1、考研数学（数学三）模拟试卷 262 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 ，讨论函数 f(x)的间断点，其结论为( )（A）不存在间断点（B）存在间断点 x=l（C）存在间断点 x=0（D）存在间断点 x=-12 设 f(x，y)为区域 D 内的函数，则下列各种说法中不正确的是( )3 设平面区域 D：1x 2+y24，f(x ，y)是区域 D 上的连续函数，则等于( ) 4 级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 a 有关5 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有( )（A）当A=a(a0)时，B=a（B）当 A=a(a0)
2、时，B=-a（C）当 A0 时，B=0（D）当A=0 时，B=06 设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，则( )（A）(A *)*=A n-1A（B） (A*)*=A n+1A（C） (A*)*=A n-2A（D）(A *)*=A n+1A7 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正面 ， A3=正、反面各出现一次，A 4=正面出现两次 ，则事件( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A2，A 3，A 4 相互独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立8 设随机变量 X 的
3、密度函数为 (x)，且 (-x)=(x)，F(x) 为 X 的分布函数，则对任意实数 a，有 ( )（A）F(-a)=1- 0a(x)dx（B） F(-a)=1/2-0a(x)dx（C） F(-a)=F(a)（D）F(-a)=2F(a)-1二、填空题9 =_10 设 y(x)为微分方程 y-4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=0，y (0)=2 的特解，则 01 y(x)dx=_11 曲线 sin(xy)+ln(y-x)=x 在点(0，1) 处的切线方程为_12 设 a0， f(x)=g(x)= ，而 D 表示整个平面，则=_13 设 A= ，而 n2为正整数，、则 An-2An-1=_1
4、4 设随机变量 X 在区间-1，2上服从均匀分布，随机变量 Y= 则方差 D(Y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限 ，其中 n 是给定的自然数16 计算17 计算 ，D： 2x2+y21，并求此积分当 0 +时的极限18 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)=O，且 f+(a)0，证明：存在 (a，b)，使得 f(a)019 设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)，求复合函数 z=f(x，y)，(y)，x)的偏导数20 设齐次线性方程组 其中 00，b0，n2试讨论 a，b为何值时，方程组仅有零解、无穷多组解?
5、在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解21 设二次型 f=x12+x22+x32+2ax1x2+2x2x3+2x1x3，经正交变换 x=Py 化成f=yx22+2y3x3，P 是 3 阶正交矩阵试求常数 a、22 一电子仪器由两个部件构成，以 X 和 Y，分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，已知 X 和 Y 的联合分布函数为 F(x，y)=()X 和 Y 是否独立?()求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率 a23 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克若用最大载重为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆最多可
6、以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 09777(2)=0977，其中 (x)是标准正态分布函数)考研数学（数学三）模拟试卷 262 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 ，当 x-1时，f(x)=0；当-1x 1 时，f(x)=1+x；当 x=1 时，f(x)=1；当 x1 时，f(x)=0所以不难确定在 x=1 点处 f(x)间断，选(B)2 【正确答案】 D【试题解析】 显然(A) 是正确的， (B)与(A) 条件等价，故(B)正确，在区域D，df(x，y)=0 =0所以(C)也是正确的，因此选(D) 3 【正确
7、答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，若 B=A，则 A 与 B 等价，因此 A=B，显然(B)，(C)不正确其次，当 A0 时，若对 A 施以一定的初等变换得 B，则B 可以变为任何不为 0 的实数，可见(A)亦不正确，所以只有 (D)正确事实上，由于初等变换不改变矩阵的秩，直接可判断出只有(D)正确，综上，选 (D)6 【正确答案】 C【试题解析】 涉及伴随矩阵 A*，首先联想到公式 AA*=A*A=A E 由题设，矩阵 A 非奇异，故 A 可逆，所以由公式 AA*=A*A=AE 可得 A*=A A -1，于是(A *)*=(A
8、 -1A)*= AA -1(AA -1)-1=A nA -11/ A (A -1)-1= A n-2A，故应选 (C)7 【正确答案】 C【试题解析】 定义事件组 Q=(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反) 由古典概型的定义，知 P(A1)=1/2=P(A2)=P(A3)， 而 P(A4)=1/4，则 P(A1A2)=P(两次均为正面)=1/4=P(A 1)P(A2)，即 A1 与 A2 独立； P(A 1A3)=P(第一次出现正面且第二次出现反面)=1/4=P(A 1)P(A3)，即 A1 与 A3 独立； P(A 2A3)=P(第一次出现反面且第二次出现正面)=1/4=P(A 2)
9、P(A3)，即 A2 与 A3 独立 至此知 A1，A 2，A 3 两两独立，但由 P(A1A2A3)=0P(A1)P(A2)P(A3)，知 A1，A 2，A 3 不相互独立，此外，显然A4 A2，故 P(A2A4)=P(A4)=1/4P(A4)P(A4)，因此 A2，A 3，A 4 不两两独立，所以也不会相互独立8 【正确答案】 B【试题解析】 因为随机变量 X 的密度函数为 (x)，且 (-x)=(x)，二、填空题9 【正确答案】 6/5【试题解析】 10 【正确答案】 1/2(e 2-1)【试题解析】 y -4y+4y=0 的通解为 y=(C1+C2x)e2x， 由初始条件 y(0)=1
10、，y (0)=2得 C1=1，C 2=0，则 y=e2x，于是11 【正确答案】 x+1【试题解析】 先求曲线在点(0，1)处切线的斜率，即隐函数求导，对曲线方程两边求导数得 将点(0，1)代入上述方程可得 1+y(0)-1=1，即 y(0)=1，故切线方程为 y-1=x，即 y=x+112 【正确答案】 a 2【试题解析】 13 【正确答案】 0【试题解析】 由题设，A 2= 假设 An=2An-1(n2)，则 An+1=2A*An-1=2An， 所以由数学归纳法，知 An-2An-1=014 【正确答案】 8/9【试题解析】 已知 X 在区间-1，2上服从均匀分布，则 X 的概率密度为三、
11、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 由复合函数求导法，得20 【正确答案】 由题设，方程组的系数矩阵为 则当 ab 且 a+(n-1)b0，即 a(1-n)b 时，方程组仅有零解 当 a=b 时，对 A 可作初等行变换化为阶梯形则不难求得原方程组的基础解系为因此方程组的全部解是 x=k11+k22+kn-1n-1，其中 k1，k 2，k n-1 为任意常数当 a=(1-n)b 时，同样对 A 作初等行变换化为阶梯形 则可得此时基础解系为 = ，从而原方程组的全部解是 k，其中 k 为任
12、意常数21 【正确答案】 变换前后二次型的矩阵分别为 二次型可以写成 f=xTAx 和 f=yTBy，由于 PTAP=B，P 为正交矩阵，故 P-1AP=B，因此3-32+(2-a2-2)+(a-)2=3-32+2，比较系数得 a=022 【正确答案】 由题设条件知 X 和 Y 的分布函数分别为()由上式知F(x，y)=Fx(z)F Y(y)，故 X 和 Y 相互独立()a=PX 01，Y01=PX01PY01 =(1-PX01)(1-PY01)=1-F X(01)1-F Y(01)=e-0.123 【正确答案】 由题设，设 Xi(i=1，2，n)是装运的第 i 箱的重量(单位：千克)，n 是所求箱数，由已知条件 X1，X 2，X n 是独立同分布的随机变量，设 n 箱的总重量为 Tn，T n=X1，X 2，X n又由题设，E(X i)=50，D(X i)=25，i=1，2 ，n，从而 E(Tn)=n*50=50n，D(T n)=25n(单位皆为千克)，由中心极限定理，知 Tn 近似服从参数为 50n，25n 的正态分布，即 N(50n，25n)，由条件
