1、考研数学（数学三）模拟试卷 274 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 f(x)在 x=0 某邻域内连续，且 f(0)=0， ，则在点 x=0 处 f(x)( )（A）不可导（B）可导但 f(x)0（C）取得极大值（D）取得极小值2 曲线 y=e1/x2arctan 的渐近线有( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条3 设 a 为常数，则级数 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 d 的取值有关4 设函数 f(x)在a，b上有定义，在开区间(a，b) 内可导，则( )（A）当 f(a).f(b)0 时，存在
2、 (a，b)，使 f()=0（B）对任何 (a，b)，有（C）当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b) ，使 f()=0（D）存在 (a，b) ，使 f(b)-f(a)=f()(b-a)5 设 n 阶方程 A=(a1，a 2，a n)，B=( 1， 2， ， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组()：a 1，a 2，a n()： 1， 2， n，()： 1， 2， n，如果向量组()线性相关，则 ( )（A）向量组() 与()都线性相关（B）向量组()线性相关（C）向量组()线性相关（D）向量组() 与()中至少有一个线性相关6 设 A 是 n 阶矩阵，且 A 的行列式A=0，则 A(
3、 )（A）必有一列元素全为 0（B）必有两列元素对应成比例（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合（D）任一列向量是其余列向量的线性组合7 设两个相互独立的随机变最 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则下列结论正确的是( ) （A）PX+Y0=1 2（B） PX+Y1=12（C） PX-Y0=12（D）PX-Y1=128 设随机变量 Xt(n)(n1) ，Y=1/X 2，则_（A）YX 2(n)（B） YX 2(n1)（C） YF(n，1)（D）YF(1，n)二、填空题9 =_10 设 y=sinx， 0x/2，t 为_时，图中阴影部分的面积 S1 与 S2 之和 S
4、 最小?11 设 f(x)有连续的导数，f(0)=0 且 f(0)=b，若函数 F(x)= 在 x=0处连续，则常数 A=_12 幂级数 的收敛区间为_13 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+4xqx2+4x1x3+4x2x3 经正交变换*=Py可化成标准形 f=6y12，则 a=_14 设 X1，X 2，X n(n1)是来自总体 N(， 2)的随机样本，用 2X2-X1， 及 X1作总体参数 为估计算时，最有效的是 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 设函数 y=y(x)由方程 ylny-x+y=0 确定，判断曲线 y=
5、y(x)在点(1，1)附近的凹凸性17 已知 f(x， y)=x2arctan(y/x)-y2arctan(x/y)，求18 设函数 f(x)连续，且19 设 a0=1，a 1=7/2，a n+1=-(1+(1/n+1)an，n2 ，证明：当x1 时，幂级数收敛，并求其和函数 S(x)20 设 4 维向量组 a 1=(1+a，1，1，1) T，a 2=(2，2+a，2，2) T，a 3=(3，3，3+a，3)T， a4=(4，4， 4，4+a) T，问 a 为何值时，a 1，a 2，a 3，a 4 线性相关?当a1，a 2，a 3，a 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极
6、大线性无关组线性表出21 设矩阵 A= ，且A=-1 又设 A 的伴随矩阵 A*，属于 0 的特征向量为 a=(-1，-1，1) T，求 a，b，c 及 0 的值22 设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)=1/4，P(BA)=1/3 ，P(AB)=1/2 ，令求：()二维随机变量(X，Y) 的概率分布；()X 与 Y 的相关系数 XY；()Z=X 2+Y2 的概率分布23 假设测量的随机误差 XN(0，10 2)，试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 196 的概率 a，并用泊松分布求出 a 的近似值(小数点后取两位有效数字) 附表考研数学（数学三）模拟试卷 2
7、74 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 利用等价无穷小的代换求得 f(x)由于 x0 时，1-cosx(1/2)x 2，所以令 f(x)=x2，则 f(x)符合原题设条件，而 f(x)在 x=0 处可导 f(0)=0，取极小值则(A)、(B)、(C)均不正确，选(D)2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)在(a ，b) 内可导， (a，b)则 f(x)在 点可导，因而在 点连续，故 ，所以应选(B)5 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组()
8、线性相关，所以矩阵 AB 不可逆，即AB= AB=0因此A、B中至少有一个为 0，即 A 与 B 中至少有一个不可逆，亦即量组()与() 中至少有一个线性相关，所以选 D6 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查A=0 的充分必要条件，而选项(A)、(B)、(D) 都是充分不必要的以 3 阶矩阵为例，若 ，条件(A)、(B)均不成立，但A=0若 ，则A=0，但第 3 列并不是其余两列的线性组合，可见(D)不正确，这样，用排除法可知应选(C) 7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，且 X 和 Y 相互独立，所以 X+YN(1，2)，X
9、-yN(-1 ，2)，于是 PX+Y1=12，(B)是答案8 【正确答案】 C【试题解析】 根据 t 分布的性质，X 2F(1，n)，再根据 F 分布的性质1/X2F(n，1)，因此 Y=1/X2F(n，1)故应选择(C)二、填空题9 【正确答案】 5/24【试题解析】 10 【正确答案】 /4【试题解析】 11 【正确答案】 b+a【试题解析】 由于 F(x)在 x=0 连续，故12 【正确答案】 -1,1)【试题解析】 13 【正确答案】 2【试题解析】 因为二次型 xTAx 经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值，所以 6，0，0 是 A 的特征值，又因
10、为a ii=i，所以a+a+a=6+0+0=a=214 【正确答案】 【试题解析】 因 E(2X2-X1)=2E(X2)-E(X1)=2-= E(X1)=，E( )=，故 2X2-X1，X 1， 都是 的无偏估计量 又 D(2X2-X1)=4D(X2)+D(X1)=52 D( )=2/n D(X1)=2 故 D( )D(X 1)D(2X 2-X1)，则最有效的是 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 对方程 ylny-x+y=0 两边求导得故曲线 y=y(x)在点(1，1)附近是向上凸的17 【正确答案】 利用求复合函数偏导的方法，得18 【
11、正确答案】 题设所给变上限定积分中含有参数 x，因此令 u=2x-t，则 dy=-dt，19 【正确答案】 由 ，得幂级数的收敛半径 R=1，所以当x1 时，幂级数 ，得 an=7/6(-1)n(n+1)(n3)，所以20 【正确答案】 对(a 1，a 2，a 3，a 4)作初等行变换，有 (a1，a 2，a 3，a 4)=若 a=0，则秩 r(a1，a 2，a 3，a 4)=1，a 1，a 2，a 3，a 4 线性相关可取极大线性无关组为 a1，且a2=2a1，a 3=3a1，a 4=4a1由于 a0，继续作初等行变换有(a 1，a 2，a 3，a 4)所以，当 a=-10 时，r(a 1，
12、a 2，a 3，a 4)=3，a 1，a 2，a 3，a 4 线性相关， 可取极大线性无关组为 a2，a 3，a 4，且 a1=-a2-a3-a421 【正确答案】 由题设，A *a=0a，由公式 AA*=A E=-E ，则 AA *a=0Aa -a=0Aa，从而 0 ，写成方程组的形式如下：联立(1)式和(3) 式可解得 0=1将 0=1 代入(1)式和(2)式，得 a=c，b=-3又由已知A=-1 ，则 =a-3=-1，从而a=2，即 c=2综上，a=c=2，b=-3 ， 0=122 【正确答案】 () 由题设，(X，Y) 的可能取值为 (0，0)、(0 ，1)、(1，0)、(1，1)，从
13、而(X，Y) 的概率分布如表 1 所示，X 的概率分布如表 2 所示， Y 的概率分布如表 3 所示：()由 Z=X2+Y2，则 Z 的可能取值为 0，1，2， P(Z=0)=P(X=0，Y=0)=2/3， P(Z=1)=P(x=1，Y=0)+P(x=0，Y=1)=1/6+1/12=1/4 ， P(Z=2)=P(X=1 ，Y=1)=1/12， 所以 Z 的概率分布如表 4 所示23 【正确答案】 设 P 为每次测量误差的绝对值大于 196 的概率，则设 Y 为100 次独立重复测量中事件X196 出现的次数，则 Y 服从参数为n=100， p=0 05 的二项分布，所求概率 a=PY3=1-PY3=1-PY=0-PY=1-PY=2 由泊松定理知，Y 近似服从参数为 =np=100005=5 的泊松分布，
