1、考研数学（数学一）模拟试卷 483 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 f()在 0 处二阶可导，且 f(0)f (0)2，则 ( )（A）（B）（C）（D）12 曲线 y 的渐近线条数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 下列命题中正确的是( )（A）若 un 收敛，则 (1) n-1un 收敛。（B）若 1，则 un 收敛。（C）若 un 收敛。则 (1) n-1un2 收敛。（D）若 un 绝对收敛，则 un2 收敛。4 设 M (y) 3ddy，N sin(y)ddy ，P (ey 1)ddy ，其中D(x，y) 2y 21 ，
2、则( )（A）MNP（B） NM P（C） MNP（D）MP N5 三元一次方程组 所代表的三个平面的位置关系不可能是( )6 设 1， 2， 3， 4， 5 为 4 维列向量，下列说法中正确的是( )（A）若 1， 2， 3， 4 线性相关，那么当尼 k1，k 2，k 3，k 4 不全为 0 时，k11 k22 k33k 44 0。（B）若 1， 2， 3， 4 线性相关，那么当 k11k 22k 33k 440 时，k1，k 2，k 3，k 4 不全为 0。（C）若 5 不能由 1， 2， 3， 4 线性表出，则 1， 2， 3， 4 线性相关。（D）若 1， 2， 3， 4 线性相关，则
3、 5 不能 1， 2， 3， 4 线性表出。7 设 A，B 为随机事件，且 0P(A)1，则下列说法正确的是( )（A）若 P(A)P(AB)，则 A B。（B）若 P(AB)P(AB)，则 AB。（C）若 P(AB)P( )，则 A，B 为对立事件。（D）若 P(AB)P( )，则 A，B 相互独立。8 设总体 X 的概率密度为 f() ，X 1，X 2，X n 是来自 X 的简单随机样本，统计量 T 的期望为( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 函数 yf() 由参数方程 所确定，则_。10 2 0 sin3tdtcos2d_。11 以 C1e C 2e C 3，为通解的常系数齐次线
4、性微分方程为_。12 曲面片 z2 2y 2(0z1)的形心坐标为_。13 设矩阵 A ，若存在不相同的矩阵 B，C 使得 ABAC，且A*O，则 a_。14 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则 E(X2eX )_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设曲线 L 过点(1 ，1)， L 上任意一点 P(，y)处的切线交 轴于点 T，O 为坐标原点，若PTOT 。试求曲线 L 的方程。16 求函数 f(，y)y y 在由抛物线 y4 2(0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域 D 上的最大值和最小值。17 设 f()在0，1上连续，在(0，1)上可导，且 f(0)f(
5、1) 0，若 f()在0，1 上的最大值为 M0 设 n1，证明： ()存在 c(0，1)，使得 f(c) ； ()存在互不相同的 ，(0，1)，使得18 设对任意分片光滑的有向闭合曲面片 S，均有 (y1)f()dydz(yy 2)f()dzdzyf()2ze ddy0， 其中 f()在( ， )内具有连续的二阶导数，求f()。19 设有幂级数 求： ()该幂级数的收敛半径与收敛域： ()该幂级数的导数在收敛区间内的和函数。20 已知两个向量组 1(1，2，3) T， 2(1，0，1) T 与 1(1，2，t)T， 2(4，1，5) T。 ( )t 为何值时， 1， 2 与 1， 2 等价；
6、 ()当两个向量组等价时，写出两个向量组之间的线性表示式。21 设 A 为 3 阶实对称矩阵， 1(1，1，1) T， 2(2，1，0) T 是齐次线性方程组 A0 的基础解系，且矩阵 A6E 不可逆则 ()求齐次线性方程组(A6E)0 的通解： ()求正交变换 Qy 将二次型 TA 化为标准形； ( )求(A 3E)100。22 设随机变量(X，Y) 的概率密度函数为 f(，y) 其分布函数为 F(，y)。 ()求 F(，y)； ()分别求(X，Y)关于 X，Y 的边缘概率密度，并问 X 与 Y 是否独立?23 设总体 X 的密度函数为 f(；) ， ，其中 (0)是未知参数，(X 1，X
7、2，X n)为来自总体 X 的一个简单随机样本。 ()利用原点矩求 的矩估计量 ； () 求 的极大似然估计量 ，并问 是否为 的无偏估计?考研数学（数学一）模拟试卷 483 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 根据反函数求导法则2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，所以 0 是一条垂直渐近线； 因为，所以不存在水平渐近线；则 y1 是一条斜渐近线； 又因为所以 y1 是一条斜渐近线。综上一共有三条渐近线，故选择 C。3 【正确答案】 D【试题解析】 选项 D，若 un 绝对收敛，则 un 收敛，因此可得 un0，而un
8、2 是 un 的高阶无穷小，根据正项级数判别法，低阶收敛能推出高阶收敛，因此un2 收敛，故选择 D。 选项 A 若 un ，那么级数 un 收敛，但是是发散的，所以 A 选项错误。 选项 B 由于没有说明 un 是正项级数，因此不能根据 1 推出 un 收敛，所以 B 选项错误。选项 C 令 un 根据交错级数收敛的判别法可知 un 收敛，但是 是发散的，所以 C 选项错误。4 【正确答案】 C【试题解析】 M ( y)3ddy (33 2y3y 2y 3)ddy，因为积分区域 D关于 轴和 y 轴都对称， 3、3y 2 是关于 的奇函数，3 2y、y 3 是关于 y 的奇函数，所以根据对称
9、件可得 M 0。 N sin(y)ddy (sincosysinycos)ddy， 因为积分区域 D 关于 轴和 y 轴都对称，sincosy 是关于 的奇函数，sincosy 是关于 y 的奇函数，所以根据对称性可得 N0。 P (ey 1)ddy， 因为积分区域为 D(，y) 2 y21 ，则有 ey 1 0，即 P0。故有 MN P，选择 C。5 【正确答案】 B【试题解析】 对线性方程组的增广矩阵作初等行变换可知线性方程组解的情况只有两种，唯一解或者无解，B 选项为有无穷多解的情况，故不正确，所以答案为 B。6 【正确答案】 C【试题解析】 C 选项，反证法。假设 1， 2， 3， 4
10、 线性无关，因为1， 2， 3， 3， 5 必线性相关(5 个 4 维列向量必线性相关 )，则 5 可由1， 2， 3， 4 线性表出，矛盾。从而 1， 2， 3， 4 线性相关。7 【正确答案】 D【试题解析】 因为两个事件发生的概率相等并不意味着两事件相等，所以选项A、B、C 不一定成立，而从而可得P(AB)P(A)P(B)，则 A，B 相互独立。8 【正确答案】 B【试题解析】 由期望的定义和性质可得，二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 当 0 可得 t0，则 f(0)1，故极限10 【正确答案】 0【试题解析】 由积分的性质 f(2 0 sin3tdt)cos2d 3cos2(
11、cos 20 sin3tdt)d， 因为 3cos2 是奇函数，积分为零，可进一步化为 (cos20 sin3tdt)d 对于积分 0 sin3tdt，由于 sin3t为奇函数，则 0 sin3tdt 为偶函数，则 cos20 sin3tdt 是奇函数，所以 (cos20 sin3tdt)d0， 那么 (2 0 sin3tdt)cos2d0。11 【正确答案】 yy0【试题解析】 Cl 1e C 2eC 3 为齐次线性微分方程的通解，所以可以得到特征根为 r1， r1，r0，特征方程为(r1)(r 1)r0，则微分方程为yy0。12 【正确答案】 (0，0， )【试题解析】 形心公式 ，其中表
12、示曲面片 z2 2y 2(0z1)。由于关于 yoz 平面是对称的，而被积函数 为奇函数，所以 0。同理 关于oz 是对称的，被积函数 y 为奇函数，所以所以曲面片 z2 2y 2(0z1)的形心坐标为 (0，0， )。13 【正确答案】 2【试题解析】 由 ABAC 可得 A(BC)0，则齐次线性方程组 A0 有非零解，所以 r(A)2：另一方面，因为 A*O。所以 r(A)2，从而 r(A)2，所以 a2。14 【正确答案】 【试题解析】 由期望的定义得三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设曲线方程为 yy()，则 y(1)1，过点 P(，y)处的切线方程
13、为 Yyy(X )， 则切线与 轴的交点为 T( ，0)。根据PTOT，有 上式两边同时平方，整理可得 y(2y 2)2y ，该一阶微分方程为齐次方程，令 u ，可得 ，两边取积分得解得 u ，将初始条件 y(1)1 代入，可得 C ， 故曲线 L 的方程为 2y 22y0。16 【正确答案】 区域 D 如图 2 所示。 (1)边界 L1y0(02)，此时 f(，0) ，函数在此边界的最大值为 f(0，0)0，最小值为 f(2，0)。 边界 L2： 0(0y4)，则 f(0，y)y，函数在此边界的最大值为 f(0，0)0，最小值为 f(0，4)4。 边界 L3：y4 2(0)，则 f(，y)y
14、 y(4 2) (4 2)， 令 f()3 22 0， 解得 (舍去 )， ，又 f() 6 2，f( ) 0， 故该函数在此边界的最大值为 (2)区域 D 内部，f(，y)y y，则解得 1，y ， f (，y)0，f y(，y)1，f yy(，y)0， 故 ACB 20，函数在区域 D 内部不存在极值。 综上所述，函数在区域 D 上的最大值为 f(0，0)0；最小值为 f(0，4)4。17 【正确答案】 () 根据已知条件，存在 a(0，1，使得 f(a)M 。令 F()f() ， 显然 F()在0，1上连续，又因为 f(0)0，n1，故由零点定理可知，至少存在一点c(0，a)，使得 F(
15、c)f(c) 0，即 f(c) 。 ()在0，c，c，1上分别使用拉格朗日中值定理。已知 f()在0，1上连续，在 f(1)f(c)(1c)f() (2) 由(1).f()(2).f()，结合 f(0)f(1)0 可得， f()f()f(c)f()f()， 再由结论 f(c) 可知， f()f() f()f()， 即18 【正确答案】 令 p(， y)(y1)f()，Q(，y)(yy 2)f()，R( ，y)zyf()2ze ， 由于 f()在(，) 内具有连续的二阶导数，故 p(，y)，Q( ，y)，R(，y)均具有一阶连续偏导，故由高斯公式可知， (y1)f()dydz(yy 2)f()d
16、zdzyf()2ze ddy (y1)f()(12y)f()yf()2e ddydz0。 其中， 是由闭合曲面 S 所围成的区域，由区域 的任意性可知， (y1)f ()(1 2y)f()yf()2e 0， 即 yf()f()2f()f () f()2e 0， 则有 f () f()2f()0 (1) f () f()2e 0 (2) 求解微分方程(1)，得 f()C 1eC 2e2 ，则该通解同样满足微分方程(2)，代入可得 C11，C 20，故 f()e 。19 【正确答案】 () 2，故收敛半径为 r ，则收敛区间为由于均收敛，则 收敛；由于均收敛，则 收敛。故收敛域为。 () 令 f(
17、) ，则其导函数为则 2S2() 逐项求导可得两边同时积分，2S 2()2ln(12)C。 将 0 代入，可得 C0，故20 【正确答案】 () 对向量组 1， 2 和 1， 2 所构成的矩阵( 1， 2， 1， 2)进行初等行变换化为阶梯型矩阵。因为1， 2 与 1， 2 等价，所以，r( 1， 2)r( 1， 2)，所以 t1。 ()对矩阵(1， 2， 1， 2)进行初等行变换化为行最简形，所以1 12 2， 2 。 对矩阵( 1， 2， 1， 2)进行初等行变换化为行最简形，21 【正确答案】 () 因为矩阵 A6E 不可逆，所以 6 是矩阵 A 的一个特征值；另一方面，因为 1， 2
18、是齐次线性方程组 A0 的基础解系，所以 0 是矩阵A 的二重特征值，所以 A 的特征值为 0，0，6。 齐次线性方程组(A6E)0 的通解是矩阵 A 的属于特征值 6 的特征向量。因为 A 为 3 阶实对称矩阵，从而属于不同特征值的特征向量正交。 设 3( 1， 2， 3)T 是矩阵 A 的属于特征值 6 的一个特征向量，则 ( 1， 3)0，( 2， 3)0， 解得 3(1，2，1) T，所以齐次线性方程组(A6E)0 的通解为 k3，k 为任意常数。 ( )下面将向量组1， 2， 3 正交化。令 1 1， 2 2 1(1，0，1) T， 3 3 下面将向量组 1， 2， 3，单位化。令则二次型TA 在正交变换 Qy 下的标准型为 6y32。22 【正确答案】 () 根据分布函数的定义因为 f(，y)f X()fY(y)，所以 X 与 Y 不独立。23 【正确答案】 () 根据已知条件则 ，所以 的矩估计量 ()设样本X1，X n 的取值为 1， ， n，则对应的似然函数为取对数得关于 求导得令 0，得 0 的极大似然估计量，因为 所以，即 是 的无偏估计。
