1、考研数学（数学三）模拟试卷 264 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在(-，+) 内有定义，且 ，则( )（A）x=0 必是 g(x)的第一类间断点（B） x=0 必是 g(x)的第二类间断点（C） x=0 必是 g(x)的连续点（D）g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关2 设 f(x)在a，b上连续，且 f(a)0，f (b)0，则下列结论中错误的是( )（A）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(a)（B）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)厂(6)（C）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x
2、0)=0（D）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=03 若正项级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不确定4 设 ，i=1，2，3，其中 D1=(a， y)x 2+y2r2，D2=(x，y) x 2+y22r2，D 3=(x，y)xr ，yr 则下列结论正确的是( )（A）I 1I 2 I3（B） I2I 3I 1（C） I1I 3I 2（D）I 3I 2 I15 设 a1，a 2，a 3，是四元非齐次方程组 Ax=b 的三个解向量，且秩 r(A)=3，a 1=(1，2，3，4) T，a 2+a3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=
3、b 的通解 x=( )6 n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的( )（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件7 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的在使用过程中，只要有 2 个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电以 E 表示事件“电炉断电”，设 T(1)T(2)T(3)T(4)为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于( )（A）T (1)t0（B） T(2)t0（C） T(3)t0（D）T (4)t08 设 X1，X，X n 为来自总体 N(， 2)的简单随机样本， 为样
4、本均值，记则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量是( ) 二、填空题9 若 x0 时，(1-ax 2)1/4-1 与 xsinx 的等价无穷小，则 a=_10 设 =_11 已知 f(lnx)=1+x，则(x)=_12 设有级数 ，则该级数的收敛半径为_13 设三阶矩阵 A= ，三维列向量 a=(a，1，1) T已知 Aa 与 a 线性相关，则 a_14 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)= ，问函数 f(x)在 x=1 处是否连续? 若不连续，修改函数在 x=1 处的定义使之连续16 设 z=x2a
5、rctan(y/x)-y2arctan(x/y)，求17 从点 P1(1，0)作 x 轴的垂线，交抛物线 y=x2 于点 Q1(1，1)，再从 Q1 作这条抛物线的切线与 x 轴交于 P2，然后又从 P2 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 Q2，依次重复上述过程得到一系列的点 P1，Q 1，P 2，Q 2，P n，Q n，()求 ()求级数 其中 n(n1)为自然数，而 表示点 Qi 与 Pi 之间的距离18 设 f(x)在0，1上二阶可导且 f(x)0，证明：19 计算 ，其中 D 是曲线 和直线 y=-x 所围成的区域20 考虑二次型 f=x12+4x22+4x32+2x1x2-2x1x3+
6、4x2x3，问 取何值时，f 为正定二次型21 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 a1=(-1，2，-1) T=(0，-1，1) T是线性方程组 Ax=0 的两个解； ()求 A 的特征值与特征向量； ()求正交矩阵Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=L； ()求 A 及(A- (3/2)E) 6，其中 E 为三阶单位矩阵22 设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 X 的简单随机样本，Y 1=1/6(X1+X6)，Y2=1/3(X7+X8+X9)，S 2= (X1-Y2)2，Z= ，证明统计量 Z 服从自由度为2 的 t 分布23 假设随机变量 X1、X 2、X 3、X
7、4 相互独立，且同分布，PX i=0=06，PX i=1=04(i=1 ，2，3，4)，求行列式 X= 的概率分布考研数学（数学三）模拟试卷 264 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查连续性及间断点的定义由题设，如果 a=0，则 g(x)在 x=0 连续；如果 a0，则 g(x)在 x=0不连续且 x=0 为第一类间断点所以选(D)【知识模块】 连续性、间断点2 【正确答案】 D【试题解析】 由已知，f (a)0，则 ，从而存在 10，当x(a，a+ 1)时，f(x)f(a)；f (b)0，则 ，从而 20，当 x
8、(b-2，b) 时，f(x)f(b)至此可知 (A)，(B)正确； 又由已知 f(x)在a，b 上连续，及f(a)0，f (b)0，则由连续函数的介值定理知 存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0，故(C) 也正确； 关于(D)，若令a ，b=-1，1，f(x)=2-x 2，则 f(x)=-2x 且 f(-1)=2 0 及 f1)=-20，但 f(x)0，所以(D)错误，选 (D)【知识模块】 导数的定义、连续函数的介值定理3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 级数的收敛性4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 D1 D3 D2，且 e-(x2+y2)0，I 1I 3I 2，
9、(C)为答案【知识模块】 二重积分的性质5 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，Ax=b 的系数矩阵 A 的秩为 3， 因此 Ax=0 的基础解系中只含一个解向量，由于已知 Aa1=b，Aa 2=b，Aa 3=b， 从而 A(2a1)-A(a2+a3)=2b-2b=0，则 A(2a1-a2-a3)=0， 即 2a1-a2-a3=(2，3，4，5) T 是 Ax=0 的解，且(2，3， 4，5) T0，因而可作为 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=b 的通解为 ，所以选(C)【知识模块】 线性方程组解的结构6 【正确答案】 B【试题解析】 若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值，则一定有
10、n 个线性无关的特征向量，从而必相似于对角矩阵，但反之不成立因此 n 阶矩阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角矩阵相似的充分而非必要条件故应选 (B)【知识模块】 矩阵对角化的条件7 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，已知 T(1)T(2)T(3)T(4)， 因此T (1)t0 T(2)t0 T(3)t0T(4)t0， 所以 E=电炉断电 =T(3)t0，T (4)t0 T(3)t0【知识模块】 事件的等价性8 【正确答案】 B【试题解析】 因 X1，X 2，X n 为来自总体 N(， 2)的简单随机样本， 为样本均值，由正态总体抽样分布的性质知，并且 U，V 相互独立，于是服从
11、自由度为 n-1 的 t 分布，故应选 (B)【知识模块】 利用 t 分布的典型模式易得结果二、填空题9 【正确答案】 -4【试题解析】 由题设，根据等价无穷小的定义，知【知识模块】 等价无穷小10 【正确答案】 【试题解析】 由题设，【知识模块】 复合函数求偏导数11 【正确答案】 x+e x+C【试题解析】 令 lnx=t，则 x=et，于是由题设有 f(t)=1+et，即 f(x)=1+ex，积分得 f(x)=(1+ex)dx=x+ex+C【知识模块】 先求出 f(x)的表达式，再积分即可12 【正确答案】 2/3【试题解析】 收敛半径【知识模块】 级数的收敛半径13 【正确答案】 (-
12、1，1，1) T【试题解析】 由题设， 由 Aa 与 a 线性相关，知 Aa与 a 对应分量成比例，则 所以 a=-1，即 a=(-1，1，1) T【知识模块】 线性相关14 【正确答案】 e -1【试题解析】 由题设，X 服从参数为 A 的指数分布，则 D(X)=1/2，又 X 的概率密度函数为【知识模块】 指数分布三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 而 f(1)=1，故 ，所以函数在 x=1 处不连续， 若令 f(1)=-(4/2)，则函数在 x=1处连续16 【正确答案】 按照复合函数偏导的方法，得【知识模块】 复合函数求偏导数17 【正确答案】
13、() 依题意画图(如图) 由 y=x2 得 y=2x， 任给 a(0a1) ，抛物线 y=x2 在点(a，a 2)处的切线方程为 y-a2=2a(x-a)，该切线与 x轴的交点为(a2，0)，因此由 ，以此类推，知 ()又由 知级数【知识模块】 切线方程、级数求和18 【正确答案】 由泰勒公式得【知识模块】 用泰勒公式证明积分不等式19 【正确答案】 【知识模块】 用极坐标法计算二重积分20 【正确答案】 二次型门 f 矩阵为 A= 二次型 f 正定的充分必要条件是：A 的顺序主子式全为正，事实上，A 的顺序主子式为：D1=10，D 2= =4-2D 3= =-42-4+8=-4(-1)(+2
14、) 于是，二次型厂正定的充分必要条件是 D20，D 30 由 D2=4-20 得-22， 由 D3=-4(-1)(+2) 0 得-2 1 于是，当且仅当-21 二次型，正定【知识模块】 利用顺序主子式来判定21 【正确答案】 () 依题意，因为 A= 所以 3 是矩阵 A 的一个特征值，a=(1，1，1) T 是 A 属于 3 的特征向量，又因为 Aa1=0=0Aa1，Aa 2=0=0a2，所以a1，a 2 是矩阵 A 属于 =0 的特征向量，所以 A 的特征值是 3、0、0，且 =0 的特征向量为 k1(-1，2，-1) T+后：(0 ，-1，1) T(k1，k 2 是不全为 0 的常数)，
15、=3 的特征向量为 k=(1，1，1) T(k0 为常数)( )由于 a1，a 2 不正交，所以要做 Schmidt 正交化： 1=a1=(-1，2，-1) T 令Q=(1， 2， 3)= ()由 A(a1，a 2，a)=(0，0，3a)，有 A=(0，0 ，3a)(a 1，a 2，a) -1= 记则 P-1BP= ，将其记为 A1，其中P=(a1，a 2，a)， 所以 B6=PA16P-1=(3/2)6=(3/2)6E【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量、对角矩阵、相似矩阵22 【正确答案】 由题设，Y 1 是样本(X 1+X6)的样本均值，Y 2 是样本(X7，X 8，X 9)的样本均值，
16、 S2 是样本(X 7，X 8，X 9)的样本方差，设 D(x)=2E(x)=，则 E(Y1)=E(Y2)=，且有 D(Y1)=(1/6)2，D(Y 2)=(1/3)2已知 Y1 与 Y2 独立且E(Y1-Y2)=0 从而 D(Y1-Y2)= 因此 又由正态总体样本方差的性质知 x2=2S2/2 服从自由度为 2 的 x2 分布，因为 Y1 与 S2 独立，Y 2 与 S2 独立，因而 Y1-Y2 也与 S2 独立，由服从 t 分布的随机变量的结构可知服从自由度为 2 的 t 分布【知识模块】 t 分布23 【正确答案】 记 Y1=X1X4，Y2=X2X ，则 X=Y1y2，且 Y1，y2 独立同分布：PY1=1=PX1=1，X 4=1=PX1=1PX4=1=016=PY 2=1；PY 1=0=1-PY1=1=084=PY 2=0X=Y 1-Y2 的所有可能取值-1、0 、1，且 PX=-1=PY1-Y2=-1=PY1=0，Y 2=1=PY1=0PY2=1=084016=01344；PX=1=PY 1-Y2=1=PY1=1，Y 2=0=PY1=1PY2=0=016084=01344；PX=0=1-201344=07312于是行列式的概率分布 X=
