1、考研数学（数学三）模拟试卷 276 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导2 设 g(x)=0)du，其中 f(x)= ，则 g(x)在区间(0， 2)内( )（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续3 设 y 是由方程 sintdt=0 所确定的 x 的函数，则 dy/dx=( )4 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x 0，y)在 y=y0 处导数为零（B） f(x0，y
2、)在)y=y 0 处导数大于零（C） f(x0，y)在)y=y 0 处导数小于零（D）f(x 0，y)在 y=y0 处导数不存在5 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2=0， 3=1，则下列结论不正确的是 ( )（A）矩阵 A 不可逆（B）矩阵 A 的秩为零（C）特征值-1，1 对应的特征值向量正交（D）方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量6 设矩阵 A= ，则 A 与 B( )（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似7 设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 12)，随机变量 Y 服从正态分布 N(2， 22)，且 PX- 11
3、PY- 21，则必有( )（A） 1 2（B） 1 2（C） 1 2（D） 1 28 对于任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( ) （A）D(XY)=D(X)D(y)（B） D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C） X 和 Y 独立（D）X 和 Y 不独立二、填空题9 设 ，其中 f 可导，且 f(0)0，则 dy/dx t=0=_10 已知 yt=3et 是差分方程 yt-1+ayt-1=et 的一个特解，则 a=_11 设函数 z=z(x，y)由方程 F(x-ax，y-bz)=0 所给出，其中 F(u，v)任意可微，则=_12 =_13 设 ，a=(0，1，1
4、) T，已知 Aa 与 a 线性相关，则 a=_14 设随机变量 X 服从于参数为(2，p)的二项分布，随机变量 y 服从于参数为(3，p)的二项分布，若 PX1=5/9，则 PY1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体积为 V(t)=/3t2f(t)-f(1)试求 y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 y x=2=2/9 的解16 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)0试证存在 ，(a
5、，b)，使得17 求连续函数 f(x)，使它满足 f(x)+20xf(t)dt=x218 将函数 f(x)=ln(1-x-2x2)展开成 x 的幂级数，并指出其收敛区间19 设某种商品的单价为 p 时，售出的商品数量 Q 可以表示成 Q=a/(p+b) -c，其中a，b，c 均为正数，且 abc()求 p 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少?()要使销售额最大，商品单价 p 应取何值? 最大销售额是多少?20 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 A= ，x=(x 1，x n)T， b=(1，0，0) T()证明行列式A=(n+1)a n；()a 为何值时，方程组有唯一解?求 x1；()a
6、 为何值时，方程组有无穷多解 ?求通解21 设 n 阶矩阵 A= ()求 A 的特征值和特征向量； ()求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵22 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，X 的分布密度为 f(x，)=试用矩估计法估计总体参数 23 假设随机变量 U 在区间-2，2上服从均匀分布，随机变量试求：()X 和 Y 的联合概率分布；()D(X+Y)考研数学（数学三）模拟试卷 276 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 (无穷小量乘有界变量仍为无穷小量)且 f(0)=0，可知 ，即 f(x)在 x
7、=0 处连续又由可知即 f(x)在 x=0 处不可导，故选(C)2 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，当 0x1 时，f(x)=1/2(x 2+1)，则 g(x)=0xf(u)du=0x1/2(u2+1)du 连续；当 1x2 时，f(x)=1/3(x-1)，从而 g(x)在点 x=1 也是连续的综上，g(x)在区间 (0，2)内连续，选(D)3 【正确答案】 B【试题解析】 方程两边对 x 求导得 ey*y+sinx=0，故 y=-(sinx/ey)又由故选(B)4 【正确答案】 A【试题解析】 可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则有 fx(x0，y 0)=0，
8、fy(x0，y 0)=0，于是 f(x0，y)在 y=y0 处导数为零，选(A)5 【正确答案】 C【试题解析】 由 1=-1， 2=0， 3=1 得A =0 ，则 r(A)3，即 A 不可逆，(A)正确；又 1+2+3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以 A的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)=2，从而 AX=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C) 不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)6 【正确答案】 B【试题解析】 则A=C+3E由E-C=0 得 C 的特征值为
9、1=-3， 2=3=0， 则 A 的特征值为0，3，3，B 的特征值为 1，1，0， 显然 A 与 B 不相似，A 与 B 的正、负惯性指数均为 2，0，即 A 与 B 合同，故应选(B)7 【正确答案】 A【试题解析】 8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 D(X+Y)=EX+Y-E(X+Y)2=EX-E(X)+Y-E(Y)2= EX-E(X)2+EY-E(Y)2+2E(X-E(X)(Y-E(Y)=D(X)+D(Y)+ 2E(XY)-E(X)E(Y)=D(X)+D(Y)故应选(B) 二、填空题9 【正确答案】 3【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 1【试题解
10、析】 12 【正确答案】 /12【试题解析】 13 【正确答案】 -1【试题解析】 Aa= ，由于 Aa 与 a 线性相关，则存在数k0 使 Aa=ka，即 a=ka，2a+3=k ，3a+4=k 三式同时成立解此关于 a，k 的方程组可得 a=-1，k=114 【正确答案】 19/27【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由题设，旋转体体积应为 1tf2(x)dx，则 1tf2(x)dx=/3t2f(t)-f(1)，从而 1tf2(x)dx=1/3t2f(t)-f(1)两边对 t 求导，得f 2(t)=1/32tf(t)+t2f(t)，即 t2f
11、(t)-3f2(t)+2tf(t)=0令因此从而16 【正确答案】 由题设，引入辅助函数，即 g(x)=ez，则 f(x)与 g(x)在区间a，b上满足柯西中值定理的条件，所以知存在一点 E(a， b)，使得又 f(x)在区间a，b上满足拉格朗日中值定理的条件，则存在一点 (a，b)，使得 f(b)-f(a)=f()(b-a) (2)将(2)式代入(1)式可得 整理得17 【正确答案】 方程 f(x)+202f(t)dt=x2 两边对 x 求导得 f(x)+2f(x)=2x，令 x=0，由原方程得 f(0)=0于是，原问题就转化为求微分方程 f(x)+2f(x)=2x 满足初始条件f(0)=0
12、 的特解由一阶线性微分方程的通解公式，得 f(x)=e -2dx(2x*e2dxdx+C)=e-2x(2xe2xdx+C)=Ce-2x+x- 1/2代入初始条件 f(0)=0，得 C=1/2，从而 f(x)=18 【正确答案】 由于 f(x)=ln(1-x-2x2)=ln(1+x)+ln(1-2x)，易求得其收敛区间为-1/2， 1/2)19 【正确答案】 () 设售出商品的销售额为 R，则令当 ，有R0，所以随单价 p 的增加，相应的销售额也增加当 时，有 R0，所以随单价 p 的增加，相应的销售额将减少()由() 可知，当时，销售额 R 取得最大值，最大销售额为20 【正确答案】 () 利
13、用行列式性质，有()若使方程组Ax=b 有唯一解，则A=(n+1)a n0，即 a0则由克莱姆法则得()若使方程组 Ax=b 有无穷多解，则A=(n+1)a n=0，即 a=0把 a=0 代入到矩阵 A 中，显然有=r(A)=n-1，方程组的基础解系含一个解向量，它的基础解系为k(1，0 ，0，0) T(k 为任意常数)代入 a=0 后方程组化为 特解取为(0 ，1，0，0) T，则方程组 Ax=b 的通解为 k(1，0，0，0)T+(0，1，0，0) T，其中的 k 为任意常数21 【正确答案】 () 由题设，先由特征值多项式A-E=0 求 A 的特征值，即=1-+(n-1)b(1-b)n-
14、1，因此 A 的特征值为 1=1+(n-1)b， 2=3= n=1-b当 b0时，对应于 1=1+(n-1)b， 不难求出1= 是(A- 1E)x=0 的基础解系，从而属于 1 的特征向量为 Cn= ，其中 C为任意非 0 常数。对应于 2=3= n=1-b，A-(1-b)E=易得出基础解系为 2=从而特征向量为 C22+C33+Cnn，其中C2，C 3， Cn 是不全为 0 的常数当 b=0 时，A= =E，从而 A-E=0，任意非零向量皆为其特征向量 ()由前述已知，当 b0，A 有 n 个线性无关的特征向量，令 P=(1， 2， 3， n)，则 P-1AP=而当 b=0 时，A=E，任取
15、 P 为可逆矩阵，都有 P-1AP=E22 【正确答案】 23 【正确答案】 () 由题设，(X，Y) 的取值有四种可能即 (-1，-1) ，(-1，1)， (1，-1)，(1，1)，由已知 u 在-2，2上均匀分布，即 P(U-1)=1/4，P(U-1)=3/4； P(U1)=3/4，P(U 1)=1/4P(X ，y)=(-1 ， -1)=PU-1，U1=PU-1=1/4， P(X，Y)=(-1 ，1)=PU-1 ，U1=0，P(X，Y)=(1，-1)=PU-1，U1=1/2，P(X，Y)=(1，1)=pU-1，U1=PU-1=1/4 ，从而(X，Y)的分布是 由此，X+Y 的分布是且(X+Y) 2 的分布是()E(X+Y)=-(2/4)+2/4=0，从而 D(X+Y)=E(X+Y)2=2
