1、考研数学（数学一）模拟试卷 494 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在(a，b)内可导，下述结论正确的是（A）设 f(x)在(a，b)内只有一个零点，则 f(x)在 (a，b)内没有零点（B）设 f(x)在(a ，b) 内至少有一个零点，则 f(x)在(a，b)内至少有两个零点（C）设 f(x)在(a ，b) 内没有零点，则 f(x)在(a ，b)内至多有一个零点（D）设 f(x)在(a，b)内没有零点，则 f(x)在(a ， b)内至多有一个零点2 二次曲面 yzzx 一 xy 1 为（A）椭球面（B）单叶双曲面（C）双叶双曲面（D）
2、锥面3 幂级数 的收敛域为（A）(一 2，2) （B） 一 2，2（C） (一 8，8)（D）一 8，8 4 由方程 2y3 一 2y22xyy 一 x20 确定的函数 yy(x)（A）没有驻点（B）有唯一驻点，但不是极值点（C）有唯一驻点为极小值点（D）有唯一驻点为极大值点5 设 A，B，C ，D 是四个 4 阶矩阵，其中 A，D 为非零矩阵，B，C 可逆，且满足ABCDO，若 r(A )r(B ) r(C )r(D )r，则 r 的取值范围是（A）r10（B） 10r12（C） 12r16（D）r166 下列二次型中，正定二次型是7 设 ZN(0 ， 1)，令 X Z，X 1，X 2，X
3、n 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时，Y n 依概率收敛于（A） 3（B） 4（C） 33 2（D） 43 238 某大学学生身高 XN(， 2)，其中 ， 2 均未知从总体中抽取X1，X 2，X 16 共 16 个样本，假设检验问题为 H0：140 cm，H 1：140 cm由样本观察值计算得 170 cm，s 216，005，t 0.05(15)175，则检验的结果为（A）接受 H0，可能会犯第二类错误（B）拒绝 H0，可能会犯第二类错误（C）接受 H0，可能会犯第一类错误（D）拒绝 H0，可能会犯第一类错误二、填空题9 设常数 a 0，曲线 上点(a，a，a)处的切线方程是_1
4、0 _11 由参数式 确定的曲线 yf(x)在其上对应于参数 t0 的点_处的曲率半径 R_12 微分方程 2yx 2ln x 的通解为 y_13 设二次型 f(x1，x 2，X 3)x TAx 的正惯性指数为 1，又矩阵 A 满足 A22A3E ，则此二次型的规范形是_14 在一个袋中装有 a 个白球， b 个黑球，每次摸一球且摸后放回重复 n 次已知摸到白球 k 次的条件下，事件 B 发生的概率为 ，则 P(B )_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求曲面 9x216y 2144x 2169 上的点到平面 3x 一 4y12z156 的距离 d 的最大值16 设 l
5、为自点 O(0，0) 沿曲线 ysin x 至点 A(， 0)的有向弧段，求平面第二型曲线积分17 设 x 与 y，均大于 0 且 xy证明：18 设 (x ，y，z) |x 2 y23z，1z4，求三重积分18 设幂级数 在它的收敛区间内是微分方程的一个解19 求该幂级数的系数 an 的表达式 (n0，1，2，)；20 由() 的结果求该幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域20 A 是 3 阶矩阵，有特征值 1 22，对应两个线性无关的特征向量为1， 2， 3 2 对应的特征向量是 321 问 1 2 是否是 A 的特征向量?说明理由；22 2 3 是否是 A 的特征向量?说明理由；23 证明
6、：任意 3 维非零向量 都是 A2 的特征向量，并求对应的特征值23 设 A 是 n 阶矩阵，A 的第 i 行、第 j 列的元素 aijij24 求 r(A )；25 求 A 的特征值、特征向量，并问 A 能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由25 已知随机变量 X 与 Y 的部分联合分布列、边缘分布列如下表，且求：26 a，b，c，d；27 PminX，Y)1 ；28 Cov(X，Y)28 设总体 X 的概率密度为 ，x，其中 0 未知X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的一个简单随机样本29 利用原点矩求 的矩估计量 是否为 2 的无偏估计?30 求 的最大似然估计
7、量 是否为 的无偏估计?考研数学（数学一）模拟试卷 494 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C2 【正确答案】 B3 【正确答案】 C4 【正确答案】 C5 【正确答案】 B6 【正确答案】 D7 【正确答案】 C8 【正确答案】 D二、填空题9 【正确答案】 xy2a，z a【试题解析】 将 x 看成自变量，方程两边对 x 求导，得 yzxyz xyz0 及xyyaz 将(x，y ，z) (a，a，a)代入，得 y(a)z (a)一 l，y(a)z(a)一 1，解得 y(a)一 1，z(a)0所以切线方程为：，即 xy2a，za10
8、【正确答案】 【试题解析】 用球面坐标，则原式11 【正确答案】 【试题解析】 x ，当 t0 时对应的点为故曲率为 k ，曲率半径为 R212 【正确答案】 其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 此为欧拉方程令 xe，于是所以原方程化为 按 y 对 t 的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法解之，得通解 y13 【正确答案】 【试题解析】 由 A2 一 2A3E 知，A 2 一 2A 一 3E(A 一 3E)(AE)O ，且 A一 E， A3E，因此|A 一 3E|0 且|AE|0A 有特征值 13， 2一 1因为A 的正惯性指数 p1，故规范形为14 【正确答案】 【试题解析】 由题意
9、，每次摸一球且摸后放回重复 n 次实质为 n 重独立重复试验，则每次摸到白球的概率记为 p 设事件 Ak在 n 重独立重复试验中摸到白球 k 次，则由全概率公式得 P(B) 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 用几何方法由所给方程知，曲面 9x216y 2144z 2169 是一个椭球面，经过该椭球面上的点 P(x0，y 0，z 0)作椭球面的切平面，使与平面3x4y12z 156 平行，这种切点 P 有两个，到平面 3x4y12z156 距离大的那个距离即为所求现在按此思路去做 设切点为 P(x0，y 0，z 0)，则该切平面在点 P 的法向量 n(18x
10、0，32y 0，288z 0)(3，一 4， 12)，所以，从而 代入所给曲面方程 9x216y 2144z 2169，得于是得两个切点由点到平面 3x 一 4y12z156 的距离公式将(x 0，y 0，z 0)1 与(x 0，y 0，z 0)2 分别代入得所以 maxdd 212316 【正确答案】 令 I所以II 1I 2e 217 【正确答案】 不妨认为 yx0(因若 xy0，则变换所给不等式左边的 x 与y，由行列式的性质知，左边的值不变)，则由柯西中值定理知，存在 (x，y)使上式 记 f(u)e u 一 ueu(u0)，有 f(0)1，f(u)一ueu0，所以当 u0 时， f(
11、u)1，从而知 e一 e1得证18 【正确答案】 用柱面坐标，dvrdrddz ，19 【正确答案】 由题设 在它的收敛区间内是所给微分方程的一个解，将所给幂级数代入微分方程可求出系数 an(n 0，1，2，)如下：代入所给方程，得得 20 【正确答案】 由() 知 收敛半径 R1，收敛区间为(一 1，1)下面证明 发散， 收敛，所以该幂级数的收敛域为一 1，1)事实上，由 知a n单调减少又所以 发散.又所以 条件收敛， 的收敛域为一 1，1)21 【正确答案】 因已知 A12 1，A 22 2，故 A(1 2)A 1A 22 12 22( 1 2)，故 1 2 仍是 A 的对应于 1 22
12、 的特征向量22 【正确答案】 2 3 不是 A 的特征向量假设是，设其对应的特征值为 ，则有 A( 2 3)( 2 3)， 得 22 一 23 一 2 一 3(2 一 )2 一(2) 30 因 2一 和 2 不同时为零，故 2， 3 线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾，故 2 3 不是 A 的特征向量23 【正确答案】 因 A 有特征值 1 22， 3一 2，故 A2 有特征值1 2 34对应的特征向量仍是 1， 2， 3，且 1， 2， 3 线性无关故存在可逆矩阵 P (1， 2， 3)，使得 P 1 A2P4E，A 2P(4E)P 1 4E ， 从而对任意的0，有 A24
13、E 4 ，故知任意非零向量 都是 A2 的对应于 4 的特征向量24 【正确答案】 法一 (I)由题设条件知故 r(A)1()由 A 的特征多项式 故 A 有特征值 1 2 n1 0， n 当 1 2 n1 0 时，方程组(E 一A)x0 就是方程组 Ax0，其同解方程是 x12x 2nx n0，解得对应的特征向量为 k11k 22k n1 n1 ，其中 1(2,1,0,0) T， 2(一3，0，1，0，0) T， n1 ，(一 n，0，0，1) T，k 1，k 2，k n1 为不全为零的任意常数当 时，( nEA)x0，对系数矩阵作初等行变换，得 方程组的同解方程组为 解得对应的特征向量为
14、knn，其中n(1，2，n) T，k n 为任意的非零常数从而知 A 有 n 个线性无关的特征向量，A，取法二 (I)由题设条件 A ，A 中第 i 行元素是第 1 行的 i 倍，故有其中 a(1，2，n)T0故 r(A)125 【正确答案】 因 A2(aa T)(aaT)a(a Ta)aT(a Ta)A ，故知 A 的特征值为 0， 当 0 时，对应的特征向量满足 Axaa Tx0，因aTa 0，在方程 aaTx0 两端左边乘 aT 得 a T(aaTx)(a Ta)aTx0，得aTx0 当 aTx0 时，两边左边乘 a，得 aaTx0 ，故方程组 aaTx0 与 aTx0 同解解方程 aT
15、x0，得线性无关的特征向量为 1(一 2，1，0，0) T， 2(一3，0，1，0，0) T， n1 ，(一 n，0，0，1) T，因此对应于 0 的特征向量为 k11k 22k n1 n1 ，k 1，k 2，k n1 ，为不全为零的任意常数又 tr(A) 0,故 A 有一个非零特征值 n 当n a Ta 时，由 nEA)x(a TaE 一 aaT)x 0，当 xa 时，有 (a TaEaaT)a(a Ta)a 一(aa T)a(a Ta)a 一 a(aTa)0，故 nk n(1，2，n) T(kn0)是对应于n 的特征向量，即 A 有 n 个线性无关的特征向量，A 能相似于对角阵下同法一26 【正确答案】 所以27 【正确答案】 由() 可以得到联合分布列、边缘分布列为所以 PminX，Y)1) 1 一 PminX，Y)1) 1 一 PX1，Y1 1 一PX1，Y1一 PX1，Y2 28 【正确答案】 由上易知 29 【正确答案】 由于 EX 0,故采用二阶原点矩进行矩估计，由 得到 由于，所以是 2 的无偏估计30 【正确答案】 设 x1，x 2，x n 为样本观测值，似然函数为令0，解得 由于为 的无偏估计
