
15、行最简形。从而原方程组可化为 齐次线性方程组所对应的基础解系为(14，4，9，1) T，特解为 *(4，0，3，0) T， 从而通解为 z *K，k 为任意常数。21 【正确答案】 () 二次型对应的实对称矩阵为 A ，因为ABO，所以 下面求 A 的特征值A 的特征值为 0，6， 6。 当 0 时，求解线性方程组(OEA) 0 ，解得 1(1，0，1) T； 当 6 时，求解线性方程组(6E A)0，解得 2( 1，2，1) T； 当 6 时，求解线性方程组(6EA)0，解得3 (1，1， 1)T。 下面将 1， 2， 3 单位化则二次型在正交变换 Qy 的标准形为 f6y 226y 32
16、其中 ()矩阵 A 与 B 不合同。因为 r(A)2，r(B) 1，由合同的必要条件可知矩阵 A 与 B 不合同。22 【正确答案】 () 根据 a d1 可得 a 1，解得 a 。 ( )当y0 时，F Y(y)0，当 y0 时， F Y(y)PYy Pmax(X，X 2)yPXy，X 2y PXyP 从而 y 的概率密度函数为23 【正确答案】 矩估计量：由已知可得 则可得 ，即 的矩估计量为 。 最大似然估计量：设样本 X1，X n 的取值为 1， ， n，则对应的似然函数为 L(1， ， n；)取对数得 lnL (ln2ln iln32ln) 关于 求导得 0，则L 随着 0 的增大而减小，即 取最小值时，L 取得最大， 因为0 i2(i1，2，n) i(i1，2，n)， 所以 的最大似然估计量为 max
