1、考研数学（数学一）模拟试卷 493 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 (x)在 xa 的某邻域内有定义，f(x) |xa| (x)则 (x)在 xa 处连续是f(x)在 xa 处可导的（A）必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件2 设 f(x)满足 f(x)(1 一 cos x)f(x) xf(x)sin x，且 f(0)2则（A）x0 是 f(x)的极小值点（B） x0 是 f(x)的极大值点（C）曲线 yf(x)在点(0 ，f(0)的左侧邻域是凹的，右侧邻域是凸的（D）曲线 yf(x)在点(
2、0，f(0) 的左侧邻域是凸的，右侧邻域是凹的3 sin(x2y 2)dy4 设 f(x)在区间a，b上存在一阶导数，且 f(A )f(B)则必存在 x0(a，b)使（A）f(x 0)f(A )（B） f(x 0)f(B)（C） f(x 0)（D）f(x 0)5 设 Ax 0 有通解 k(1，0，2，一 1)T，其中 k 是任意常数，A 中去掉第 i(i1，2，3，4)列的矩阵记成 Ai，则下列方程组中有非零解的方程组是（A）A 1y0（B） A2y0（C） A3y0（D）A 4y06 设二次型 f(x1，x 2x 3)(x 12x 2x 3)2一 x1(a 一 4)x22x 32(2x 1x
3、 2ax 3)2 正定，则参数 a 的取值范围是（A）a2（B） a7（C） a0（D）a 任意7 设随机变量 X 与 Y 独立，均服从0，3上的均匀分布，则 Pl0；27 求 D考研数学（数学一）模拟试卷 493 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D2 【正确答案】 C3 【正确答案】 B4 【正确答案】 C5 【正确答案】 B6 【正确答案】 D7 【正确答案】 A8 【正确答案】 D二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 原点到平面 x2y 一 2z12 的距离 d 4 改取平面 x4 将球体 x2y 2z 225截下小的那部分球
4、体体积，该体积与题中要求的体积是相等的改换思路求此体积就方便了故 V10 【正确答案】 【试题解析】 因此11 【正确答案】 2；【试题解析】 用有理分式分解的方法，所以要使上式存在，充要条件是 存在，但不等于零，也不等于无穷如果 AB0，则 ，如果 AB 0，则 0，所以AB0以此代入式(*)，得 b2于是由式(*)得 故所以 C12 【正确答案】 x 2y 2 一 z24z 一 40【试题解析】 直线 L： 在 yOz 平面上的投影直线 l 的方程为yz2，即 y2 一 z，它绕 z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 2 一z，即 x2y 244z z 2，即如答案所示13 【正确答案】 【
5、试题解析】 由题设条件 A 的每行元素之和为 2，可知 ，则A 有特征值 12又由 A 及 A 知 A( ) ，A( 一 )一 一( 一 )，因为 ， 线性无关，所以 0， 一 0故 A 有特征值2l， 3一 1A 是 3 阶矩阵，有 3 个不同的特征值，故 A ，其中 14 【正确答案】 130【试题解析】 因(X，Y) N(0 ，0；1，4；0)，则 XN(0，1)，YN(0 ，4)，且 X与 Y 独立所以 X2 与 Y2 独立故 故 D(X22Y 2)130.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由于 及点密度关于旋转轴(z 轴)对称，所以质心在 z 轴上
6、，质心坐标为 C ，其中 对 用柱面坐标，先 r， 后 z，于是类似地，所以. 质心坐标为 .16 【正确答案】 取 f(x)x，由拉格朗日中值定理有其中xx1，记 x，0117 【正确答案】 由() 有故 (x)在区间(0，)上严格单调增加又所以值域为18 【正确答案】 以 S 的方程 z 代入分母，得补充曲面 S1(x ，y，x)|x2y 20，x 2y 21，下侧) ，并记 再用高斯公式，有分别计算上述积分由球面坐标，有令 D(x，y)x 2y 21，于是19 【正确答案】 I 1-I2当0x 时， 从而 ，且 cos xsin x于是知 I1I 2，即20 【正确答案】 由分部积分知则
7、原方程化简为X2y(x)(2x4)y(x) ，即 由一阶线性微分方程的通解公式，得通解 y(x)再由初始条件 y(1)则有 C ，故所求的特解为 y(x)21 【正确答案】 由题设条件知，矩阵方程为(AB)XB，AB 将 X 和B 以列分块，则矩阵方程为对增广矩阵(AB|B)作初等行变换(AB|B) (I)当 a一 1 时，r(AB)2r(AB|B) 3，矩阵方程无解()当 a一 1 时，r(AB)3 r(A-B|B)3，矩阵方程有解且仅有唯一解因为(A B)x1 1 有解1 (AB)x 2 2 有解 2(一 1，2，1)T； (AB)x3 3 有解 3 故解得 X 22 【正确答案】 用反证
8、法假设 1， 2， 3 线性相关，则由定义，存在不全为零的实数 k1，k 2，k 3，使得 k11k 22k 330 (*)因又，j1，2，3.故将式(*)两端右边乘 ，j1，2，3，得，j1，2，3.这和假设矛盾，得证 1， 2， 3 线性无关23 【正确答案】 由() 知 1， 2， 3 线性无关，则 r(A)3，AA T 是实对称矩阵则齐次方程组 ATx 0 仅有唯一零解，则对任给的x0，A Tx 0 两端左边乘(A Tx)T，得 (ATx)T(ATx)X TAATx0，证得 AAT 是正定矩阵24 【正确答案】 当 X1 时Y 1(一 1)1 0；当 X2 时，Y 1(一1)21；当 X3 时，Y 1( 一 1)30；当 X4 时，Y 1(一 1)41故随机变量 Y 的概率分布为25 【正确答案】 令随机变量 Yg(X) 当 X2k1(奇数)时，Y 0；当 X2k(偶数)时，Y 1则PX 为偶数26 【正确答案】 由题知 Xi(i1，2，10)独立同分布服从 N(，1)，则，且 Y1，Y 2 独立，故 Y1 一 Y2N.进一步有 又与 Y1，Y 2 均独立，故由 t 分布对称性知 PZ01/227 【正确答案】 又 相互独立，故 (9)，则 29 18
