1、考研数学（数学三）模拟试卷 266 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为 R 上不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 ( )（A）在 x=0 处左极限不存在（B）有跳跃间断点 x=0（C）在 x=0 处右极限不存在（D）有可去间断点 x=02 设 f(x，y)与 (x，y) 均为可微函数，且 (x，y)0，已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是( )（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)
2、0（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=O（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)03 设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是( )（A）Cy 1(x)-y2(x)（B） y1(x)+Cy1(x)-y2(x)（C） Cy1(x)+y2(x)（D）y 1(x)+Cy1(x)+y2(x)4 下列各选项正确的是( ) 5 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C，记 P= ，则( )（A）C=P -1A
3、P（B） C=PAP-1（C） C=PTAP（D）C=PAp T6 设向量组 a1，a 2，a 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（A）a 1+a2，a 2+a3，a 3-a1（B） a1+a2， a2+a3，a 1+2a2+a3（C） a1+2a2， 2a2+3a3，3a 3+a1（D）a 1+a2+a3，2a 1-3a2+2a3+5a2+3a37 设 F1(x)与 F2(x)分别为随机变量，X 1 与 X2 的分布函数，为使 F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取( )8 设两个随机变量 x 与 y 独立同分布，PX=-1=PY
4、=-1=1/2，PX=1=PY=1=1/2，则下列各式中成立的是( ) （A）PX=Y=1/2（B） PX=Y=1（C） PX+Y=0=1/4（D）PXY=1=1/4二、填空题9 极限 =_10 设(x 0，y_)是抛物线 y=ax2+bx+c 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_11 设 =_12 设 y=y(x)可导， y(0)=2，令 y=y(x+x)-y(x)，且 ，其中 a 是当x0 时的无穷小量，则 y(x)=_13 设 其中aiaj(ij，i ， j=1，2，n)，则线性方程组 ATx=B 的解是_14 设随机变量 x 的概率密度函数为 f(x)= ，以 Y 表
5、示对 X 进行三次独立重复观察中事件X1/2)出现的次数，则 PY=2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 设某产品的成本函数为 c=aq2+bq+c，需求函数为 a=1/e(d-p)，其中 C 为成本，q为需求量(即产量) ，p 为单价，a ，b，c，d，e 都是正的常数，且 db，求： ()利润最大时的产量及最大利润； ()需求对价格的弹性； ()需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量17 设 f(x)在0，1上连续，且 0f(x)1，试证在0，1内至少存在一个 ，使 f()=18 求函数 y=(x-1)e/2 +arctanx 的单调区间和极值，并求该函
6、数图形的渐近线19 假设：(1)函数 y=f(x)(0x+) 满足条件 f(0)=00ex-1；(2)平行于 y 轴的动直线删与曲线 y=f(x)和 y=ex-1 分别相交于点 P1 和 P2；(3)曲线 y=f(x)、直线删与 x 轴所围封闭图形的面积 5 恒等于线段 P1P2 的长度，求函数 y=f(x)的表达式20 已知 3 阶矩阵 B 为非零向量，且 B 的每一个列向量都是方程组() 求 的值；()证明B=021 设向量 a=(a1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T 都是非零向量，且满足条件aT=0，记 n 阶矩阵 A=aT，求： ()A 2； ()矩阵 A 的特征值
7、和特征向量22 考虑一元二次方程 x2+Bx+C=0，其中 B，C 分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数求该方程有实根的概率 p 和有重根的概率 q23 设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G=(x，y)：1x3，1y3上的均匀分布，试求随机变量 U= X-Y的概率密度 p(u)考研数学（数学三）模拟试卷 266 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，f(-x)=-f(x)，则有 f(0)=0，从而 f(0)=即 g(x)在 x=0 处极限存在，但 x=0 时 g(x)无定义， 因此可补充定义 g(0)=f
8、(0)，则 g(x)在 x=0 处连续 综上，g(x)有可去间断点 x=0，所以选(D)。【知识模块】 极限、间断点2 【正确答案】 D【试题解析】 依题意知(x 0，y 0)是拉格朗日函数，F(x，y，)=f(x，y)+(x，y) 的驻点，即(x 0，y 0)使得 因为(x0，y 0)0，所以从(2)式可得 代入(1)式得 fx(x0，y 0)-即 fx(x0，y 0)y(x0，y 0)=x(x0，y 0)fy(x0，y 0) 当fx(x0，y 0)0 且 y，(x 0，y 0)0 时，f x(x0，y 0)y(x0，y 0)O， 从而 fx(x0，y 0)0，故选(D)【知识模块】 二元函
9、数条件极值问题3 【正确答案】 B【试题解析】 根据已知条件及线性微分方程解的叠加原理，y 1(x)-y2(x)是齐次线性微分 方程 y+P(x)y=0 的一个非零解，又 y1(x)是原非齐次线性微分方程的一个特解，进而 由线性方程通解的结构可知 y1(x)+Cy1(a)-y2(x)是原非齐次线性微分方程的通解， 其中 C 为任意常数，故选(B)【知识模块】 一阶线性微分方程解的叠加原理及通解结构4 【正确答案】 A【试题解析】 ( n+vn)n=un2+2unvn+vn22(un2+vn2)，所以(A)是答案【知识模块】 级数的收敛性5 【正确答案】 B【试题解析】 根据已知条件，用初等矩阵
10、描述有故选(B)【知识模块】 初等矩阵的运算6 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，观察四个选项： 关于(A)，由于 (a1+a2)-(a2+a3)+(a3-a1)=0，则 a1+a2，a 2+a3，a 3+a1 线性相关关于(B) ，由于(a 1+a2)+(a2+a3)一(a 1+2a2+a3)=0，则 a1+a2，a 2+a3，a 1+2a2+a3 也线性相关，关于(C)，由定义，设有一组数k1，k 2，k 2，使得 k1(a1+2a2)+k2(2a2+3a3)+k3(3a3+3k3)=0，即(k 1+k3)a1+(2k1+2k2)a2+(3k2+3k3)a3=0，由已知 a1，a 2，
11、a 3 线性无关，则 该方程组的系数矩阵的行列式为 从而 k1=k2=k3=0，由此知(C)中向量组线性无关，而由同样的方法，建立关于(D) 中向量组相应的方程组，可计算出系数矩阵的行列式为 0，则(D)中向量组线性相关，综上选(C) 【知识模块】 线性无关性7 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查分布函数的性质，即 ， 则由题设得 1=aF1(x)-bF2(x)=a-b， 所以 a-b=1，4 个选项中只有(A)的 a，b 满足上式的条件，所以选(A)【知识模块】 分布函数8 【正确答案】 A【试题解析】 由于X=Y=X=1 ，Y=1X=-1，Y=-1，且由题设知 X 与 Y 独立 同分布
12、，则 PX=Y=PX=1，Y=1+PX=-1，Y=-1 =PX=1*PY=1+PX=-1*PY=-1 =(12) 2+(12) 2=12， PX+Y=0=PX=1，Y=-1+PX=-1，Y=1 =2PX=1PY=-1=2*(12) 2=12， PXY=1=PX=1，Y=1+PX=-1，Y=-1=1 2 综上，选(A)【知识模块】 概率分布二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 数列的极限10 【正确答案】 c/a0 或 ax02=c，b 任意【试题解析】 y =2ax+b，y (x0)=2ax0+b，过(x 0，y 0)点的切线方程为 y-y 0=(2ax0+b)(x-x0)
13、，即 y-(ax02+bx0+c)=(2ax0+b)(x-x0)， 此切线过原点，把 x=y=0 代入上式，得-ax02-bx0-x=-2ax02-bx0，即 ax02=c 所以系数应满足的关系式为 c/a0 或 ax02=c，b任意【知识模块】 先求出过点(x 0，y 0)的切线方程，再将原点坐标代入切线方程即可11 【正确答案】 e -1-1【试题解析】 【知识模块】 定积分的计算12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微分的概念，常微分方程的解法13 【正确答案】 x=(1，0，0) T【试题解析】 由于 故知 ATx=B 有唯一解，且由克莱姆法则知唯一解为 其中 Dj 是把A
14、T中第 j 列元素用 B代替后所得行列式，显然 D1=A T，D 2=Dn=0故线性方程组 ATx=B 的解为x=(1，0，0) T【知识模块】 利用克莱姆法则求解，并注意行列式的特点14 【正确答案】 9/64【试题解析】 因为 则 y 服从参数为 n=3，p=1/4的二项分布，因此所求概率【知识模块】 这是一个独立重复试验，利用二项分布来计算三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 函数的极限，无穷小16 【正确答案】 () 利润函数为 L=pq-C=(d-eq)q-(aq2+bq+c)=(d-b)q-(e+a)q2-c两边同时对 q 求导，得 L
15、=(d-b)-2(e+a)q，令 L=0，得 因为 L=-2(e+a)0，所以当 ()因为 g=-(1/e)，所以需求对价格的弹性为 ()由=1，得 q=d/2e【知识模块】 首先建立各种函数关系，再用导数讨论即可17 【正确答案】 于是 f(1)1+m1，矛盾，所以在0，1 内至少存在一个 ，使 f()=【知识模块】 函数零点存在性的证明18 【正确答案】 由 得驻点 x1=0，x 2=-1，列表如下：则单调递增区间为(-，-1) ，(0，+)，单调递减区间为(-1，0)，极小值为 f(0)=-e/2，极大值为 f(-1)=-2e/4由于 ，则得一条渐近线y=e(x-2)，又由于 ，从而得另
16、一条渐近线)y=x-2， 而 y(x)在(-，+)上连续，因此无垂直渐近线 综上，曲线有两条斜渐近线，y=e(x-2)和 y=x-2【知识模块】 导数、极值点、渐近线19 【正确答案】 由已知条件，有f(t)dt=e x-1-f(x)， 方程两边对 x 求导得 f(x)=ex-f(x)，即 f(x)+f(x)=ex， 令 x=0，由原方程得 f(0)=0，于是，原问题就转化为求微分方程 f(x)+f(x)=ex 满 足初始条件 f(0)=0 的特解，由一阶线性微分方程的通解公式，得 f(x)=e -dx(fex*edx+C)=e-x(e2xdx+C)=(1/2)ex+Ce-x 代入初始条件 f
17、(0)=0，得 C=-(1/2)，从而 f(x)=1/2(ex-e-x)【知识模块】 由题设条件列出关系式，转化为微分方程求解20 【正确答案】 () 因B0，故 B 中至少有一个非零列向量，依题意，所给齐次方程组非零解，故必有系数行列式A= =0，由此可得 =1 ()因 B 的每一列向量都是原方程的解，故 AB=0 因 A0，则必有B=0事实上，倘若不然，设B0，则 B 可逆，故由 AB=0 两边 右乘 B-1，得 A=0，这与已知条件矛盾，可见必有B=0【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 () 由题设，a ， 都是非零向量，且 aT=0，则 Ta=0， 则A2=(aT)(aT)=(
18、TA)aT=0，即 A2 为零矩阵 ()由特征值与特征向量的定义，设 为 A 的特征值，x 为其相应的特征向量， 则 Ax=x，x0，由前述知 A2=0，从而0=AAx=Ax=2x，即 =0， 所以 A 的所有特征值都为 0所以 A 的特征向量为 k11+k22+kn-1n-1，其中 k1，k 2，k n-1 是不全为 0 的任意常数【知识模块】 矩阵运算、特征值和特征向量22 【正确答案】 一枚骰子掷两次，其基本事件总数为 n=66=36，方程有实根的充分必要条件是 B24C，即 CB2/4；方程有重根的充分必要条件是 B2=4C，即C=B2/4，如表：故方程有实根的概率 方程有重根的概率23 【正确答案】 由题设，X 和 Y 的联合分布是正方形 G 上的均匀分布，则(X， Y)的联合概率密度为 f(x，y)= 设随机变量 U 的分布函数为F(u)，则 F(u)=P(Uu)，当 u0 时，F(u)=0；当 u2 时，F(u)=1 ；当 0u2 时，如图所示 可知 从而综上，随机变量 U=X-Y的概率密度为 p(u)=【知识模块】 随机变量的分布函数
