1、考研数学（数学一）模拟试卷 490 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 的渐近线条数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）42 当 x0 时，f(lnx)= 则 -22xf(x)dx 为( )3 当 x0 时，无穷小的阶数最高的是( )（A）（B） tanx-x（C） (1+tanx)ln(1+2x)一 1（D）4 设为由直线 绕 x 轴旋转产生的曲面，则上点 P(-1，1，一 2)处的法线方程为( ) 5 设 A 为三阶矩阵，特征值为 1=2=1， 3=2，其对应的线性无关的特征向量为1， 2， 3，令 P1=(1 一 3， 2+3， 3)，则
2、P1-1A*P1=( )6 设 A，B 为 n 阶方阵，令 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，则下列命题正确的是( )（A）若矩阵 A，B 等价，则向量组 1， 2， n 与向量组 1， 2， n 等价（B）若 A，B 的特征值相同，则 A，B 等价（C）若 AX=0 与 BX=0 同解，则 A，B 等价（D）若 A，B 等价，则 AX=0 与 BX=0 同解7 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（A）是阶梯函数（B）恰有一个间断点（C）至少有两个间断点（D）是连续函数8 设 X1，X 2， 3，X 4，X 5 是来自总体
3、N(1，4)的简单随机样本，则 a=( )。（A）2（B）（C）（D）1二、填空题9 若当 x0 时，(1+2x) x 一 cosxax 2，则 a=_10 11 设 z=z(x，y)由 F(az-by，bx-cz ，cy-ax)=0 确定，其中函数 F 连续可偏导且 aF-cF20，则12 设函数 y=y(x)在(0 ，+)上满足则 y(x)=_13 设矩阵 矩阵 A 满足 B-1=B*A+A，则 A=_14 设随机变量 则(X，Y) 的联合分布律为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)连续，16 求二重积分 |x2+y2 一 x|dxdy，其中 D=(x，
4、y)|0y1 一 x，0x117 求 x=cost(0t)将方程(1 一 x2)y“一 xy+y=0 化为 y 关于 t 的微分方程，并求满足 y|x=0=1，y| x=0=2 的解18 计算曲面积分 2(1-xy)dydz+(x+1)ydzdx-4yz2dxdy，其中 是弧段(1x3)绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面，上任一点的法向量与 x轴正向夹角大于19 设 f(x)在0，1上连续可导， f(1)=0， 01f(x)dx=2，证明：存在 0，1，使得 f()=420 设 已知 AX=B 有解(I)求常数 a，b 的值( )求 X21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+ax2
5、2+3x32 一 2x1x2+6x1x36x2x3 的矩阵合同于(I)求常数 a；( )用正交变换法化二次型 f(x1，x 2，x 3)为标准形22 设随机变量 XU(0，1)，YE(1) ，且 X，Y 相互独立，求 Z=X+Y 的密度函数fZ(z)23 设总体 X 的密度函数为 f(x)= 其中 一 1 是未知参数，X1，X 2，X n，是来自总体 X 的简单随机样本(I)求 的矩估计量；()求 的最大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 490 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 所以 y=x+7为曲线的斜渐近线，故曲线
6、有两条渐近线，应选(B)2 【正确答案】 C【试题解析】 则 -22xf(x)dx=-22xdf(x)=xf(x)|-22-22f(x)dx= 选(C)3 【正确答案】 A【试题解析】 由(1+tanx)ln(1+2x)一 1=eln(1+2x)ln(1+tanx)-1ln(1+2x)ln(1+tanx)2x 2 得 (1+tanx) ln(1+2x)为 2阶无穷小；4 【正确答案】 D【试题解析】 设 M(x，y ，z) 为曲面上的任意一点，过 M 点且垂直于 x 轴的圆交直线于点 M0(x，y 0，z 0)，圆心为 T(x，0，0)，由|MT|=|M 0T|得 y2+z2=y02+z02因
7、为 所以 y0=一 x，z 0=2x，故曲面的方程为 5x2 一 y2 一 z2=0曲面上点 P(一 1，1 ，一 2)处的法向量为 n=10x，一 2y，一 2zp=一 10，一 2，4，5 【正确答案】 A【试题解析】 A*的特征值为 2，2，1，其对应的线性无关的特征向量为1， 2， 3， 选(A)6 【正确答案】 C【试题解析】 由 A，B 等价得 r(A)=r(g)，从而向量组 1， 2， n 与向量组1， 2， n 的秩相等，但两向量组秩相等不一定可相互线性表示，即不一定等价，不选(A) ； 若 A，B 特征值相同，r(A)与 r(B)不一定相等，从而 A，B 不一定等价，如： 显
8、然 A， B 的特征值相同，但 r(A)=1r(B)=2，故 A，B 不等价，不选(B)； 若方程组 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B)，从而 A，B 等价，反之不对，应选(C)7 【正确答案】 B【试题解析】 F Y(y)=PYy=PminX，2y=1 一 PrainX，2y =1 PXy，2y=1 一 PXyP2 y，当 y2 时， FY(y)=1；当 y2 时，F Y(y)=1一 PXY=PXy= 则 FY(y)= 显然 FY(y)在 y=2 处间断，选(B)8 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 因为当 x0 时，(1+2x) x
9、一 1=exln(1+2x)一 1xln(1+2x) 2x 2，所以(1+2x)x-cosx=(1+2x)x 一 1+1 一 cosx2x 2+10 【正确答案】 2(1 一 ln2)【试题解析】 11 【正确答案】 b【试题解析】 F(ax 一 by，bx 一 cz，cy ax)=0 两边对 x 求偏导得12 【正确答案】 x(1 一 cosx)【试题解析】 由可微的定义，函数 y=y(x)在(0，+)内可微，且 xsinx，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得13 【正确答案】 【试题解析】 |B|= =2，B -1=B*A+A 两边左乘 B 得 E=2A+BA，即(B+2E)A=E，则
10、A=(B+2E)-1=14 【正确答案】 【试题解析】 由PX=1=PX=1，Y=0+PX=1，Y=1，得 PX=1，Y=0= 再 PY=0=PX=0，Y=0+PX=1 ， Y=0= 得 PX=0，Y=0= 则(X ，Y)的联合分布律为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 如图，在区域 D 内作圆 x2+y2=x，将区域 D 分为 D1，D 2，则第一卦限的角平分线将 D1 分为 D11 及 D12,17 【正确答案】 该方程的通解为 y=C1cost+C2sint， 将初始条件y|x=0=1，y| x=0=一 2 代入得 C1=2，C 2=
11、1，故特解为 y=2x+18 【正确答案】 曲面：x=y 2+z2+1(1x3)，补充曲面 0：x=3(y 2+z22)，由高斯公式得19 【正确答案】 由分部积分，得 01xf(x)dx=xf(x)|01 一 01f(x)dx=-01f(x)dx=2，于是01f(x)dx=-2由拉格朗日中值定理，得 f(x)=f(x)一 f(1)=f()(x 一 1)，其中 (x，1)，f(x)=f()(x 一 1)两边对 x 从 0 到 1 积分，得 01f(x)dx=01f()(x 一 1)dx=一 2因为f(x)在0 ，1上连续，所以 f(x)在0 ，1上取到最小值 m 和最大值 M，由 M(x 一
12、1)f()(x 一 1)m(x 一 1)两边对 x 从 0 到 1 积分，由介值定理，存在0， 1，使得 f()=420 【正确答案】 得a=2，b=一 3() 令 X=(X1，X 2)，B=(b 1，b 2)，21 【正确答案】 (I)令 则 f(x1,x2，x 3)=XTAX因为 A 与 合同，所以 r(A)=23，故|A|=0()由|E A|= =( 一 4)( 一 9)=0，得 1=0， 2=4， 3=9由(0EA)X=0 得 由(4EA)X=0 得22 【正确答案】 X，Y 的边缘密度分别为因为 X，Y 独立，所以(X， Y)的联合密度函数为 f(x，y)=f X(x)fY(y)= FZ(z)=PZz=PX+Yz= 当 z0 时，F Z(z)=0；当 0z1 时，FZ(z)=0zdx0z-xe-ydy=0z(1 一 ex-z)dx =ze-z(ez-1)=z+e-z 一 1；当 z1 时，F Z(z)=01dx0z-xeydy=01(1 一 ex-z)dx =1e-z(e 一 1)=1+e-z 一 e1-z，23 【正确答案】 (I)E(X)= 01x(+1)xdx= 得参数的矩估计量为() 记样本观察值为 x1，x 2，x n，似然函数为
