1、考研数学（数学三）模拟试卷 269 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=01-cosxsint2dt， ，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小2 设周期函数 f(x)在(-，+)内可导，周期为 4又 ，则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线的斜率为( )（A）12（B） 0（C） -1（D）-23 设函数 f(x)连续，F(u， v)= ，其中区域 Duv 为图中阴影部分，则=( )（A）vf(u 2)（B）（C） vf(u)（D）4 设 f(x，y
2、)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 ，则函数 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否有极值5 设 a1，a 2，a s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，则下列选项正确的是( )（A）若 a1， a2，a s 线性相关，则 Aa1，Aa 2，Aa s 线性相关（B）若 a1，a 2，a s 线性相关，则 Aa1，Aa 2， ，Aa s 线性无关（C）若 a1，a 2，a s 线性无关，则 Aa1，Aa 2， ，Aa s 线性相关（D）若 a1， a2，a s 线性无关，则 Aa1，Aa 2，Aa s 线性无关6 设 A，B 为同
3、阶可逆矩阵，则( )（A）AB=BA（B）存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B（C）存在可逆矩阵 C，使 CTAC=B（D）存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B7 设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 a(0，1)，数 ua 满足 PXu a=a，若 PXx=a ，则 x 等于( ) （A）u a/2（B） u1-(a/2)（C） u(1-a)/2（D）u 1-a8 设随机变量 XN(0，1)，YN(1 ，4)且相关系数 XY=1，则( )（A）PY=-2X-1=1（B） PY=2X-1=1（C） PY=-2X+1=1（D）PY=2X+1=1二、填空题9 设 ，则 f(n)
4、(x)=_10 设 =_11 =_12 改变积分次序 =_13 设 A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵，且A=a，B=b，C= ，则C =_14 将 C、C 、 E、E、I、N、S 这七个字母随机地排成一行，那么恰好排成SCIENCE 的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(u)具有二阶连续导数，且 g(x，y)=16 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)x 2+y2x+y+117 某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p1，p 2，需求函数分别为 q1=24-02p 1，q 2=10-005p 2，总成本函数为 C=35+40(q1+q2
5、)，问厂家如何确定两个市场的销售价格能使其获得总利润最大?最大利润为多少?18 将函数 展开成 x-1 的幂级数，并指出其收敛区间19 设 f(x)，g(x) 在-a ，a 上连续，g(x)为偶函数，且 f(x)满足条件 f(x)+f(-x)=A(A 为常数) ()证明 -aaf(x)g(x)dx=A0ag(x)dx； () 利用 ()的结论计算定积分 /2-/2 sinxarctane xdx20 已知齐次线性方程组同解，求 a，b，c 的值21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX=ax12+2x22+-2x32+2bx1x3(b0)，其中二次矩阵 A的特征值之和为 1，特征值之
6、积为-12 ()求 a，b 的值； ()利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵22 两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时，停用而另一台自动开动试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度 f(t)、数学期望和方差23 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似正态分布，平均成绩为72 分，96 分以上的占考生总数的 23，试求考生的外语成绩在 60 分到 84 分之间的概率附表其中 (x)表示标准正态分布函数考研数学（数学三）模拟试卷 269 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项
7、中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为，所以 f(x)是 g(x)的高价无穷小，因而选 (B)2 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，f(x)的周期为 4，则所求点(5，f(5) 处切线的斜率应该与(1，f(1)处的斜率相同，则由导数定义知 即为所求斜率，又由所以点(5，f(5)处切线的斜率为 -2选(D)3 【正确答案】 A【试题解析】 在极坐标系下，故应选(A) 4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 ，根据极限保号性，存在 0，所以f(x，y)在点(0，0)处取极大值，选 (A)5 【正确答案】 A【试题解析】 用秩的方法判断线性相关性因为(Aa 1，Aa
8、 2，Aa s)=A(a1，a 2，a s)，所以 r(Aa1，Aa 2，Aa s)r(a1，a 2，a s) 又若a1，a 2，a s 线性相关，则 r(a1，a 2，a s)s ，从而 r(Aa1，Aa 2，Aa s)s 所以 Aa1，Aa 2，Aa s 线性相关，故选(A)6 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，选项(A)表示可逆矩阵乘法满足交换律，显然不能成立； (B)表示 A 与 B 相似，(C)表示 A 与 B 合同，这都是不成立的，所以(A) 、(B)、(C)皆可排除；关于(D) ，设 A，B 的逆矩阵分别为 A-1， B-1，则有 BAA-1=B，取P=B，Q=A -1，则
9、PAQ=B，从而(D)成立综上，选(D)7 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，XN(0，1)则 PXu a=1-(ua)=a，即 (ua)=1-a，其中(x)为 N(0，1)的分布函数，从而 PXx=2(x)-1=a ，即 (x)=(1+a)/2=1-(1-a/2)，综上知 x=u(1-a)/2，选(C) 8 【正确答案】 D【试题解析】 设 Y=aX+6，因为相关系数 XY=1，所以 X，Y 正相关，即有a0又 XN(0，1) ，Y N(1 ，4)，则 E(X)=0，D(X)=1，E(Y)=1，D(Y)=4，从而 E(Y)=E(aX+6)=aE(X)+b=b=1，D(Y)=D(aX+b)
10、=a 2D(X)=a2=4解得a=2，b=1故应选(D) 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 -(1/2)【试题解析】 由题设，11 【正确答案】 /4e【试题解析】 由题设原积分12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 (-1) mnab【试题解析】 利用拉普拉斯展开定理，行列式 的 n 阶子式B的代数余子式为(-1) (m+1)+(m+2)+(m+n)+1+2+nA=(-1) mn A，由拉普拉斯展开定理有=B(-1) mnA =(-1) mnab14 【正确答案】 1/1260【试题解析】 这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，
11、则基本事件总数为 n=7!，而有利事件的基本事件数为 1212111=4，故所求概率为：4/7!=1/1260三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 由 x2+y2x+y+1，得令17 【正确答案】 p 1=120-5q1，P 2=200-20q2，收入函数为 R=p1q1+p2q2，总利润函数为 L=R-C=(120-5q1)q1+(200-20q2)q2-35+40(q1-q2)，由 得q1=8， q2=4，从而 p1=80，p 2=120，L(8 ，4)=605 ，由实际问题的意义知，当p1=80， P2=120 时，厂家获得的利润最大，
12、最大利润为 60518 【正确答案】 其中，第一个幂级数的收敛区间为x-13，第二个幂级数的收敛区间为x-12，故幂级数的收敛区间为x-12，即-1x319 【正确答案】 20 【正确答案】 根据题意可知方程组()中方程组个数未知数个数，从而()必有无穷多解，所以() 必有无穷多解所以() 的系数行列式必为 0，即对(I)系数矩阵作初等变换，有可得方程组()的通解为 k(-1，-1，1) T，其中k 为任意常数由于(-1，-1，1) T 是方程组()的解，故有 解得b=1，c=2，或 b=0，c=1当 b=0，c=1 时，方程组()为 其系数矩阵的秩为 1，从而() 与() 不同解，故 b=0
13、，c=1 舍去 当 a=2，b=2，c=2 时()与()同解21 【正确答案】 () 由题设，二次型 f 相应的矩阵为 A= 设 A 的 3 个特征值为 1， 2， 3，则由已知条件知 1+2+1=1， 121=-12；利用“矩阵特征值之和：矩阵主对角线元素之和“及“ 特征值之积= 矩阵行列式“两个关系，得 a=1 及=2(-2-b2)=-12，可求出 b=2，即 a=1，b=2()由A-E=0，即=0，可求出 A 的特征值为 1=2=2， 3=-3不难求得对应于 1=2=2 的特征向量为 对应于 3=-3 的特征向量为 3= ，对1， 2， 3 正交规范化，得 令矩阵P=(1， 3， 3)=
14、 则 P 为正交矩阵，在正交变换 x=Py 下，其中因此二次型的标准形为 2y12+2y22-3y3222 【正确答案】 由题设，设先开动的一台记录仪的无故障工作时间为 T1，后开动的一台记录仪的无故障工作时间为 T2，则由已知， Ti 的概率密度为 fi(x)=，(i=1，2)，且显然 T1 与 T2 独立由于 T=T1+T2，则由卷积公式可得出当 t0 时 T 的概率密度，即所以 T 的概率密度为 f(t)=又 Ti 服从参数为 5 的指数分布，则 E(Ti)=1/5，D(T i)=1/25(i=1，2)，则 T 的数学期望为 E(T)=E(T1+T2)=2E(T1)=2/5，T 的方差为 D(T)=D(T1+T2)=2D(T1)=2/2523 【正确答案】 设 X 为考生的外语成绩，由题设知 X-N(72， 2)，且 PX96=23 =0 023，即
