1、考研数学（数学一）模拟试卷 492 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)= 的可去间断点的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在(0，0)处( )（A）不连续（B）连续但不可偏导（C）可偏导但不可微（D）可微3 点 M(2，1，一 1)到直线 L： 的距离为( )4 设幂级数 在 x=一 1 处收敛，则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不能确定5 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）若 A2B 2，则 AB（B）矩阵 A 的秩与 A 的非零特征
2、值的个数相等（C）若 A，B 的特征值相同，则 AB（D）若 AB，且 A 可相似对角化，则 B 可相似对角化6 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，令向量组(I)： 1， 2， n；()： 1， 2， n；()： 1， 2， n 若向量组(1I)线性相关，则( ) （A）向量组(I)与向量组 ()都线性相关（B）向量组(I)线性相关（C）向量组()线性相关（D）向量组(I)与()至少有一个线性相关7 设 P(A|B)=P(B|A)= ，则( )（A）事件 A，B 独立且 P(A+B)=（B）事件 A，B 独立且 P(A+B)=（C）事
3、件 A，B 不独立且 P(A+B)=（D）事件 A，B 不独立且 P(A+B)=8 设连续型随机变量 X 的概率密度 f(x)为偶函数，且 F(x)=-xf(t)dt，则对任意常数a0，P|X| a为( )（A）22F(a) （B） 1 一 F(a)（C） 2F(a)（D）2F(a)一 1二、填空题9 设 f(x)连续，且 f(0)=0，f(0)=2，则10 过点 A(3，2，1) 且平行于 L1： 的平面方程为_11 设 D：(x 2+y2)24(x2 一 y2)，则12 平面 ：Ax+By+z+D=0 被柱面 x2+4y2=4 所截得的面积为_13 设 有三个线性无关的特征向量，则 a=_
4、14 设 X1，X 2，X m 与 Y1，Y 2，Y n 分别为来自相互独立的标准正态总体 X与 Y 的简单随机样本，令 则 D(Z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+y一 y=(46x)e-x 的一个解，且 (I)求 y(x)，并求 y=y(x)到 x 轴的最大距离()计算 0+y(x)dx16 设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)证明：存在 (0，1)，使得201f(x)dx=f(0)+f(1)+17 设 y=f(x)= (I)讨论 f(x)在 x=0 处的连续性()求 f(x)的极值点与极值18
5、求曲面 z=x2+y2+1 在点 M(1，一 1，3)的切平面与曲面 z=x2+y2 所围成区域的体积19 计算 其中为圆柱面 x2+y2=1 及平面 z=x+2，z=0 所围立体的表面20 就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解，在有无数个解时求其通解21 设 =(1， 1，一 1)T 是 A= 的一个特征向量 (I)确定参数 a，b 及特征向量 所对应的特征值；()问 A 是否可以对角化?说明理由22 设 X 的概率密度为 (I)求 a，b 的值； ()求随机变量 X 的分布函数；( )求 Y=X3 的密度函数23 设 X1，X 2，X n，是来自总
6、体 X 的简单随机样本，且总体 X 的密度函数为(I)求 的矩估计量；()求 的极大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 492 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(00)f(0+0)，所以 x=0 为跳跃间断点；因为 f(20)=0，f(2+0)=一 ，所以 x=2 为第二类间断点；故 f(x)有两个可去间断点，应选(C) 2 【正确答案】 C【试题解析】 当(x，y)(0，0)时，0|f(x ，y)|=|x|. 由夹逼定理得=0=f(0，0)，从而 f(x，y) 在(0，0)处连续， (A)不对；因为不存在，所
7、以 f(x，y)在(0， 0)处不可微分， (D)不对，应选(C)3 【正确答案】 D【试题解析】 显然 M0(1， 0，1) 为直线 L 上一点，直线 L 的方向向量为 s=1，一1，01，2，一 1=1，1，3，4 【正确答案】 A【试题解析】 令 3x+1=t，则级数 当 t=-2 时收敛，故级数 的收敛半径 R2，因为 1R，所以当 t=1 时，级数 绝对收敛，即级数 绝对收敛，应选(A) 5 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB 得 A，B 的特征值相同，设为 1， 2， n,且存在可逆矩阵 P1，使得 P1-1AP1=B，即 A=P1BP1-1；因为 A 可相似对角化，所以存在可
8、逆矩阵 P2，使得 P2-1AP2= 即 A= ，于是有6 【正确答案】 D【试题解析】 当向量组(I)线性相关时，r(A)n ，由 r(AB)r(A)得 r(AB)n ，即向量组() 线性相关；同理，当向量组() 线性相关时，r(B) n ，由 r(AB)r(B)得 r(AB)n ，即向量组()线性相关，应选 (D)7 【正确答案】 C【试题解析】 由 P(A|B)=P(B|A)= 得 P(A)=P(B)，因为 P(AB)P(A)P(B)，所以 A，B 不独立故 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)= 选(C)8 【正确答案】 A【试题解析】 P|X|a=1 一 P|X|a=1一
9、P一 aXa=1一 F(a)+F(一 a)，而F(一 a)=-af(x)dx +af(一 t)(一 dt)=a+f(t)dt=1 一 -af(t)dt=1 一 F(a)，所以 P|X|a=22F(a) ，选 (A)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 0xf(x 一 t)dt x0f(u)(一 du)=0xf(u)du，10 【正确答案】 x 一 2y 一 5z+6=0【试题解析】 s 1=1，一 2，1，s 2=2，1，0 ，则所求平面方程的法向量为 n=s1s2=一 1，2，5 所求平面方程为 ：一(x 一 3)+2(y 一 2)+5(z1)=0，即 ：x一 2y 一 5z+6=011
10、 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 平面 为 z=-AxByD，由于是平面 被柱面所截得的面积为13 【正确答案】 1【试题解析】 |EA|=( 一 1)2(一 2)=0 得 A 的特征值为 1=2=1， 3=2，因为 A可相似对角化，所以 r(E-A)=1，14 【正确答案】 2(m+n 一 2)【试题解析】 D(Z)=2(m 一 1)+2(n 一 1)=2(m+n 一 2)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (I)2y“+y一 y=(46x)e-x 的特征方程为 22+1=0，特征值为 1=一 1， 2y“+y一 y=0 的通解
11、为 y=C1e-x+ 令 2y“+y一 y=(46x)e-x 的特解为 y0=(ax2+bx)e-x，代入得 a=1，b=0 ，原方程的通解为 y=C1e-x+ 由得 y(0)=0，y(0)=0，代入通解得 C1=C2=0，故 y=x2e-x由 y=(2x 一x2)e-x=0 得 x=2，当 x(0，2)时，y0；当 x2 时，y0，则 x=2 为 y(x)的最大点，故最大距离为 dmax=y(2)=4e-2() 0+y(x)dx=0+x2e-xdx=(3)=2!=216 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，则 F(x)三阶连续可导且 F(x)=f(x)，由泰勒公式得 因为 f“(x
12、)C1， 2，所以 f“(x)在 1， 2上取到最大值 M 和最小值 m，17 【正确答案】 0，所以f(0+0)=e0=1，f(0)=f(0 一 0)=1， 因为 f(0 一 0)=f(0+0)=f(0)=1，所以 f(x)在 x=0 处连续( )当 x0 时，f(x)=2x 2x(1+lnx)，令 f(x)=0 得 当 x0 时，f(x)=1当 x0 时，f(x)0；当 0x 时，f(x)0；当 x 时，f(x)0，故x=0 为极大值点，极大值为 f(0)=1；x= 为极小值点，极小值为18 【正确答案】 法向量为 =2，一 2，一 1，切平面为 ：2(x 一 1)一 2(y+1)一(z
13、一 3)=0，即 ：2x 一 2y 一 z1=0由 得(x 一 1)2+(y+1)2=1，令D：(x 一 1)2+(y+1)21，故所求的体积为19 【正确答案】 1：z=x+2(x 2+y21)在 xOy 坐标平面上投影区域为D1：x 2+y212：x 2+y2=1(0zx+2)在 xOz 坐标平面上投影区域为 D2：一 1x1,0zx+2又 2 关于xOz 坐标平面左右对称，被积函数关于 y 是偶函数， 21(右半部分):20 【正确答案】 1)当 a一 1，a6 时，方程组只有唯一解；2)当 a=一 1 时，当 a=一 1，b36 时，方程组无解；当 a=一 1，b=36 时，方程组有无数个解，方程组的通解为 3)当 a=6，b 为任意数值时，21 【正确答案】 (I)由 A=，得 解得 a=一 3，b=0，=一 1 ()由|EA|=(+1) 3=0，得 =一 1 是三重特征值 因为 r(一 E-A)=2，所以 =一1 对应的线性无关的特征向量只有一个，所以 A 不可以对角化22 【正确答案】 ()F Y(y)=PX3y，当 y一 8 时，F Y(y)=0；23 【正确答案】
